2020高中数学 课时分层作业15 反证法 新人教A版选修2-2 5页

课时分层作业(十五)　反证法 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中(　　) ‎ ‎【导学号：31062157】‎ A．有一个内角小于60° ‎ B．每一个内角都小于60°‎ C．有一个内角大于60° ‎ D．每一个内角都大于60°‎ B　[由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以选B.]‎ ‎2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)‎ A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 A　[依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.]‎ ‎3．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为(　　)‎ A．自然数a，b，c都是奇数 B．自然数a，b，c都是偶数 C．自然数a，b，c中至少有两个偶数 D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 D　[反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．]‎ ‎4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为 ‎(　　)‎ A．一定是异面直线　　　 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 C　[假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故选C.]‎ 5‎ ‎5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数 ‎ ‎(　　)‎ A．至少有一个不大于2‎ B．都小于2‎ C．至少有一个不小于2‎ D．都大于2‎ C　[若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6①，‎ 而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，‎ 显然①，②矛盾，所以C正确．]‎ 二、填空题 ‎6．用反证法证明“若函数f(x)＝x2＋px＋q，则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”时，假设内容是________. ‎ ‎【导学号：31062158】‎ ‎[解析]　“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”的反面是“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于”．‎ ‎[答案]　|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 ‎7．用反证法证明命题“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝‎1”‎时，应假设________．‎ ‎[解析]　反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是x≠－1且x≠1.‎ ‎[答案]　x≠－1且x≠1‎ ‎8．完成反证法证题的全过程．‎ 题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．‎ 证明：假设p为奇数，则________均为奇数．‎ 因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.‎ 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．‎ ‎[解析]　由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．‎ ‎[答案]　a1－1，a2－2，…，a7－7　(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) 　(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)‎ 三、解答题 5‎ ‎9. 已知x，y>0，且x＋y>2.‎ 求证：，中至少有一个小于2. ‎ ‎【导学号：31062159】‎ ‎[证明]　假设，都不小于2，‎ 即≥2，≥2.‎ ‎∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.‎ ‎∴2＋x＋y≥2(x＋y)，‎ 即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．‎ ‎∴，中至少有一个小于2.‎ ‎10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．‎ ‎[解]　假设f(x)＝0有整数根n，‎ 则an2＋bn＋c＝0，‎ 由f(0)为奇数，即c为奇数，‎ f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，‎ 又an2＋bn＝－c为奇数，‎ 所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，‎ 所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，‎ 所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．‎ 所以f(x)＝0无整数根．‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．已知a、b、c∈(0,1)．则在(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中， (　　) ‎ ‎【导学号：31062160】‎ A．不能同时大于 B．都大于 C．至少一个大于 D．至多有一个大于 A　[法一：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于.‎ 5‎ ‎∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.＞＞＝，‎ 同理＞，＞.‎ 三式相加，得 ＋＋＞，‎ 即＞，矛盾．‎ 所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于.‎ 法二：假设三个式子同时大于，即(1－a)b>，‎ ‎(1－b)c>，(1－c)a>，三式相乘得 ‎(1－a)b(1－b)c(1－c)a>3①‎ 因为02；④a2＋b2＜2.‎ 其中能推出“a，b中至少有一个大于‎1”‎的条件是________(填序号)．‎ ‎[解析]　假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于‎1”‎，故选③.‎ ‎[答案]　③‎ ‎5．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. ‎ ‎【导学号：31062161】‎ ‎[解]　(1)设公差为d，由已知得 ‎∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．‎ ‎(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.‎ 假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，‎ 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，‎ ‎∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.‎ ‎∵p，q，r∈N*，‎ ‎∴ ‎∴2＝pr，(p－r)2＝0，‎ ‎∴p＝r，这与p≠r矛盾．‎ 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ 5‎