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  • 2021-06-15 发布

人教新课标A版高一数学3-3-2简单线性规划问题)

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备课资料 备用习题 1.某糖果厂生产 A、B 两种糖果,A 种糖果每箱获利润 40 元,B 种糖果每箱获利润 50 元, 其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序,下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间:(单 位:分钟) 混合 烹调 包装 A 1 5 3 B 2 4 1 每种糖果的生产过程中,混合的设备至多能用 12 小时,烹调的设备至多只能用 30 小时,包 装的设备只能用 15 小时,试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润? 分析:找约束条件,建立目标函数. 解:设生产 A 种糖果 x 箱,B 种糖果 y 箱,可获得利润 z 元,则此问题的数学模式在约束条 件              0 ,0 ,9003 ,180045 ,7202 y x yx yx yx 下,求目标函数 z=40x+50y 的最大值,作出可行域,其边界 OA:y=0, AB:3x+y-900=0,BC:5x+4y- 1 800 =0,CD:x+2y-720=0,DO:x=0. 由 z=40x+50y,得 505 4 zxy  ,它表示斜率为 5 4 ,截距为 z[]50 的平行直线系, 50 z 越大, z 越大,从而可知过 C 点时截距最大,z 取得了最大值. 解方程组       180045 7202 yx yx C(120,300). ∴z max=40×120+50×300=19 800,即生产 A 种糖果 120 箱,生产 B 种糖果 300 箱,可得最大利 润 19 800 元. 点评:由于生产 A 种糖果 120 箱,生产 B 种糖果 300 箱,就使得两种糖果共计使用的混合 时间为 120+2×300=720(分),烹调时间 5×120+4×300=1 800(分),包装时间 3×120+ 300=660(分),这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间,但对包装设 备却有 240 分钟的包装时间未加利用,这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分,有待于 改进研究. 2.甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表: 甲 乙 丙 维生素A(单位/千克) 600 700 400 维生素B(单位/千克) 800 400 500 成本(元/千克) 11 9 4 某食物营养研究所想用 x 千克甲种食物,y 千克乙种食物,z 千克丙种食物配成 100 千克的 混合食物,并使混合食物至少含 56 000 单位维生素 A 和 63 000 单位维生素 B.(1)用 x、y 表示混合食物成本 C;(2)确定 x、y、z 的值,使成本最低. 分析:找到线性约束条件及目标函数,用平行线移动法求最优解. 解:(1)依题意 x、y、z 满足 x+y+z=100 z=100-x-y. ∴成本 C=11x+9y+4z=7x+5y+400(元). (2)依题意      ,63000500400800 ,56000400700600 zyx zyx ∵z=100-x-y, ∴       .0,0 ,1303 ,16032 yx yx yx 作出不等式组所对应的可行域,如右图所示. 联立       16032 1303 yx yx 交点 A(50,20). 作直线 7x+5y+400=C,则易知该直线截距越小,C 越小,所以该直线过 A(50,20)时,直线在 y 轴截距最小,从而 C 最小,此时 7×50+5×20+400=C=850 元. ∴x=50 千克,z=30 千克时成本最低.