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- 2021-06-19 发布
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2005年辽宁省高考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 复数z=-1+i1+i-1在复平面内，z所对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 极限limx→x0f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的（ ）
A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件
3. 设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A.C10010˙ B.C10010˙ C.C10010˙ D.C10010˙
4. 已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α // β；
②若α⊥γ，β⊥α，则α // β；
③若m // α，n // β，m // n，则α // β；
④若m、n是异面直线，m⊥α，m // β，n⊥β，n // α，则α⊥β
其中真命题是（ ）
A.①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④
5. 函数y=ln(x+x2+1)的反函数是（ ）
A.y=ex+e-x2 B.y=-ex+e-x2 C.y=ex-e-x2 D.y=-ex-e-x2
6. 若log2a1+a31+a<0，则a的取值范围是（ ）
A.(0,12) B.(12，1) C.(12，+∞) D.(1, +∞)
7. 在R上定义运算⊙:x⊙y＝x(1-y)．若不等式(x-a)⊙(x+a)<1对任意实数x成立，则（ ）
A.-1an(n∈N*)，则该函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
8 / 8
二、填空题（共3小题，每小题4分，满分12分）
13. (x12-2x-12)6的展开式中常数项是________．
14. 用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有________个．（用数字作答）
15. ω是正实数，设Sω={θ|f(x)=cos[ω(x+θ)]是奇函数}，若对每个实数a，Sω∩(a, a+1)的元素不超过2个，且有a使Sω∩(a, a+1)含2个元素，则ω的取值范围是________．
三、解答题（共7小题，17~20、22题每题12分，21题14分，满分78分）
16. 如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是________．
17. 已知三棱锥P-ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF都是正三角形，PF⊥AB．
（1）证明PC⊥平面PAB；
（2）求二面角P-AB-C的平面角的余弦值；
（3）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．
18. 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0．
（1）将十字形的面积表示为θ的函数；
（2）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
8 / 8
19. 已知函数f(x)=x+3x+1(x≠-1)．设数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)，数列{bn}满足bn=|an-3|，Sn=b1+b2+...+bn(n∈N*)．
（1）用数学归纳法证明bn≤(3-1)n2n-1；
（2）证明Sn<233．
20. 某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．
（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
产品概率工序
第一工序
第二工序
甲
0.8
0.85
乙
0.75
0.8
（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
产品利润等级
一等
二等
甲
5（万元）
2.5（万元）
乙
2.5（万元）
1.5（万元）
（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示．该工厂有工人40名，可用资金60万元．设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（2）的条件下，x、y为何值时，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）
产品用量项目
工人（名）
资金（万元）
甲
8
5
乙
2
10
8 / 8
21. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(-c, 0)、F2(c, 0)，Q是椭圆外的动点，满足|F1Q→|=2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT→⋅TF2→=0，|TF2→|≠0．
（1）设x为点P的横坐标，证明|F1P→|=a+cax；
（2）求点T的轨迹C的方程；
（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=b2．若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．
22. 函数y=f(x)在区间(0, +∞)内可导，导函数f'(x)是减函数，且f'(x)>0．设x0∈(0, +∞)，y=kx+m是曲线y=f(x)在点（x0, f(x0)）得的切线方程，并设函数g(x)=kx+m．
(1)用x0、f(x0)、f'(x0)表示m；
(2)证明：当x0∈(0, +∞)时，g(x)≥f(x)．
8 / 8
参考答案与试题解析
2005年辽宁省高考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.B
2.B
3.D
4.D
5.C
6.B
7.C
8.A
9.A
10.A
11.B
12.A
二、填空题（共3小题，每小题4分，满分12分）
13.-160
14.576
15.(π, 2π]
三、解答题（共7小题，17~20、22题每题12分，21题14分，满分78分）
16.23
17.解（1）证明：连接CF．
∵ PE=EF=12BC=12AC
∴ AP⊥PC．
∵ CF⊥AB，PF⊥AB，∴ AB⊥平面PCF．∵ PC⊂平面PCF，
∴ PC⊥AB，
∴ PC⊥平面PAB．
（2）解法一：∵ AB⊥PF，AB⊥CF，
∴ ∠PFC为所求二面角的平面角．
设AB=a，则AB=a，则PF=EF=a2，CF=32a．
∴ cos∠PFC=a232a=33．
解法二：设P在平面ABC内的射影为O．
∵ △PAF≅△PAE，
∴ △PAB≅△PAC．
得PA=PB=PC．于是O是△ABC的中心．
∴ ∠PFO为所求二面角的平面角．
设AB=a，则PF=a2，OF=13⋅32a．
∴ cos∠PFO=OFPF=33．
（3）解法一：设PA=x，球半径为R．
∵ PC⊥平面PAB，PA⊥PB，∴ 3x=2R．
∵ 4πR2=12π，∴ R=3．得x=2．
∴ △ABC的边长为22．
解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径．连接OA、AD，可知△PAD为直角三角形．
8 / 8
设AB=x，球半径为R．
∵ 4πR2=12π，∴ PD=23．
∵ PO=OFtan∠PFO=66x，OA=23⋅32x，
∴ (33x)2=66x(23-66x)．
于是x=22．
∴ △ABC的边长为22．
18.解：（1）设S为十字形的面积，则S=2xy-x2=2sinθcosθ-cos2θ(π4<θ<π2)．
（2）S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-12cos2θ-12=52sin(2θ-φ)-12，
其中φ=arccos255．
当sin(2θ-φ)=1，即2θ-φ=π2时，S最大．
所以，当θ=π4+12arccos255时，S最大．S的最大值为5-12．
19.证明：（1）当x≥0时，f(x)=1+2x+1>1．
因为a1=1，所以an>1(n∈N*)．
下面用数学归纳法证明不等式bn≤(3-1)n2n-1．
①当n=1时，b1=3-1，不等式成立，
②假设当n=k时，不等式成立，即bk≤(3-1)k2k-1，即|ak-3|≤(3-1)k2k-1，
那么bk+1=|ak+1-3|=|f(ak)-3|=|ak+3ak+1-3|=(3-1)|ak-3|1+ak≤3-12⋅|ak-3|≤(3-1)k+12k，
即bk+1≤(3-1)k+12k，所以，当n=k+1时，不等式也成立．
根据①和②，可知不等式对任意n∈N*都成立．
（2）由（1）知，bn≤(3-1)n2n-1．
所以Sn=b1+b2+...+bn≤(3-1)+(3-1)22+...+(3-1)n2n-1=(3-1)⋅1-(3-12)n1-3-12<(3-1)⋅11-3-12=233．
故对任意n∈N*，Sn<233．
20.解：（1）P甲=0.8×0.85=0.68，P乙=0.75×0.8=0.6．
（2）随机变量ξ、η的分别列是
ξ
5
2.5
P
0.68
0.32
η
2.5
1.5
P
0.6
0.4
Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1．
（3）由题设知5x+10y≤608x+2y≤40x≥0y≥0.
