2006年湖北省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 8页

‎2006年湖北省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. 已知向量a‎→‎‎=(‎3‎,1)‎，b‎→‎是不平行于x轴的单位向量，且a‎→‎‎⋅b‎→‎=‎‎3‎，则b‎→‎‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎(‎3‎‎2‎,‎1‎‎2‎)‎ B.‎(‎1‎‎2‎,‎3‎‎2‎)‎ C.‎(‎1‎‎4‎,‎3‎‎3‎‎4‎)‎ D.‎‎(1, 0)‎ ‎2. 若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c＝‎10‎，则a＝（ ）‎ A.‎4‎ B.‎2‎ C.‎-2‎ D.‎‎-4‎ ‎3. 若‎△ABC的内角A满足sin2A=‎‎2‎‎3‎，则sinA+cosA=(‎        ‎‎)‎ A.‎15‎‎3‎ B.‎-‎‎15‎‎3‎ C.‎5‎‎3‎ D.‎‎-‎‎5‎‎3‎ ‎4. 设f(x)=lg‎2+x‎2-x，则f(x‎2‎)+f(‎2‎x)‎的定义域为（ ）‎ A.‎(-4, 0)∪(0, 4)‎ B.‎(-4, -1)∪(1, 4)‎ C.‎(-2, -1)∪(1, 2)‎ D.‎‎(-4, -2)∪(2, 4)‎ ‎5. 在‎(x-‎‎1‎‎3‎x‎)‎‎24‎的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有（ ）‎ A.‎3‎项 B.‎4‎项 C.‎5‎项 D.‎9‎项 ‎6. 关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：‎ ‎①若m // α，n // β且α // β，则m // n；‎ ‎②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；‎ ‎③若m⊥α，n // β且α // β，则m⊥n；‎ ‎④若m // α，n⊥β且α⊥β，则m // n；‎ 其中真命题的序号是（ ）‎ A.①② B.③④ C.①④ D.②③‎ ‎7. 设过点P(x, y)‎的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP‎→‎‎=2‎PA‎→‎且OQ‎→‎‎⋅AB‎→‎=1‎，则点P的轨迹方程是（ ）‎ A.‎3x‎2‎+‎3‎‎2‎y‎2‎=1(x>0,y>0)‎ B.‎‎3x‎2‎-‎3‎‎2‎y‎2‎=1(x>0,y>0)‎ C.‎3‎‎2‎x‎2‎‎-3y‎2‎=1(x>0,y>0)‎ D.‎‎3‎‎2‎x‎2‎‎+3y‎2‎=1(x>0,y>0)‎ ‎8. 有限集合S中元素的个数记做card(S)‎，设A，B都为有限集合，给出下列命题：‎ ‎①A∩B=⌀‎的充要条件是card(A∪B)=card(A)+card(B)‎；‎ ‎②A⊆B的必要条件是card(A)≤card(B)‎；‎ ‎③A⊈B的充要条件是card(A)≤card(B)‎；‎ ‎④A=B的充要条件是card(A)=card(B)‎；‎ 其中真命题的序号是（ ）‎ A.③④ B.①② C.①④ D.②③‎ ‎9. 已知平面区域D由以A(1, 3)‎，B(5, 2)‎，C(3, 1)‎为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点‎(x, y)‎可使目标函数z=x+my取得最小值，则m=(‎ ‎‎)‎ A.‎-2‎ B.‎-1‎ C.‎1‎ D.‎‎4‎ ‎10. 关于x的方程‎(x‎2‎-1‎)‎‎2‎-|x‎2‎-1|+k＝‎0‎，给出下列四个命题：‎ ‎①存在实数k，使得方程恰有‎2‎个不同的实根；‎ ‎ 8 / 8‎ ‎②存在实数k，使得方程恰有‎4‎个不同的实根；‎ ‎③存在实数k，使得方程恰有‎5‎个不同的实根；‎ ‎④存在实数k，使得方程恰有‎8‎个不同的实根；‎ 其中假命题的个数是（ ）‎ A.‎0‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11. 设x，y为实数，且x‎1-i‎+y‎1-2i=‎‎5‎‎1-3i，则x+y=‎________．‎ ‎12. 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为‎0.80‎，现有‎5‎人接种了该疫苗，至少有‎3‎人出现发热反应的概率为________．（精确到‎0.01‎）‎ ‎13. 已知直线‎5x-12y+a=0‎与圆x‎2‎‎-2x+y‎2‎=0‎相切，则a的值为________．‎ ‎14. 某工程队有‎6‎项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行．