2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2 7页

‎2.3.2‎‎ 抛物线的简单几何性质 ‎[课时作业] ‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是(　　)‎ A．y2＝－11x B．y2＝11x C．y2＝－22x D．y2＝22x 解析：在方程2x－4y＋11＝0中，‎ 令y＝0得x＝－，‎ ‎∴抛物线的焦点为F，‎ 即＝，∴p＝11，‎ ‎∴抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.‎ 答案：C ‎2．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　)‎ A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 解析：∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，‎ ‎∴直线过点(1,0)．‎ 又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部．‎ ‎∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；‎ 当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．‎ 答案：C ‎3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则kOA·kOB的值为(　　)‎ A．4 B．－‎4 C．p2 D．－p2‎ 解析： kOA·kOB＝·＝，根据焦点弦的性质x1x2＝，y1y2＝－p2，‎ 故kOA·kOB＝＝－4.‎ 答案：B 7‎ ‎4．已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|，则k的值是(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析：根据题意画图，如图所示，直线m为抛物线的准线，过点A作AA1⊥m，过点B作BB1⊥m，垂足分别为A1，B1，过点B作BD⊥AA1于点D，设|AF|＝2|BF|＝2r，则|AA1|＝2|BB1|＝2|A1D|＝2r，‎ 所以|AB|＝3r，|AD|＝r，则|BD|＝2r.‎ 所以k＝tan ∠BAD＝＝2.选C.‎ 答案：C ‎5．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D. 解析：设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，‎ A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵·＝2，‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝2.‎ 又y＝x1，y＝x2，∴y1y2＝－2.‎ 联立得y2－ny－m＝0，‎ ‎∴y1y2＝－m＝－2，‎ ‎∴m＝2，即点M(2,0)．‎ 又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝|OM||y1|＋‎ |OM||y2|＝y1－y2，‎ S△AFO＝|OF|·|y1|＝y1，‎ ‎∴S△ABO＋S△AFO＝y1－y2＋y1‎ ‎＝y1＋≥2＝3，‎ 当且仅当y1＝时，等号成立．‎ 7‎ 答案：B ‎6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．‎ 解析：将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，‎ ‎∴＝＝＝2.‎ ‎∴所求点的坐标为(3,2)．‎ 答案：(3,2)‎ ‎7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．‎ 解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为.因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝.‎ 答案： ‎8．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________．‎ 解析：抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－，而点A(－2,3)在准线上，所以－＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2,0)．设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)①，由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝.‎ 因为切点在第一象限，所以k＝.‎ 将k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8，‎ 所以点B的坐标为(8,8)，所以直线BF的斜率为＝.‎ 答案： ‎9．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．‎ 解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．‎ ‎∵P1，P2在抛物线上，‎ ‎∴y＝6x1，y＝6x2.两式相减得 7‎ ‎(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①‎ ‎∵y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3.‎ ‎∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，‎ 即3x－y－11＝0.‎ ‎10．已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝3，‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P点的坐标．‎ 解析：(1)由⇒4x2＋4(m－1)x＋m2＝0，‎ 由根与系数的关系得 x1＋x2＝1－m，x1·x2＝，‎ ‎|AB|＝· ‎＝· ‎＝.‎ 由|AB|＝3，‎ 即＝3⇒m＝－4.‎ ‎(2)设P(a,0)，P到直线AB的距离为d，‎ 则d＝＝，‎ 又S△ABP＝|AB|·d，‎ 则d＝，‎ ＝⇒|a－2|＝3⇒a＝5或a＝－1，‎ 故点P的坐标为(5,0)或(－1,0)．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设抛物线的焦点为F，因为点P到准线的距离等于它到顶点的距离，所以点P为线段OF的垂直平分线与抛物线的交点，易求点P的坐标为.‎ 7‎ 答案：B ‎2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5得，＝5，又p>0，解得p＝2或p＝8，故选C.‎ 答案：C ‎3．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．‎ 解析：设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，则y1＋y2＝‎4m，y1y2＝－16，‎ ‎∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝‎16m2‎＋32‎ 当m＝0时，y＋y最小值为32.‎ 答案：32‎ ‎4．如图，抛物线C1：y2＝2px和圆C2：(x－)2＋y2＝，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则·的值为________．‎ 解析：易知·＝|AB|·|CD|，圆C2的圆心即为抛物线C1的焦点F.当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝，所以A(，p)，B(，)，C(，－)，D(，－p)，||＝||＝，所以·＝·＝；当直线l的斜率存在时，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x1＋－＝x1，同理|CD|＝x2，设l的方程为y＝k(x－)，由，可得k2x2－(pk2＋2p)x＋＝0，则·＝|AB|·|CD|＝x1·x2＝.综上，·＝.‎ 答案： ‎5.如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C 7‎ 两点，求证：直线BC的斜率是定值．‎ 证明：设kAB＝k(k≠0)，‎ ‎∵直线AB，AC的倾斜角互补，‎ ‎∴kAC＝－k(k≠0)，‎ ‎∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.‎ 联立方程组 消去y后，整理得 k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.‎ ‎∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．‎ ‎∴4·xB＝，‎ 即xB＝，‎ 以－k代换xB中的k，得xC＝，‎ ‎∴kBC＝ ‎＝ ‎＝＝＝－.‎ 所以直线BC的斜率为定值．‎ ‎6．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)是否存在实数m，使曲线C上总有不同的两点关于直线y＝x＋m对称？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 解析：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：‎ －x＝1(x>0)．‎ 化简得y2＝4x(x>0)．‎ ‎(2)假设抛物线y2＝4x(x>0)上存在不同两点A、B关于直线y＝x＋m对称，则可设AB的方程为y＝－x＋b代入y2＝4x并整理得x2－(2b＋4)x＋b2＝0，‎ 则Δ＝(2b＋4)2－4b2>0且x≠0，即b＋1>0，且b≠0.‎ 设AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝b＋2，‎ y0＝－x0＋b＝－2，又M(b＋2，－2)在y＝x＋m上，‎ ‎∴－2＝b＋2＋m，即b＝－4－m，‎ 7‎ ‎∴－3－m>0且－4－m≠0，‎ m<－3且m≠－4.‎ ‎∴存在m使曲线C上总有不同两点关于直线y＝x＋m对称，m的范围为(－∞，－4)∪(－4，－3)．‎ 7‎