2020年高中数学第一章常用逻辑用语1 4页

‎1.4 全称量词与存在量词 ‎[课时作业] ‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－‎1”‎的否定是(　　)‎ A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1‎ B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1‎ C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1‎ D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1‎ 解析：改变原命题中的三个地方即可得其否定，“∃”改为“∀”，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1.‎ 答案：A ‎2．下列语句是真命题的是(　　)‎ A．所有的实数x都能使x2－3x＋6>0成立 B．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立 C．存在一条直线与两个相交平面都垂直 D．有一条直线和两个相交平面都垂直 解析：Δ<0，x2－3x＋6>0对x∈R恒成立，故排除B；假设存在这样的直线与两个相交平面垂直，则两个平面必平行，故排除C、D.‎ 答案：A ‎3．下列四个命题中的真命题为(　　)‎ A．若sin A＝sin B，则A＝B B．∀x∈R，都有x2＋1>0‎ C．若lg x2＝0，则x＝1‎ D．∃x0∈Z，使1<4x0<3‎ 解析：A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题；B显然是真命题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，使x≤x0；④∃x0∈N＋，使x0为29的约数．其中真命题的个数为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 解析：对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；‎ 4‎ 对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；‎ 对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；‎ 对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．‎ 答案：C ‎5．下列说法正确的是(　　)‎ A．命题“若x2＝1，则x＝‎1”‎的否命题为：“若x2＝1，则x≠‎‎1”‎ B．若命题p：∃x∈R，x2－2x－1>0，则命题綈p：∀x∈R，x2－2x－1<0‎ C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题 D．“x＝－‎1”‎是“x2－5x－6＝‎0”‎的必要不充分条件 解析：选项A，否命题为“若x2≠1，则x≠‎1”‎；选项B，命题綈p：“∀x∈R，x2－2x－1≤‎0”‎；选项D，“x＝－1”是“x2－5x－6＝‎0”‎的充分不必要条件，故选C.‎ 答案：C ‎6．“存在一个实数x0，使sin x0>cos x‎0”‎的否定为________．‎ 答案：∀x∈R，sin x≤cos x ‎7．若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________．‎ 解析：由题意知当x>3，有x>a恒成立，则a≤3.‎ 答案：(－∞，3]‎ ‎8．若“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ 解析：原命题等价于tan x≤m在区间[0，]上恒成立，即y＝tan x在[0，]上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在[0，]上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.‎ 答案：1‎ ‎9．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：‎ ‎(1)二次函数的图象是抛物线；‎ ‎(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；‎ ‎(3)有些四边形存在外接圆；‎ ‎(4)∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．‎ 解析：(1)∃f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．‎ ‎(2)在直角坐标系中，∃l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．‎ ‎(3)∀x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．‎ ‎(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．‎ ‎10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．‎ 4‎ 解析：法一　由题意知：x2＋2ax＋2－a>0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋‎2a＋2－a>0，或4＋‎4a＋2－a>0.‎ 整理得a>－3或a>－2.‎ 即a>－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．‎ 法二　綈p：∀x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a>0无解，‎ 令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，‎ 则即 解得a≤－3.‎ 故命题p中，a>－3.‎ 即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)‎ A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0‎ C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2‎ 解析：A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．‎ 答案：B ‎2．已知命题p：∀x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q：∃x0∈R，sin x0－cos x0＝，则下列判断正确的是(　　)‎ A．p是真命题 B．q是假命题 C．綈p是假命题 D．綈q是假命题 解析：p：2x2＋2x＋＝2＝22≥0，‎ ‎∴p为假命题，綈p为真命题．‎ q：sin x0－cos x0＝sin ，‎ ‎∴x0＝π时成立．‎ 故而q为真，而綈q为假命题．‎ 答案：D 4‎ ‎3．若命题∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则a的取值范围是________．‎ 解析：只需(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，借助二次函数图象可知只需 解得a≥2.‎ 答案：[2，＋∞)‎ ‎4．已知命题p：对∀x∈R，∃m0∈R，使4x＋2xm0＋1＝0.若命题綈p是假命题，则实数m0的取值范围是________．‎ 解析：由题意m0＝－≤－＝－2(x∈R)．‎ 答案：(－∞，－2]‎ ‎5．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．‎ 解析：由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．‎ p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，‎ 所以命题p：a≤1；‎ q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x∈R使f(x)＝0，‎ 只需Δ＝‎4a2－4(2－a)≥0，‎ 即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2.‎ 所以命题q：a≥1或a≤－2.‎ 由得a＝1或a≤－2，‎ ‎∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.‎ ‎6．q：函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0，求实数p的取值范围．‎ 解析：綈q：已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上不存在一个实数c，使得f(c)>0，即∀c∈[－1,1]，f(c)≤0，‎ ‎∴即 ‎∴即p≤－3或p≥.‎ 故q为真时的p的取值范围是－3