那么安排这‎6‎项工程的不同排法种数是________．（用数字作答）‎ ‎15. 将杨辉三角中的每一个数Cnr都换成‎1‎‎(n+1)‎Cnr，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出‎1‎‎(n+1)‎Cnr‎+‎1‎‎(n+1)‎Cnx=‎‎1‎nCn-1‎r，其中x=r+1‎，令an‎=‎1‎‎3‎+‎1‎‎12‎+‎1‎‎30‎+‎1‎‎60‎+…+‎1‎nCn-1‎‎2‎+‎‎1‎‎(n+1)‎Cn‎2‎，则limn→∞‎an‎=‎________．‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16. 设函数f(x)=a‎→‎⋅(b‎→‎+c‎→‎)‎，其中向量a‎→‎‎=(sinx,-cosx)‎，b‎→‎‎=(sinx,-3cosx)‎，c‎→‎‎=(-cosx,sinx)‎，x∈R．‎ ‎（1）求函数f(x)‎的最大值和最小正周期；‎ ‎（2）将函数f(x)‎的图象按向量d‎→‎平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d‎→‎．‎ ‎ 8 / 8‎ ‎17. 已知二次函数y=f(x)‎的图象经过坐标原点，其导函数为f‎'‎‎(x)=6x-2‎，数列‎{an}‎的前n项和为Sn，点‎(n, Sn)(n∈N‎*‎)‎均在函数y=f(x)‎的图象上．‎ 求数列‎{an}‎的通项公式；‎ 设bn‎=‎‎3‎anan+1‎，Tn是数列‎{bn}‎的前n项和，求使得Tn‎<‎m‎20‎对所有n∈‎N‎*‎都成立的最小正整数m．‎ ‎18. 如图，在底面边长为‎1‎，侧棱长为‎2‎的正四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，P是侧棱CC‎1‎上的一点，CP=m．‎ ‎(I)‎试确定m，使直线AP与平面BDD‎1‎B‎1‎所成角为‎60‎‎∘‎；‎ ‎(II)‎在线段A‎1‎C‎1‎上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D‎1‎Q⊥AP，并证明你的结论．‎ ‎ 8 / 8‎ ‎19. 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70, 100)‎．已知成绩在‎90‎分以上（含‎90‎分）的学生有‎12‎名．‎ ‎（1）试问此次参赛学生总数约为多少人？‎ ‎（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前‎50‎名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表Φ(x‎0‎)=P(x0)‎的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4‎为它的右准线．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设P为右准线上不同于点‎(4, 0)‎的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内．‎ ‎ 8 / 8‎ ‎21. 设x=3‎是函数f(x)=(x‎2‎+ax+b)e‎3-x(x∈R)‎的一个极值点．‎ ‎（1）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)‎的单调区间；‎ ‎（2）设a>0‎，g(x)=(a‎2‎+‎25‎‎4‎)‎ex．若存在ξ‎1‎，ξ‎2‎‎∈[0, 4]‎使得‎|f(ξ‎1‎)-g(ξ‎2‎)|<1‎成立，求a的取值范围．‎ ‎ 8 / 8‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年湖北省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.B ‎2.D ‎3.A ‎4.B ‎5.D ‎6.D ‎7.D ‎8.B ‎9.C ‎10.A 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）‎ ‎11.‎‎4‎ ‎12.‎‎0.94‎ ‎13.‎-18‎或‎8‎ ‎14.‎‎20‎ ‎15.‎‎1‎‎2‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16.解：（1）由题意得，‎f(x)=a⋅(b+c)=(sinx, -cosx)⋅(sinx-cosx, sinx-3cosx)‎ ‎=sin‎2‎x-2sinxcosx+3cos‎2‎x=2+cos2x-sin2x=2+‎2‎sin(2x+‎3π‎4‎)‎‎．‎ 所以，f(x)‎的最大值为‎2+‎‎2‎，最小正周期是‎2π‎2‎‎=π．‎ ‎（2）由sin(2x+‎3π‎4‎)=0‎得‎2x+‎3π‎4‎=k．