目标函数为z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y．
作出可行域（如图）：
作直线l:4.2x+2.1y=0，
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M点与原点距离最大，
此时z=4.2x+2.1y
8 / 8
取最大值．解方程组5x+10y=608x+2y=40.
得x=4，y=4．即x=4，y=4时，z取最大值，z的最大值为25.2．
21.（1）证法一：设点P的坐标为(x, y)．
由P(x, y)在椭圆上，得|F1P→|=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2-b2a2x2=(a+cax)2
由x≥a，知a+cax≥-c+a>0，所以|F1P→|=a+cax
证法二：设点P的坐标为(x, y)．记|F1P→|=r1，|F2P→|=r2，
则r1=(x+c)2+y2，r2=(x+c)2+y2．
由r1+r2=2a，r12+r22=4cx，得|F1P→|=r1=a+cax．
证法三：设点P的坐标为(x, y)．椭圆的左准线方程为a+cax=0
由椭圆第二定义得|F1P→||x+a2c|=ca，即||F1P→=ca|x+a2c|=|a+cax|．
由x≥-a，知a+cax≥-c+a>0，所以|F1P→|=a+cax．
（2）解法一：设点T的坐标为(x, y)．
当|PT→|=0时，点(a, 0)和点(-a, 0)在轨迹上．
当|PT→|≠0且|TF2→|≠0时，由|PT→|⋅|TF2→|=0，得PT→⊥TF2→．
又|PQ→|=|PF2→|，所以T为线段F2Q的中点．
在△QF1F2中，|OT→|=12|F1Q→|=a，所以有x2+y2=a2．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2．
解法二：设点T的坐标为(x, y)．当|PT→|=0时，点(a, 0)和点(-a, 0)在轨迹上．
当|PT→|≠0且|TF2→|≠0，时，由PT→⋅TF2→=0，得PT→⊥TF2→．
又，|TF2→||PQ→|=|PF2→|，所以T为线段F2Q的中点．
设点Q的坐标为(x', y')，则x=x'+c2y=y'2.
因此x'=2x-cy'=2y.①
由|F1Q→|=2a得(x'+c)2+y'2=4a2．②
将①代入②，可得x2+y2=a2．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=a2．
（3）解法一：C上存在点M(x0, y0)使S=b2的充要条件是x02+y02=a2③12⋅2c|y0|=b2．④
由③得|y0|≤a，由④得|y0|≤b2c．所以，当a≥b2c时，存在点M，使S=b2；
当a<b2c时，不存在满足条件的点M．
当a≥b2c时，MF1→=(-c-x0, -y0)，MF2→=(c-x0, -y0)，
由MF1→⋅MF2→=x02-c2+y02=a2-c2=b2，MF1→⋅MF2→=|MF1→|⋅|MF2→|=cos∠F1MF2，
S=12MF1→⋅MF2→sin∠F1MF2=b2，得tan∠F1MF2=2．
解法二：C上存在点M(x0, y0)使S=b2的充要条件是
x02+y02=a2③12⋅2c|y0|=b2．④
由④得|y0|≤b2c．上式代入③得x02=a2-b4c2=(a-b2c)(a+b2c)≥0
于是，当a≥b2c时，存在点M，使S=b2；
当a<b2c时，不存在满足条件的点M．
8 / 8
当a≥b2c时，记k1=kF1M=y0x0+c，k2=kF2M=y0x0-c，
由|F1F2|<2a，知∠F1MF2<90∘，所以tan∠F1MF2=|k1-k21+k1k2|=2．
22.(I)解：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
∴ m=f(x0)-x0f'(x0)．
(II)证明：令h(x)=g(x)-f(x)，则h'(x)=f'(x0)-f'(x)，h'(x0)=0．
因为f'(x)递减，所以h'(x)递增，因此，当x>x0时，h'(x)>0；
当x<x0时，h'(x)<0．所以x0是h(x)唯一的极值点，且是极小值点，
可知h(x)的最小值为0，因此h(x)≥0，即g(x)≥f(x)．
8 / 8
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