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  • 2021-06-16 发布

2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破:第十章 第7讲 二项分布及其应用

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‎ [基础题组练]‎ ‎1.(2020·马鞍山一模)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未损坏,则这个元件使用寿命超过2年的概率为(  )‎ A.0.75   B.0.6   ‎ C.0.52   D.0.48‎ 解析:选A.设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A,使用到2年时还未损坏为事件B,则由题意知P(AB)=0.6,P(A)=0.8,则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)===0.75,故选A.‎ ‎2.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立,则同一工作日至少3人需使用设备的概率为(  )‎ A.0.25         B.0.30‎ C.0.31 D.0.35‎ 解析:选C.设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A,B,C,D,则P(A)=0.6,P(B)=P(C)=0.5,P(D)=0.4,恰好3人使用设备的概率 P1=P(BCD+ACD+ABD+ABC) ‎ ‎=(1-0.6)×0.5×0.5×0.4+0.6×(1-0.5)×0.5×0.4+0.6×0.5×(1-0.5)×0.4+0.6×0.5×0.5×(1-0.4)=0.25,‎ ‎4人使用设备的概率 P2=0.6×0.5×0.5×0.4=0.06,‎ 故所求概率P=0.25+0.06=0.31.‎ ‎3.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查,随机抽查的200个机械元件情况如下:‎ 使用时间/天 ‎10~20‎ ‎21~30‎ ‎31~40‎ ‎41~50‎ ‎51~60‎ 个数 ‎10‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎20‎ 若以频率为概率,现从该批次机械元件中随机抽取3个,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为=,则所求概率为C×+=.‎ ‎4.(2020·河南中原名校联盟一模)市场调查发现,大约的人喜欢在网上购买家用小电器,其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经工商局抽样调查,发现网上购买的家用小电器的合格率约为,而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉,则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A.因为大约的人喜欢在网上购买家用小电器,网上购买的家用小电器的合格率约为,所以某家用小电器是在网上购买的,且被投诉的概率约为×=,又实体店里的家用小电器的合格率约为,所以某家用小电器是在实体店里购买的,且被投诉的概率约为×=,故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉,则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P==.‎ ‎5.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=(  )‎ A.0.7 B.0.6‎ C.0.4 D.0.3‎ 解析:选B.由题意知,该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布,所以DX=10p·(1-p)=2.4,所以p=0.6或p=0.4.由P(X=4)<P(X=6),得Cp4(1-p)6<Cp6(1-p)4,即(1-p)2<p2,所以p>0.5,所以p=0.6.‎ ‎6.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且每次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为________.‎ 解析:该同学通过测试的概率P=C×0.62×0.4+0.63=0.432+0.216=0.648.‎ 答案:0.648‎ ‎7.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游,每人只去一个景点,设事件A为“‎ ‎4个人去的景点不相同”,事件B为“小赵独自去一个景点”,则P(A|B)=________.‎ 解析:小赵独自去一个景点共有4×3×3×3=108种情况,即n(B)=108,4个人去的景点不同的情况有A=4×3×2×1=24种,即n(AB)=24,所以P(A|B)===.‎ 答案: ‎8.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________,该选手回答了5个问题结束的概率为________.‎ 解析:依题意,该选手第2个问题回答错误,第3,4个问题均回答正确,第1个问题回答正误均有可能,则所求概率P=0.8×0.2×0.82+0.2×0.2×0.82=1×0.2×0.82=0.128.‎ 依题意,设答对的事件为A,可分第3个正确与错误两类,若第3个正确则有AA或A两类情况,其概率为:0.8×0.2×0.8×0.2+0.2×0.2×0.8×0.2=0.025 6+0.006 4=0.032 0.该选手第3个问题的回答是错误的,第1,2两个问题回答均错误或有且只有1个错误,则所求概率P=0.23+2×0.2×0.8×0.2=0.008+0.064=0.072.所以,所求概率为0.032 0+0.072=0.104.‎ 答案:0.128 0.104‎ ‎9.(2020·湖南两市联考)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛,本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.一个运动员出线记1分,未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为,,,他们出线与未出线是相互独立的.‎ ‎(1)求在这次选拔赛中,这三名运动员至少有一名出线的概率;‎ ‎(2)记在这次选拔赛中,甲、乙、丙三名运动员所得分数之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.‎ 解:(1)记“甲出线”为事件A,“乙出线”为事件B,“丙出线”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D,‎ 则P(D)=1-P()=1-××=.‎ ‎(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(ξ=0)=P()=;‎ P(ξ=1)=P(A)+P(B)+P( C)=;‎ P(ξ=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=;‎ P(ξ=3)=P(ABC)=.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故Eξ=0×+1×+2×+3×=.‎ ‎10.(2020·河北“五个一名校联盟”模拟)空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级:0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;300以上 为严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图.