高科数学专题复习课件：第十章 10_3二项式定理 54页

§10.3 　 二项式定理 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 二项式定理 知识梳理 二项式定理 ( a ＋ b ) n ＝ ______________________________ ( n ∈ N * ) 二项展开式的通项公式 ， 它表示 第 项 二项式系数 二项展开式中各项的 系数 ( k ∈ {0,1,2 ， … ， n }) k ＋ 1 2. 二项式系数的性质 1 1 二项展开式形式上的特点 (1) 项数 为 . (2) 各项的次数都等于二项式的幂指数 n ，即 a 与 b 的指数的和为 n . (3) 字母 a 按 排列 ，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按 排列 ，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n . 知识 拓展 n ＋ 1 降幂 升幂 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) a n － k b k 是二项展开式的第 k 项 .( 　　 ) (2) 二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项 .( 　　 ) (3)( a ＋ b ) n 的展开式中某一项的二项式系数与 a ， b 无关 .( 　　 ) (4) 在 (1 － x ) 9 的展开式中系数最大的项是第五、第六两项 .( 　　 ) (5) 若 (3 x － 1) 7 ＝ a 7 x 7 ＋ a 6 x 6 ＋ … ＋ a 1 x ＋ a 0 ，则 a 7 ＋ a 6 ＋ … ＋ a 1 的值为 128.( 　　 ) 思考辨析 × × √ × × 考点自测 1.( 教材改编 )( x － y ) n 的二项展开式中，第 m 项的系数 是 答案 解析 ( x － y ) n 展开式中第 m 项的系数为 2.(2016· 四川 ) 设 i 为虚数单位，则 ( x ＋ i) 6 的展开式中含 x 4 的 项为 A . － 15 x 4 B.15 x 4 C . － 20i x 4 D.20i x 4 答案 解析 答案 解析 A.130 B.135 C.121 D.139 式中含 x 2 项的系数为 4. 在 的 展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 ________. 答案 解析 7 题型分类　深度剖析 题型一　二项展开式 例 1 　 (1)(2016· 全国乙卷 )(2 x ＋ ) 5 的展开式中， x 3 的系数是 _______.( 用数字填写答案 ) 答案 解析 命题点 1 　求二项展开式中的特定项或指定项的系数 10 ∴ x 3 的系数是 10. (2)(2015· 课标全国 Ⅰ )( x 2 ＋ x ＋ y ) 5 的展开式中， x 5 y 2 的系数 为 A.10 B.20 C.30 D.60 答案 解析 方法一 　利用二项展开式的通项公式求解 . ( x 2 ＋ x ＋ y ) 5 ＝ [ ( x 2 ＋ x ) ＋ y ] 5 ， 方法二 　利用组合知识求解 . 例 2 　 (1)(2015· 课标全国 Ⅱ )( a ＋ x )(1 ＋ x ) 4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32 ，则 a ＝ _____ _ . 答案 解析 命题点 2 　已知二项展开式某项的系数求参数 令 x ＝ 1 ，得 16( a ＋ 1) ＝ a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ， ① 令 x ＝－ 1 ，得 0 ＝ a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ a 4 － a 5 . ② ① － ② ，得 16( a ＋ 1) ＝ 2( a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ) ， 即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＝ 8( a ＋ 1) ， 所以 8( a ＋ 1) ＝ 32 ，解得 a ＝ 3. 3 － 2 答案 解析 求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求 ( 求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等 ) ，解出项数 k ＋ 1 ，代回通项公式即可 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (1)( x － y )( x ＋ y ) 8 的展开式中 x 2 y 7 的系数为 ________.( 用数字填写答案 ) － 20 答案 解析 (2)( x ＋ a ) 10 的展开式中， x 7 的系数为 15 ，则 a ＝ ________.( 用数字填写答案 ) 答案 解析 题型二　 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例 2 　 在 (2 x － 3 y ) 10 的展开式中，求： (1) 二项式系数的和； (2) 各项系数的和； (3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4) 奇数项系数和与偶数项系数和； (5) x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和 . 解答 设 (2 x － 3 y ) 10 ＝ a 0 x 10 ＋ a 1 x 9 y ＋ a 2 x 8 y 2 ＋ … ＋ a 10 y 10 ， (*) 各项系数的和为 a 0 ＋ a 1 ＋ … ＋ a 10 ，奇数项系数和为 a 0 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 10 ，偶数项系数和为 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ … ＋ a 9 ， x 的奇次项系数和为 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ … ＋ a 9 ， x 的偶次项系数和为 a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ … ＋ a 10 . 