2019-2020学年高中数学课时作业7曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化北师大版选修4-4 6页

课时作业(七)‎ ‎1．把极坐标方程ρ＝2sin(＋θ)化为直角坐标方程为(　　)‎ A．(x－)2＋(y－)2＝1　 B．y2＝(2x－)‎ C．(x－)(y－)＝0 D.－＝1‎ 答案　A 解析　原式变为ρ＝sinθ＋cosθ，‎ 两边同乘以ρ，得ρ2＝ρsinθ＋ρcosθ.‎ ‎∵ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，ρcosθ＝x，‎ ‎∴x2＋y2－x－y＝0，即(x－)2＋(y－)2＝1.‎ ‎2．极坐标方程ρ＝cos(－θ)所表示的曲线是(　　)‎ A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 答案　D 解析　∵ρ＝cos(－θ)＝cosθ＋sinθ，‎ ‎∴ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.‎ ‎∴x2＋y2＝x＋y，这个方程表示一个圆．‎ ‎3．极坐标方程4ρsin2＝5表示的曲线是(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 答案　D ‎4．圆ρ＝2cos(θ＋)的圆心为(　　)‎ A．(1，) B．(1，)‎ C．(1，) D．(1，)‎ 答案　D ‎5．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程是(　　)‎ 6‎ A．x2＋＝1 B.＋y2＝1‎ C．2x2＋y2＝1 D．x2＋2y2＝1‎ 答案　B 解析　∵ρ2(1＋sin2θ)＝2，∴ρ2(cos2θ＋2sin2θ)＝2.‎ ‎∴ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ＝2，即x2＋2y2＝2，∴＋y2＝1.‎ ‎6．在极坐标中，和极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A，B两点，若|AB|＝4，则直线l的极坐标方程为(　　)‎ A．ρcosθ＝2 B．ρsinθ＝2 C．ρcosθ＝ D．ρsinθ＝ 答案　A 解析　如右图，Rt△OAC中，|OC|＝＝＝2.‎ 设直线l的任意一点为M(ρ，θ)，则ρcosθ＝2.‎ ‎7．极坐标方程ρ＝sinθ＋2cosθ表示的曲线为(　　)‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 答案　B ‎8．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成图形的面积是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B ‎9．极坐标方程ρcos(θ＋)＝7与方程2ρsin(θ－)＝29的两图形的位置关系为(　　)‎ A．平行 B．垂直 C．斜交 D．不确定 答案　A ‎10．极点到直线ρ(cosθ－sinθ)＝2的距离为________．‎ 答案　 解析　直线ρ(cosθ－sinθ)＝2的直角坐标方程为x－y－2＝0，极点的直角坐标为(0，0)，∴极点到直线的距离为d＝＝.‎ ‎11．曲线ρcos2θ＝4sinθ的焦点的一个极坐标为______．‎ 6‎ 答案　(1，)‎ ‎12．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．‎ 答案　ρcosθ＝3‎ 解析　由题意可知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心是(3，0)，所求直线的方程为x＝3，则极坐标方程为ρcosθ＝3.‎ ‎13．已知点P的极坐标是(1，π)，则过点P且垂直极轴的直线的极坐标方程是________．‎ 答案　ρcosθ＝－1‎ 解析　如图所示，由图知ρcos(π－θ)＝1，即ρcosθ＝－1.‎ ‎14．将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线．‎ ‎(1)ρsinθ＝1；　(2)ρ(cosθ＋sinθ)－4＝0； (3)ρ＝－2cosθ；　(4)ρ＝cosθ－2sinθ.‎ 解析　利用极坐标和直角坐标互化公式求解：‎ ρcosθ＝x，ρsinθ＝y.‎ ‎(1)ρsinθ＝1⇒y＝1，表示的是一条直线．‎ ‎(2)ρ(cosθ＋sinθ)－4＝0⇒ρcosθ＋ρsinθ－4＝0，‎ ‎∴x＋y－4＝0，表示的是一条直线．‎ ‎(3)ρ＝－2cosθ两边同乘以ρ，得ρ2＝－2ρcosθ.‎ ‎∴x2＋y2＋2x＝0即(x＋1)2＋y2＝1，‎ 表示的是以(－1，0)为圆心，以1为半径的圆．