高考数学专题复习教案： 幂函数与二次函数备考策略 3页

幂函数与二次函数备考策略 主标题：幂函数与二次函数备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：幂函数，二次函数，备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容 考点一　幂函数的图象与性质的应用 ‎【例1】 (1)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则log4f(2)的值为(　　)．‎ A. B．－ C．2 D．－2‎ ‎(2)函数y＝的图象是(　　)．‎ 解析　(1) 设f(x)＝xα，由图象过点，得α＝＝⇒α＝，log4f(2)＝＝. ‎ ‎(2)显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，＞x；当x＞1时，＜x，知只有B选项符合．‎ 答案　(1)A　(2)B ‎【备考策略】 (1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．‎ 考点二　二次函数的图象与性质 ‎【例2】‎ ‎ ‎ 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：‎ ‎①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.‎ 其中正确的是(　　)．‎ A．②④ B．①④ ‎ C．②③ D．①③‎ 解析　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；‎ 对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；‎ 结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；‎ 由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．‎ 答案　B ‎【备考策略】解决二次函数的图象问题有以下两种方法：‎ ‎(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；‎ ‎(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．‎ 考点三　二次函数的综合运用 ‎【例3】 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．‎ 审题路线　f(0)＝1求c→f(x＋1)－f(x)＝2x比较系数求a，b→构造函数g(x)＝f(x)－2x－m→求g(x)min→由g(x)min＞0可求m的范围．‎ 解　(1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.‎ 又f(x＋1)－f(x)＝2x，‎ ‎∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，‎ 即2ax＋a＋b＝2x，∴∴ 因此，f(x)＝x2－x＋1.‎ ‎(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．‎ ‎∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，‎ ‎∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.‎ 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).‎ ‎【备考策略】 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．‎