由于 (*) 是恒等式，故可用 “ 赋值法 ” 求出相关的系数和 . ( 2) 令 x ＝ y ＝ 1 ，各项系数和为 (2 － 3) 10 ＝ ( － 1) 10 ＝ 1. ( 4) 令 x ＝ y ＝ 1 ，得到 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 10 ＝ 1 ， ① 令 x ＝ 1 ， y ＝－ 1( 或 x ＝－ 1 ， y ＝ 1) ， 得 a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ … ＋ a 10 ＝ 5 10 ， ② ① ＋ ② 得 2( a 0 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 10 ) ＝ 1 ＋ 5 10 ， ① － ② 得 2( a 1 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 9 ) ＝ 1 － 5 10 ， (1) “ 赋值法 ” 普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如 ( ax ＋ b ) n ， ( ax 2 ＋ bx ＋ c ) m ( a ， b ∈ R ) 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x ＝ 1 即可；对形如 ( ax ＋ by ) n ( a ， b ∈ R ) 的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x ＝ y ＝ 1 即可 . (2) 若 f ( x ) ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a n x n ，则 f ( x ) 展开式中各项系数之和为 f (1) ，奇数项系数之和为 a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ … ＝ ， 偶数项系数之和为 a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ … ＝ . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (1)( 2016· 北京海淀区模拟 ) 设 m 为正整数， ( x ＋ y ) 2 m 展开式的二项式系数的最大值为 a ， ( x ＋ y ) 2 m ＋ 1 展开式的二项式系数的最大值为 b ，若 13 a ＝ 7 b ，则 m 等于 A.5 B.6 C.7 D.8 答案 解析 经检验符合题意，故选 B. 解答 当 x ＝ 0 时，左边＝ 1 ，右边＝ a 0 ， ∴ a 0 ＝ 1. 题型三　 二项式定理的应用 例 4 　 (1) 设 a ∈ Z 且 0 ≤ a ＜ 13 ，若 51 2 012 ＋ a 能被 13 整除，则 a 等于 A.0 B.1 C.11 D.12 答案 解析 (2)1.02 8 的近似值是 ________.( 精确到小数点后三位 ) 1.172 答案 解析 (1) 整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项 . (2) 二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式 . 思维 升华 A. － 1 B.1 C . － 87 D.87 ∵ 前 10 项均能被 88 整除 ， ∴ 余数是 1. 答案 解析 (2) 已知 2 n ＋ 2 ·3 n ＋ 5 n － a 能被 25 整除，求正整数 a 的最小值 . 解答 原式＝ 4·6 n ＋ 5 n － a ＝ 4(5 ＋ 1) n ＋ 5 n － a 显然正整数 a 的最小值为 4. 典例 　 (1)(2016· 河北武邑中学期末 ) 若 展开式 的各项系数绝对值之和为 1 024 ，则展开式中含 x 项的系数为 ________. (2)(2016· 河北邯郸一中调研 ) 已知 ( x － m ) 7 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a 7 x 7 的展开式中 x 4 的系数是－ 35 ，则 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 7 ＝ ________. 二 项展开式的系数与二项式系数 现场纠错系列 15 错解展示 现场纠错 纠错心得 和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数 还是二 项式系数，是 系数和还是二项式系数的和 . 解析 　 答案　 (1)5 　 (2)2 7 － 1 返回 解析 　 故展开式中含 x 项的系数为－ 15. 　 答案 　 (1) － 15 　 (2)1 令 x ＝ 1 ，得 0 ＝－ 1 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 7 ， 即 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 7 ＝ 1. 令 x ＝ 0 ， ∴ a 0 ＝ ( － m ) 7 . ∴ m ＝ 1. ∴ a 0 ＝ ( － m ) 7 ＝－ 1. 在 ( x － m ) 7 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a 7 x 7 中， 返回 课时作业 1. 在 x 2 (1 ＋ x ) 6 的展开式中，含 x 4 项的系数 为 A.30 B.20 C.15 D.10 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(2015· 湖南 ) 已知 的 展开式中 含 的 项的系数为 30 ，则 a 等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 3.(4 x － 2 － x ) 6 ( x ∈ R ) 展开式中的常数 项是 A. － 20 B. － 15 C.15 D.20 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵ 12 x － 3 kx ＝ 0 恒成立， ∴ k ＝ 4 ， 4.