2021高考数学一轮复习第2章函数第7节对数与对数函数教学案文北师大版 9页

- 1 - 第七节　对数与对数函数 [最新考纲]　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然 对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对 数函数图像通过的特殊点，会画底数为 2,10， 1 2的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重 要的函数模型.4.了解指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)互 为反函数． (对应学生用书第 27 页) 1．对数 概念 如果 ab＝N(a＞0，且 a≠1)，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logaN＝b， 其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数. a logaN ＝N 性质 logaab＝b(a＞0，且 a≠1) 换底 公式 换底公式：logab＝ logcb logca(a＞0，且 a≠1；c＞0，且 c≠1；b＞0) loga(M·N)＝logaM＋logaN loga M N＝logaM－logaN 运算 法则 logaMn＝nlogaM(n∈R) a＞0，且 a≠1，M＞0，N＞0 2.对数函数的定义、图像与性质 定义 函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)叫做对数函数 a＞1 0＜a＜1 图像 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当 x＝1 时，y＝0，即过定点(1,0)性质 当 0＜x＜1 时，y＜0； 当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x＜1 时，y＞0； 当 x＞1 时，y＜0 - 2 - 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3.反函数 指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)互为反函数，它们的图 像关于直线 y＝x 对称． [常用结论] 1．换底公式的两个重要结论 (1)loga b＝ 1 logb a；(2)logambn＝ n mloga b. 其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，m，n∈R 且 m≠0. 2．对数函数的图像与底数大小的比较 如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底 数，故 0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到 右底数逐渐增大． 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝log2(x＋1)是对数函数． (　　) (2)log2x2＝2log2x. (　　) (3)函数 y＝ln 1＋x 1－x与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同． (　　) (4)对数函数 y＝logax(a＞0 且 a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，(1 a，－1)，函数 图像不在第二、三象限． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改编 1．(log29)·(log34)＝(　　) A. 1 4　　　　　　 B. 1 2 C．2 D．4 D　[(log29)·(log34)＝ lg 9 lg 2× lg 4 lg 3＝ 2lg 3 lg 2 × 2lg 2 lg 3 ＝4.故选 D.] 2．已知 a＝2 － ，b＝log2 ，c＝log ，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b D　[因为 0＜a＜1，b＜0，c＝log ＝log2 3＞1.所以 c＞a＞b.故选 D.] 3．函数 y＝ log2x－1的定义域是________． - 3 - (，1 ]　[由 log (2x－1)≥0，得 0＜2x－1≤1. ∴ 1 2＜x≤1. ∴函数 y＝ log2x－1的定义域是(，1 ].] 4．函数 y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且 a≠1)的图像恒过点________． (3,1)　[当 4－x＝1 即 x＝3 时，y＝loga1＋1＝1. 所以函数的图像恒过点(3,1)．] (对应学生用书第 28 页) ⊙考点 1　对数式的化简与求值 　对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数 最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化 为同底对数真数的积、商、幂的运算． 　1.设 2a＝5b＝m，且 1 a＋ 1 b＝2，则 m 等于(　　) A. 10　　　 B．10 C．20 D．100 A　[由已知，得 a＝log2m，b＝log5m， 则 1 a＋ 1 b＝ 1 log2m＋ 1 log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2. 解得 m＝ 10.] 2．计算：lg 1 4－lg 25÷100 － ＝________. －20　[原式＝(lg 2－2－lg 52)×100 ＝lg 1 22 × 52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－ 20.] 3．计算： 1－log632＋log62·log618 log64 ＝________. 1　[原式＝ 1－2log63＋log632＋log6 6 3·log66 × 3 log64 ＝ 1－2log63＋log632＋1－log632 log64 ＝ 21－log63 2log62 ＝ log66－log63 log62 ＝ log62 log62＝1.] - 4 - 4．已知 log23＝a,3b＝7，则 log 3 2 21的值为________． 2＋a＋ab 2a＋ab 　[由题意 3b＝7，所以 log3 7＝b. 所 以 log 3 2 21＝ log 84＝ log284 log263＝ log222 × 3 × 7 log232 × 7 ＝ 2＋log23＋log23·log37 2log23＋log23·log37 ＝ 2＋a＋ab 2a＋ab .] 　对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推 论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形． ⊙考点 2　对数函数的图像及应用 　对数函数图像的识别及应用方法 (1)在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的 交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． (1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 y＝ 1 ax，y＝loga(x＋ ) (a＞0， 且 a≠1)的图像可能是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D (2)当 0＜x≤ 1 2时，4x＜logax，则 a 的取值范围是(　　) A．(0， ) B. (，1 ) C．(1， 2) D．( 2，2) (1)D　(2)B　[(1)对于函数 y＝loga(x＋ )，当 y＝0 时，有 x＋ 1 2＝1，得 x＝ 1 2，即 y＝ loga (x＋ )的图像恒过定点(，0 )，排除选项 A、C；函数 y＝ 1 ax与 y＝loga (x＋ )在各自定 义域上单调性相反，排除选项 B，故选 D. - 5 - (2)构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax，当 a＞1 时不满足条件，当 0＜a＜1 时，画出两 个函数在(0， )上的图像，可知 f(1 2 )＜g(1 2 )，即 2＜loga 1 2，则 a＞ 2 2 ，所以 a 的取 值范围为(，1 ).] [母题探究] 1．