‎ ‎(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数;‎ ‎(2)将频率视为概率,从六月中随机抽取3天,记三天中空气质量为优良的天数为ξ,求ξ的分布列.‎ 解:(1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2,空气质量为良的天数为4,所以该样本中空气质量为优良的频率为=,从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×=18.‎ ‎(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,且ξ~B.‎ 所以P(ξ=0)==,‎ P(ξ=1)=C=,‎ P(ξ=2)=C=,‎ P(ξ=3)==.‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎[综合题组练]‎ ‎1.(2020·南昌模拟)为向国际化大都市目标迈进,某市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设,则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3.由题意,事件Ai,Bi,Ci(i=1,2,3)相互独立,则P(Ai)==,P(Bi)==,P(Ci)==,i=1,2,3,故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P=AP(AiBiCi)=6×××=.‎ ‎2.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为(  )‎ A. B.× C.× D.C×× 解析:选B.由题意知,第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球,第四次取的球是白球的情况,此事件发生的概率为×.‎ ‎3.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)‎ ‎①P(B)=;‎ ‎②P(B|A1)=;‎ ‎③事件B与事件A1相互独立;‎ ‎④A1,A2,A3是两两互斥的事件;‎ ‎⑤P(B)的值不能确定,它与A1,A2,A3中哪一个发生都有关.‎ 解析:由题意知A1,A2,A3是两两互斥的事件,‎ P(A1)==,P(A2)==,P(A3)=,‎ P(B|A1)==,‎ P(B|A2)=,P(B|A3)=,‎ 而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)‎ ‎=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)‎ ‎=×+×+×=.故正确的为②④.‎ 答案:②④‎ ‎4.已知甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7,0.6,且每次试跳成功与否之间没有影响.‎ ‎(1)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率是________;‎ ‎(2)若甲、乙各试跳两次,则甲比乙的成功次数多一次的概率是________.‎ 解析:(1)记“甲在第i次试跳成功”为事件Ai,“乙在第i次试跳成功”为事件Bi,“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.‎ 法一:P(C)=P(A11)+P(1B1)+P(A1B1) ‎ ‎=P(A1)P(1)+P(1)P(B1)+P(A1)P(B1)‎ ‎=0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6=0.88.‎ 法二:由对立事件的概率计算公式得P(C)=1-P(11)=1-P(1)P(1)=1-0.3×0.4=0.88.‎ ‎(2)设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi,“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni,所以所求概率P=P(M1N0)+P(M2N1)=P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1)=C×0.7×0.3×0.42+0.72×C×0.6×0.4=0.302 4.‎ 答案:(1)0.88 (2)0.302 4‎ ‎5.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.‎ ‎(1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率;‎ ‎(2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;‎ ‎(3)假设每人连续2次未击中目标,则终止其射击.问:乙恰好射击5次后,被终止射击的概率是多少?‎ 解:(1)记“甲连续射击4次,至少有1次未击中目标”为事件A1,则事件A1的对立事件A1为“甲连续射击4次,全部击中目标”.由题意知,射击4次相当于做4次独立重复试验.‎ 故P(1)=C=.‎ 所以P(A1)=1-P(1)=1-=.‎ 所以甲连续射击4次,至少有一次未击中目标的概率为.‎ ‎(2)记“甲射击4次,恰好有2次击中目标”为事件A2,“乙射击4次,恰好有3次击中目标”为事件B2,‎ 则P(A2)=C××=,‎ P(B2)=C×=.‎ 由于甲、乙射击相互独立,‎ 故P(A2B2)=P(A2)P(B2)=×=.‎ 所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.‎ ‎(3)记“乙恰好射击5次后,被终止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中“为事件Di(i=1,2,3,4,5),‎ 则A3=D5D43(21∪2D1∪D21),且P(Di)=.‎ 由于各事件相互独立,故 P(A3)=P(D5)P(D4)P(3)P(21+2D1+D21)‎ ‎=×××=.‎ 所以乙恰好射击5次后被终止射击的概率为.‎ ‎6.为研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为:在55名男性驾驶员中,平均车速超过100 km/h的有40人,不超过100 km/h的有15人;在45名女性驾驶员中,平均车速超过100 km/h的有20人,不超过100 km/h的有25人.‎ ‎(1)在被调查的驾驶员中,从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人,‎ 求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率;‎ ‎(2)以上述样本数据估计总体,从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X,求X的分布列.‎ 解:(1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人,从中随机抽取2人的方法总数为C,记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A,则事件A所包含的基本事件数为CC,所以所求的概率P(A)===.‎ ‎(2)根据样本估计总体的思想,从总体中任取1辆车,平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为=,‎ 故X~B.‎ 所以P(X=0)=C=,‎ P(X=1)=C=,‎ P(X=2)=C=,‎ P(X=3)=C=.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P