(2015· 湖北 ) 已知 (1 ＋ x ) n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和 为 A.2 9 B.2 10 C.2 11 D.2 12 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 若在 ( x ＋ 1) 4 ( ax － 1) 的展开式中， x 4 的系数为 15 ，则 a 的值 为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∵ ( x ＋ 1) 4 ( ax － 1) ＝ ( x 4 ＋ 4 x 3 ＋ 6 x 2 ＋ 4 x ＋ 1)( ax － 1) ， ∴ x 4 的系数为 4 a － 1 ＝ 15 ， ∴ a ＝ 4 . 答案 解析 √ 6. 若 (1 ＋ x ) ＋ (1 ＋ x ) 2 ＋ … ＋ (1 ＋ x ) n ＝ a 0 ＋ a 1 (1 － x ) ＋ a 2 (1 － x ) 2 ＋ … ＋ a n (1 － x ) n ，则 a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ … ＋ ( － 1) n a n 等于 答案 解析 在展开式中，令 x ＝ 2 ，得 3 ＋ 3 2 ＋ 3 3 ＋ … ＋ 3 n ＝ a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ … ＋ ( － 1) n a n ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 7. 若 ( x ＋ a ) 2 ( － 1) 5 的展开式中常数项为－ 1 ，则 a 的值 为 A.1 B.9 C . － 1 或－ 9 D.1 或 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 解析 依题意－ a 2 ＋ 10 a － 10 ＝－ 1 ，解得 a 2 － 10 a ＋ 9 ＝ 0 ，即 a ＝ 1 或 a ＝ 9. 8.(2016· 北京 ) 在 (1 － 2 x ) 6 的展开式中， x 2 的系数为 _____.( 用数字作答 ) 答案 解析 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.(2016· 天津 ) 的 展开式中 x 7 的系数为 ________.( 用数字作答 ) 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 － 56 10. 若将函数 f ( x ) ＝ x 5 表示为 f ( x ) ＝ a 0 ＋ a 1 (1 ＋ x ) ＋ a 2 (1 ＋ x ) 2 ＋ … ＋ a 5 (1 ＋ x ) 5 ，其中 a 0 ， a 1 ， a 2 ， … ， a 5 为实数，则 a 3 ＝ ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 f ( x ) ＝ x 5 ＝ (1 ＋ x － 1) 5 ， 11.(1 ＋ x ) 8 (1 ＋ y ) 4 的展开式中 x 2 y 2 的系数是 ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 168 解答 12. 已知 (1 － 2 x ) 7 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a 7 x 7 . 求： (1) a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 7 ； (2) a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ a 7 ； (3) a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ a 6 ； (4)| a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 7 |. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 令 x ＝ 1 ，则 a 0 ＋ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＋ a 6 ＋ a 7 ＝－ 1 . ① 令 x ＝－ 1 ，则 a 0 － a 1 ＋ a 2 － a 3 ＋ a 4 － a 5 ＋ a 6 － a 7 ＝ 3 7 . ② ( 2)( ① － ② )÷2 ， ( 3)( ① ＋ ② )÷2 ， (4) 方法一 　 ∵ (1 － 2 x ) 7 展开式中， a 0 、 a 2 、 a 4 、 a 6 大于零，而 a 1 、 a 3 、 a 5 、 a 7 小于零， ∴ | a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 7 | ＝ ( a 0 ＋ a 2 ＋ a 4 ＋ a 6 ) － ( a 1 ＋ a 3 ＋ a 5 ＋ a 7 ) ＝ 1 093 － ( － 1 094) ＝ 2 187. 方法二 　 | a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 7 | ， 即 (1 ＋ 2 x ) 7 展开式中各项的系数和，令 x ＝ 1 ， ∴ | a 0 | ＋ | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 7 | ＝ 3 7 ＝ 2 187. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 求证： 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 5 n － 1 ( n ∈ N * ) 能被 31 整除 . 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ＝ 2 5 n － 1 ＝ 32 n － 1 ＝ (31 ＋ 1) n － 1 ∴ 原式能被 31 整除 . *14. 若 展开式 中前三项的系数成等差数列，求： (1) 展开式中所有 x 的有理项； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解答 ∴ k 为 4 的倍数，又 0 ≤ k ≤ 8 ， ∴ k ＝ 0,4,8. 故有理项为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 展开式中系数最大的项 . 解答 设展开式中 T k ＋ 1 项的系数最大， 故展开式中系数最大的项为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14