2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第四章　第4讲　三角函数的图象与性质 9页

‎ [基础题组练]‎ ‎1．函数y＝|cos x|的一个增区间是(　　)‎ A．[－，]　　　　　 B．[0，π]‎ C．[π，] D．[，2π]‎ 解析：选D.将y＝cos x的图象位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.‎ ‎2．设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在上是减少的 解析：选D.函数f(x)＝cos的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位得到，如图可知，f(x)在上先减后增，D选项错误．‎ ‎3．(2020·河北衡水第十三中学质检(四))同时满足f(x＋π)＝f(x)与f＝f的函数f(x)的解析式可以是(　　)‎ A．f(x)＝cos 2x　　　　 B．f(x)＝tan x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝sin 2x 解析：选D.由题意得所求函数的周期为π，且图象关于x＝对称．‎ A．f(x)＝cos 2x的周期为π，而f＝0不是函数的最值．‎ 所以其图象不关于x＝对称．‎ B．f(x)＝tan x的周期为π，但图象不关于x＝对称．‎ C．f(x)＝sin x的周期为2π，不合题意．‎ D．f(x)＝sin 2x的周期为π，且f＝1为函数最大值，‎ 所以D满足条件，故选D.‎ ‎4．(2020·河南六市联考)已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，则φ为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选D.因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，‎ 所以ω＝2，φ＝－＋2kπ(k∈Z)，‎ 即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，‎ 因为|φ|<，所以φ＝－，选D.‎ ‎5．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0)．在同一周期内，当x＝时取最大值，当x＝－时取最小值，则φ的值可能为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选C.T＝＝2＝π，故ω＝2，又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ的值可能为.故答案为C.‎ ‎6．函数f(x)＝sin的减区间为________．‎ 解析：由已知可得函数为f(x)＝－sin，欲求函数f(x)的减区间，只需求y＝sin的增区间．‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)．‎ 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 故所求函数f(x)的减区间为 (k∈Z)．‎ 答案：(k∈Z)‎ ‎7．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________．‎ 解析：由函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，‎ 所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，从而得函数f(x)的最小正周期为＝.‎ 答案： ‎8．已知函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，其中ω为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是________．‎ 解析：因为函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1，3)得，ω＝2.由题意得|x1－x2|的最小值为函数的半个周期，即＝＝.‎ 答案： ‎9．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－2.‎ ‎(1)求f(x)的增区间；‎ ‎(2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．‎ 解：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.‎ ‎(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，‎ 则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故f(x)的增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)因为x∈，‎ 所以≤2x＋≤，‎ 所以－1≤sin≤ ，‎ 所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.‎ ‎10．已知函数f(x)＝4sin(x－)cos x＋.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和增区间；‎ ‎(2)若函数g(x)＝f(x)－m在[0，]上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan(x1＋x2)的值．‎ 解：(1)f(x)＝4sin(x－)cos x＋＝4(sin x－cos x)cos x＋＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)．‎ 所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．‎ 所以函数f(x)的增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ ‎(2)函数g(x)＝f(x)－m在[0，]上有两个不同的零点x1，x2，即函数y＝f(x)与y＝m在[0，]上的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出函数y＝f(x)＝2sin(2x－)在[0，]上的图象，如图所示，‎ 由图象可知，当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×＝，‎ 故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan ＝－.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：‎ ‎①f(x)是偶函数；‎ ‎②f(x)在区间递增；‎ ‎③f(x)在[－π，π]有4个零点；‎ ‎④f(x)的最大值为2.‎ 其中所有正确结论的编号是(　　)‎ A．①②④ B．②④‎ C．①④ D．①③‎ 解析：选C.通解：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确；当0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：‎ ‎①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ‎②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点 ‎③f(x)在递增 ‎④ω的取值范围是 其中所有正确结论的编号是(　　)‎ A．①④ B．②③‎ C．①②③ D．①③④‎ 解析：选D.如图，根据题意知，xA≤2π0)，f()＋f()＝0，且f(x)在区间(，)上是减少的，则ω＝________.‎ 解析：因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)，‎ 由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得＋≤x≤＋，因为f(x)在区间(，)上递减，所以(，)⊆[＋，＋]，从而有，‎ 解得12k＋1≤ω≤，k∈Z，‎ 所以1≤ω≤，因为f()＋f()＝0，‎ 所以x＝＝为f(x)＝2sin(ωx＋)的一个对称中心的横坐标，‎ 所以ω＋＝kπ(k∈Z)，ω＝3k－1，k∈Z，‎ 又1≤ω≤，所以ω＝2.‎ 答案：2‎ ‎4．(2020·江赣十四校第二次联考)如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2－ cos(m>0)的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是________．‎ 解析：化简f(x)＝2sin2－cos得f(x)＝2sin＋1，所以，函数f(x)‎ 的图象靠近圆心(0，1)的最大值点为，最小值点为，‎ 所以只需解得m≥.‎ 答案： ‎5．已知函数f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t值；‎ ‎(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)因为f(x)＝－cos－cos 2x ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝2 ‎＝2sin(2x－)．‎ 故f(x)的最小正周期为T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)知h(x)＝2sin.‎ 令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，‎ 得t＝＋(k∈Z)，‎ 又t∈(0，π)，故t＝或.‎ ‎(3)当x∈时，2x－∈，‎ 所以f(x)∈[1，2]．‎ 又|f(x)－m|<3，‎ 即f(x)－30，函数f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，当x∈[0，]时，－5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a，b的值；‎ ‎(2)设g(x)＝f(x＋)且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．‎ 解：(1)因为x∈[0，]，‎ 所以2x＋∈[，]，‎ 所以sin(2x＋)∈[－，1]，‎ 所以－2asin(2x＋)∈[－2a，a]，‎ 所以f(x)∈[b，3a＋b]，又因为－5≤f(x)≤1，‎ 所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝－4sin(2x＋)－1，‎ g(x)＝f(x＋)＝－4sin(2x＋)－1‎ ‎＝4sin(2x＋)－1，‎ 又由lg g(x)>0，得g(x)>1，‎ 所以4sin(2x＋)－1>1，‎ 所以sin(2x＋)>，‎ 所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，‎ 其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，‎ g(x)是增加的，即kπ