‎ ‎(4)ρ＝cosθ－2sinθ两边同乘以ρ，得ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ，∴x2＋y2＝x－2y即x2＋y2－x＋2y＝0.‎ 即(x－)2＋(y＋1)2＝()2，‎ 表示的是以(，－1)为圆心，半径为的圆．‎ 将极坐标方程化为ρcosθ、ρsinθ和ρ2的形式，为了方便，有时两边要同乘以ρ.‎ ‎15．把下列极坐标方程化成直角坐标方程或将直角坐标方程化成极坐标方程：‎ ‎(1)θ＝；　(2)ρ2＝16cos2θ；　(3)2xy＝1；‎ ‎(4)x2＋y2－4x＝0.‎ 解析　(1)tanθ＝，∴＝，∴y＝x(x≥0)．‎ ‎(2)ρ2＝16(cos2θ－sin2θ)，‎ ‎∴ρ4＝16ρ2cos2θ－16ρ2sin2θ.‎ 6‎ ‎∴(x2＋y2)2＝16(x2－y2)．‎ ‎(3)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得2ρ2cosθsinθ＝1，即ρ2sin2θ＝1.‎ ‎(4)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρcosθ＝0.‎ ‎∴ρ2＝4ρcosθ，∴ρ＝4cosθ.‎ ‎1．极坐标方程ρ＝cos(＋θ)表示的曲线是(　　)‎ A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆 答案　D 解析　方程可化为ρ＝cosθ－sinθ，‎ 所以ρ2＝ρcosθ－ρsinθ，‎ 由互化公式得x2＋y2－x＋y＝0.故选D.‎ ‎2．在极坐标系中，与圆ρ＝2sinθ相切的一条直线方程为(　　)‎ A．ρsinθ＝1 B．ρcosθ＝1‎ C．ρcosθ＝2 D．ρcosθ＝－2‎ 答案　B 解析　ρ＝2sinθ⇒ρ2＝2ρsinθ，‎ 即x2＋y2－2y＝0，所以x2＋(y－1)2＝1，‎ 表示的是以(0，1)为圆心，半径为1的圆．‎ 又ρsinθ＝1⇒y＝1，ρcosθ＝1⇒x＝1，‎ ρsinθ＝2⇒x＝2，ρcosθ＝－2⇒x＝－2，‎ 所以只有ρcosθ＝1与ρ＝2sinθ相切．选B.‎ ‎3．在极坐标系中，点(2，)到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为(　　)‎ A．2 B. C. D. 答案　D 解析　极坐标系中的点(2，)化为平面直角坐标系中的点为(1，)，极坐标系中的圆ρ＝2‎ 6‎ cosθ化为平面直角坐标系中的一般方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1，0)，所以所求两点间的距离为＝，选D.‎ ‎4．(2015·广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ－)＝，点A的极坐标为A(2，)，则点A到直线l的距离为________．‎ 答案　 解析　将直线l的极坐标方程2ρsin(θ－)＝化为直角坐标方程为x－y＋1＝0，由A(2，)得A点的直角坐标为(2，－2)，从而点A到直线l的距离d＝＝.‎ ‎5．已知点P在曲线(x－1)2＋y2＝1(y≥0)上运动，点Q在曲线C：ρ＝上．‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)求点P与点Q之间距离的最小值．‎ 解析　(1)由ρ＝，得ρ＝，∴ρsinθ＋ρcosθ＝9.‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x＋y＝9.‎ ‎(2)半圆(x－1)2＋y2＝1(y≥0)的圆心(1，0)到直线x＋y＝9的距离为4，所以|PQ|min＝4－1.‎ ‎6．在极坐标系中，O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为(2，)．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)P是圆C上一动点，点Q满足3＝，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，求点Q的轨迹的直角坐标方程．‎ 解析　(1)设M(ρ，θ)是圆C上任一点，过C作CH⊥OM于H点，则在Rt△COH中，|OH|＝|OC|·cos∠COH，而∠COH＝∠COM＝|θ－|，|OH|＝|OM|＝ρ，|OC|＝2，所以ρ＝2cos|θ－|，即ρ＝4cos(θ－)为所求的圆C的极坐标方程．‎ ‎(2)设点Q的极坐标为(ρ，θ)，由于3＝，所以点P的极坐标为(ρ，θ)，‎ 6‎ 代入(1)中方程得ρ＝4cos(θ－)，即ρ＝6cosθ＋6sinθ，‎ ‎∴ρ2＝6ρcosθ＋6ρsinθ，x2＋y2＝6x＋6y，‎ ‎∴点Q的轨迹的直角坐标方程为x2＋y2－6x－6y＝0.‎ 6‎