高中人教a版数学必修4：第24课时 平面向量数量积的物理背景及其含义 word版含解析 3页

第 24 课时 平面向量数量积的物理背景及其含义 课时目标 1.理解平面向量数量积的含义；了解平面向量数量积与投影的关系；掌握数量积的性质． 2．掌握平面向量数量积的几何意义；掌握平面向量数量积的运算律． 识记强化 1．已知两个非零向量 a，b，我们把|a|·|b|cosθ叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b ＝|a|·|b|cosθ.规定零向量与任一向量的数量积为零，其中θ是 a 与 b 的夹角． 2．|a|cosθ叫做向量 a 在 b 方向上的投影，|b|cosθ叫做 b 在 a 方向上的投影． 3．两个非零向量互相垂直的等价条件是 a·b＝0. 4．a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cosθ的乘积． 5．向量数量积的运算律为： (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 课时作业 一、选择题 1．给出以下五个结论：①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④(a·b)·c＝a·(b·c)；⑤|a·b|≤a·b. 其中正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：①②③显然正确；(a·b)·c 与 c 共线，而 a·(b·c)与 a 共线，故④错误；a·b 是一个 实数，应该有|a·b|≥a·b，故⑤错误． 2．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a·b＝2，则 a 与 b 的夹角θ为( ) A.π 6 B.π 4 C.π 3 D.π 2 答案：C 解析：由题意，知 a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又 0≤θ≤π，所以θ＝π 3. 3．已知向量 a，b 满足|a|＝1，a⊥b，则向量 a－2b 在向量 a 方向上的投影为( ) A．1 B. 7 7 C．－1 D.2 7 7 答案：A 解析：设θ为向量 a－2b 与向量 a 的夹角，则向量 a－2b 在向量 a 方向上的投影为|a－ 2b|cosθ.又 cosθ＝a－2b·a |a－2b|·|a| ＝ a2－2a·b |a－2b|·|a| ＝ 1 |a－2b| ，故|a－2b|cosθ＝|a－2b|· 1 |a－2b| ＝1. 4．设向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，则 a 与 b 的夹角是( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案：D 解析：设向量 a 与 b 的夹角为θ，则 a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a|·|b|·cosθ＝1＋1×2×cosθ ＝1＋2cosθ＝0，∴cosθ＝－1 2.又 0°≤θ≤180°，∴θ＝120°，选 D. 5．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则 k＝( ) A．－6 B．6 C．3 D．－3 答案：B 解析：由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，由于 a⊥b，故 a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是 2k －12＝0，解得 k＝6. 6．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于( ) A．－16 B．－8 C．8 D．16 答案：D 解析：AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|cosA＝|AC→|2＝16 二、填空题 7．一物体在力 F 的作用下沿水平方向由 A 运动至 B，已知 AB＝10 米，F 与水平方向 的夹角为 60°，|F|＝5 牛顿，物体从 A 至 B 力 F 所做的功 W＝__________. 答案：25 焦耳 解析：由物理知识知 W＝F·s＝|F|·|s|cosθ＝5×10×cos60°＝25(焦耳)． 8．如果 a，b，a－b 的模分别为 2,3，7，则 a 与 b 的夹角为________． 答案：π 3 解析：设 a 与 b 的夹角为θ，由|a－b|2＝a2－2a·b＋b2，得 7＝13－12cosθ，即 cosθ＝1 2. 又 0≤θ≤π，故θ＝π 3. 9．已知在△ABC 中，AB＝AC＝4，AB→·AC→＝8，则△ABC 的形状是________． 答案：等边三角形 解析：AB→·AC→ ＝|AB→||AC→|cos∠BAC，即 8＝4×4cos∠BAC，于是 cos∠BAC＝1 2 ，所以∠ BAC＝60°.又 AB＝AC，故△ABC 是等边三角形． 三、解答题 10．已知 e1 与 e2 是两个夹角为 60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求 a 与 b 的 夹角． 解：因为|e1|＝|e2|＝1，所以 e1·e2＝1×1×cos60°＝1 2 ， |a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝ 7， |b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e1·e2＝7，故|b|＝ 7， 且 a·b＝－6e21＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋1 2 ＝－7 2 ， 所以 cos〈a，b〉＝ a·b |a|·|b| ＝ －7 2 7× 7 ＝－1 2 ， 所以 a 与 b 的夹角为 120°. 11．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a，b 的夹角为 60°. (1)若(2a－b)·(a＋b)； (2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值． 解：(1)由题意，得 a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×4×1 2 ＝2. ∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12. (2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0， ∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0， ∴λ＝12. 能力提升 12．已知|a|＝2|b|≠0，且关于 x 的方程 x2＋|a|x＋a·b＝0 有实根，则 a 与 b 的夹角的取 值范围是________． 答案： π 3 ，π 解析：由于|a|＝2|b|≠0，且关于 x 的方程 x2＋|a|x＋a·b＝0 有实根，则|a|2－4a·b≥0，设 向量 a 与 b 的夹角为θ，则 cosθ＝ a·b |a||b| ≤ 1 4|a|2 1 2|a|2 ＝1 2 ， ∴θ∈ π 3 ，π . 13．设两向量 e1，e2 满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2 的夹角为 60°，若向量 2te1＋7e2 与向量 e1＋te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围． 解：由已知得 e21＝4，e22＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1. ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t＋7. 欲使夹角为钝角，需 2t2＋15t＋7<0，得－7