2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：选修4－4　第1讲　坐标系 6页

‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2020·山东省安丘市、诸城市联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2ρcos ＝3.‎ ‎(1)求曲线C1的极坐标方程；‎ ‎(2)已知点M(2，0)，直线l的极坐标方程为θ＝，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求△MPQ的面积．‎ 解：(1)C1： 其普通方程为x2＋(y－1)2＝1，化为极坐标方程为C1：ρ＝2sin θ.‎ ‎(2)联立C1与l的极坐标方程解得P点极坐标为，‎ 联立C2与l的极坐标方程解得Q点极坐标为，所以PQ＝2，又点M到直线l的距离d＝2sin ＝1，‎ 故△MPQ的面积S＝PQ·d＝1.‎ ‎2．(2020·江西九江模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，曲线C2：＋y2＝1.‎ ‎(1)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)射线OT：θ＝(ρ≥0)与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|的大小．‎ 解：(1)由得(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＝0，即ρ＝2cos θ；‎ 由＋y2＝1得C2的极坐标方程为＋ρ2sin2 θ＝1.‎ ‎(2)联立得|OA|＝ρ1＝2cos ＝，‎ 联立得|OB|＝ρ2＝，‎ 所以|AB|＝－.‎ ‎3．平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cos θ.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值．‎ 解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，‎ ρsin2θ＝2cos θ，即ρ2sin2θ＝2ρcos θ，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入曲线C得直角坐标方程为y2＝2x.‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x得 t2sin2α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0，‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 由一元二次方程根与系数的关系得t1t2＝，‎ 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，得α＝或α＝.‎ 又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2α>0，所以α＝.‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)．‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．‎ 解：(1)因为(φ为参数)，所以曲线C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 由得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝.‎ 因为x2＋y2－2y＝0，‎ 所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(2)由(1)得|OA|2＝ρ2＝，|OB|2＝ρ2＝4sin2α，‎ 所以|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4(1＋sin2α)－4，‎ 因为0<α<，所以1<1＋sin2α<2，‎ 所以6<＋4(1＋sin2α)<9，‎ 所以|OA|2＋|OB|2的取值范围为(2，5)．‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程是x＝4.曲线C的参数方程是(φ为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)若射线θ＝α与曲线C交于点O，A，与直线l交于点B，求的取值范围．‎ 解：(1)由x＝ρcos θ，得直线l的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ 曲线C的参数方程为(φ为参数)，‎ 消去参数φ得曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，‎ 即x2＋y2－2x－2y＝0，‎ 将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ.‎ ‎(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，‎ 则ρ1＝2cos α＋2sin α，ρ2＝，‎ 所以＝＝ ‎＝＝(sin 2a＋cos 2α)＋ ‎＝sin＋，‎ 因为0<α<，所以<2α＋<，‎ 所以