(变条件)若本例(2)变为：若不等式 x2－logax＜0 对 x∈(0， )恒成立，求实数 a 的 取值范围． [解]　由 x2－logax＜0 得 x2＜logax，设 f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使 x∈(0， )时， 不等式 x2＜logax 恒成立，只需 f1(x)＝x2 在(0， )上的图像在 f2(x)＝logax 图像的下方即 可．当 a＞1 时，显然不成立； 当 0＜a＜1 时，如图所示． 要使 x2＜logax 在 x∈(0， )上恒成立，需 f1 1 2≤f2(1 2 )， 所 以有(1 2 ) 2 ≤loga 1 2，解得 a≥ 1 16，所以 1 16≤a＜1. 即实数 a 的取值范围是[ 1 16，1). 2．(变条件)若本例(2)变为：当 0＜x≤ 1 4时， x＜logax，求实数 a 的取值范围． [解]　若 x＜logax 在 x∈(0， 1 4]成立，则 0＜a＜1，且 y＝ x的图像在 y＝logax 图像 的下方，如图所示， 由图像知 1 4＜loga 1 4， 所以Error!解得 1 16＜a＜1. 即实数 a 的取值范围是(，1 ). 　1.(2019·合肥模拟)函数 y＝ln(2－|x|)的大致图像为(　　) A　　　　　　　　　　　　B - 6 - C　　　　　　　　　　　　D A　[令 f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数 f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且 f(－x)＝ln(2 －|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，排除选项 C，D. 当 x＝ 3 2时，f(3 2 )＝ln 1 2＜0，排除选项 B，故选 A.] 2．已知函数 y＝loga(x＋c)(a，c 为常数，其中 a＞0，a≠1)的图像如图，则下列结论成 立的是(　　) A．a＞1，c＞1 B．a＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 D　[由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知 0＜a＜1,0＜c＜1.] 3．设方程 10x＝|lg(－x)|的两个根分别为 x1，x2，则(　　) A．x1x2＜0 B．x1x2＝0 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1 D　[作出 y＝10x 与 y＝|lg(－x)|的大致图像，如图． 显然 x1＜0，x2＜0. 不妨令 x1＜x2，则 x1＜－1＜x2＜0， 所以 10 x1 ＝lg(－x1)，10 x2 ＝－lg(－x2)， 此时 10 x1 ＜10 x2 ，即 lg(－x1)＜－lg(－x2)， 由此得 lg(x1x2)＜0，所以 0＜x1x2＜1，故选 D.] ⊙考点 3　对数函数的性质及应用 　解与对数函数有关的函数性质问题的三个关注点 (1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论． (2)底数与 1 的大小关系． (3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 　比较大小 - 7 - (1)(2019·天津高考)已知 a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则 a，b，c 的大 小关系为(　　) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b (2)已知 a＝log2e，b＝ln 2，c＝log 1 3，则 a，b，c 的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b (1)A　(2)D　[(1)因为 a＝log52＜log5 5＝ 1 2，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝ (1 2 ) ＞ 1 2，0.50.2＜1，所以 a＜c＜b，故选 A. (2)因为 a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝log 1 3＝log23＞log2e＞1，所以 c＞a＞b， 故选 D.] 　对数值大小比较的主要方法 (1)化同底数后利用函数的单调性． (2)化同真数后利用图像比较． (3)借用中间量(0 或 1 等)进行估值比较． 　解简单对数不等式 (1)若 loga 3 4＜1(a＞0 且 a≠1)，则实数 a 的取值范围是________． (2)若 loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则 a 的取值范围是________． (1) (0， )∪(1，＋∞)　(2) (，1 )　[(1)当 0＜a＜1 时，loga 3 4＜logaa＝1，∴0＜a ＜ 3 4； 当 a＞1 时，loga 3 4＜logaa＝1，∴a＞1. ∴实数 a 的取值范围是(0， )∪(1，＋∞)． (2)由题意得 a＞0 且 a≠1，故必有 a2＋1＞2a， 又 loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以 0＜a＜1， 同时 2a＞1，所以 a＞ 1 2.综上，a∈(，1 ).] 　对于形如 logaf(x)＞b 的不等式，一般转化为 logaf(x)＞logaab，再根据底数 的范围转化为 f(x)＞ab 或 0＜f(x)＜ab.而对于形如 logaf(x)＞logbg(x)的不等式，一般要转 化为同底的不等式来解． - 8 - 　和对数函数有关的复合函数 　解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤 　已知函数 f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)，若 f(1)＝1，求 f(x)的单调区间． [解]　因为 f(1)＝1， 所以 log4(a＋5)＝1， 因此 a＋5＝4，a＝－1， 所以 f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3， 函数 f(x)的定义域为(－1,3)． 令 g(x)＝－x2＋2x＋3， 则 g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又 y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以 f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． 　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调 性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数 与 1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解 题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用． 　1.已知 a＝2 － ，b＝log2 1 3，c＝log 1 3，则 a，b，c 的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a C　[0＜a＝2 － ＜20＝1，b＝log2 1 3＜log21＝0，c＝log 1 3＝log23＞1，∴c＞a＞b.] 2．若定义在区间(－1,0)内的函数 f(x)＝log2a(x＋1)满足 f(x)＞0，则实数 a 的取值范 围是(　　) A.(0， 1 2 ) B.(0， 1 2 ] C.(1 2，＋∞) D．(0，＋∞) A　[∵－1＜x＜0，∴0＜x＋1＜1.又∵f(x)＞0，∴0＜2a＜1，∴0＜a＜ 1 2.] - 9 - 3 ．已知 a ＞0 ，若函数 f(x) ＝log3(ax2 －x) 在[3,4] 上是增函数，则 a 的取值范围是 ________． (1 3，＋∞)　[要使 f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上单调递增， 则 y＝ax2－x 在[3,4]上单调递增， 且 y＝ax2－x＞0 恒成立， 即Error!解得 a＞ 1 3.]