π，即x=kπ‎2‎-‎‎3π‎8‎，k∈Z，‎ 于是d=(kπ‎2‎-‎3π‎8‎, -2)‎，‎|d|=‎‎(kπ‎2‎-‎3π‎8‎‎)‎‎2‎+4‎，k∈Z．‎ 因为k为整数，要使‎|d|‎最小，则只有k=1‎，此时d=(-π‎8‎, -2)‎即为所求．‎ ‎17.‎an‎=6n-5(n∈N‎*‎)‎ ‎10‎ ‎18.解：‎(1)‎建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1, 0, 0)‎‎，B(1, 1, 0)‎，‎ P(0, 1, m)‎‎，C(0, 1, 0)‎，‎ D(0, 0, 0)‎‎，B‎1‎‎(1, 1, 2)‎，D‎1‎‎(0, 0, 2)‎．‎ 所以BD‎→‎‎=(-1,-1,0)，BB‎1‎‎→‎=(0,0,2)‎，‎ AP‎→‎‎=(-1,1,m)，AC‎→‎=(-1,1,0)‎‎．‎ 又由AC‎→‎‎⋅BD‎→‎=0，AC‎→‎⋅BB‎1‎‎→‎=0知AC‎→‎为平面BB‎1‎D‎1‎D的一个法向量．‎ 设AP与面BDD‎1‎B‎1‎所成的角为θ，‎ 则sinθ=cos(π‎2‎-θ)=‎|AP‎→‎|⋅|AC‎→‎|‎‎˙‎=‎2‎‎2‎‎⋅‎‎2+‎m‎2‎=‎‎3‎‎2‎，‎ 解得m=‎‎6‎‎3‎．故当m=‎‎6‎‎3‎时，‎ 直线AP与平面BDD‎1‎B‎1‎所成角为‎60‎‎∘‎；‎ ‎ 8 / 8‎ ‎(2)‎若在A‎1‎C‎1‎上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，‎ 则Q(x,1-x,2),D‎1‎Q‎→‎=(x,1-x,0)‎．‎ 依题意，对任意的m要使D‎1‎Q在平面APD‎1‎上的射影垂直于AP．等价于 D‎1‎Q‎→‎‎⊥AP‎→‎⇔D‎1‎Q‎→‎⋅AP‎→‎=0⇔-x+(1-x)=0⇔x=‎‎1‎‎2‎ 即Q为A‎1‎C‎1‎的中点时，满足题设的要求．‎ ‎19.解：（1）设参赛学生的分数为ξ，因为ξ∼N(70, 100)‎，‎ 由条件知，‎P(ξ≥90)=1-P(ξ<90)=1-φ(90)‎ ‎=1-Φ(‎90-70‎‎10‎)=1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228‎‎．‎ 这说明成绩在‎90‎分以上（含‎90‎分）的学生人数约占全体参赛人数的‎2.28%‎，‎ ‎∴ 参赛总人数约为‎12‎‎0.0228‎‎≈526‎（人）．‎ ‎（2）假定设奖的分数线为x分，则 P(ξ≥x)=1-P(ξ0‎，‎ ‎∴ BM‎→‎‎⋅BP‎→‎>0‎，则‎∠MBP为锐角，从而‎∠MBN为钝角，‎ ‎ 8 / 8‎ 故点B在以MN为直径的圆内．‎ ‎21.解：（1）f'(x)=-[x‎2‎+(a-2)x+b-a]‎e‎3-x，‎ 由f'(3)=0‎，得‎-[‎3‎‎2‎+(a-2)3+b-a]e‎3-3‎=0‎，即得b=-3-2a，‎ 则f'(x)=[x‎2‎+(a-2)x-3-2a-a]‎e‎3-x ‎=-[x‎2‎+(a-2)x-3-3a]e‎3-x=-(x-3)(x+a+1)‎e‎3-x‎．‎ 令f'(x)=0‎，得x‎1‎‎=3‎或x‎2‎‎=-a-1‎，‎ 由于x=3‎是极值点，‎ 所以x+a+1≠0‎，那么a≠-4‎．‎ 当a<-4‎时，x‎2‎‎>3=‎x‎1‎，则 在区间‎(-∞, 3)‎上，f'(x)<0‎，f(x)‎为减函数；‎ 在区间‎(3, -a-1)‎上，f'(x)>0‎，f(x)‎为增函数；‎ 在区间‎(-a-1, +∞)‎上，f'(x)<0‎，f(x)‎为减函数．‎ 当a>-4‎时，x‎2‎‎<3=‎x‎1‎，则 在区间‎(-∞, -a-1)‎上，f'(x)<0‎，f(x)‎为减函数；‎ 在区间‎(-a-1, 3)‎上，f'(x)>0‎，f(x)‎为增函数；‎ 在区间‎(3, +∞)‎上，f'(x)<0‎，f(x)‎为减函数．‎ ‎（2）由（1）知，当a>0‎时，f(x)‎在区间‎(0, 3)‎上的单调递增，在区间‎(3, 4)‎上单调递减，‎ 那么f(x)‎在区间‎[0, 4]‎上的值域是‎[min(f(0), f(4)), f(3)]‎，‎ 而f(0)=-(2a+3)e‎3‎<0‎，f(4)=(2a+13)e‎-1‎>0‎，f(3)=a+6‎，‎ 那么f(x)‎在区间‎[0, 4]‎上的值域是‎[-(2a+3)e‎3‎, a+6]‎．‎ 又g(x)=(a‎2‎+‎25‎‎4‎)‎ex在区间‎[0, 4]‎上是增函数，‎ 且它在区间‎[0, 4]‎上的值域是‎[a‎2‎+‎25‎‎4‎, (a‎2‎+‎25‎‎4‎)e‎4‎]‎，‎ 由于‎(a‎2‎+‎25‎‎4‎)-(a+6)=a‎2‎-a+‎1‎‎4‎=(a-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎≥0‎，‎ 所以只须仅须‎(a‎2‎+‎25‎‎4‎)-(a+6)<1‎且a>0‎，‎ 解得‎0