2019-2020学年高中数学课时作业2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用北师大版选修2-3 7页

课时作业(二)‎ ‎1．将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有(　　)‎ A．8种　　　　　　　　　 B．15种 C．125种 D．243种 答案　D 解析　每名大学生有三种不同的分配方式，所以共有35种不同的分配方式．‎ ‎2．从集合A＝{0，1，2，3，4}中任取三个数作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c.则可构成不同的二次函数的个数是(　　)‎ A．48 B．59‎ C．60 D．100‎ 答案　A 解析　由于是二次函数，需分三步确定系数a，b，c，a有除0之外的四种选法，b有四种选法，c有三种选法，故有4×4×3＝48种．‎ ‎3．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有(　　)‎ A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 答案　B 解析　(直接法)：黄瓜种在第一块土地上有3×2×1＝6种．同样，黄瓜可种在第二块、第三块土地上，共有不同的种法有6×3＝18种．‎ ‎(间接法)：4种选3种，种在三块地上有4×3×2＝24种，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种，共有不同种法24－6＝18种．‎ ‎4．已知异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则经过这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)‎ A．40 B．13‎ C．10 D．16‎ 答案　B 解析　根据一条直线与直线外一点可确定一个平面，因此可分为两类；‎ 第一类，直线a与直线b上的点所确定的平面有8个平面；第二类，直线b与直线a上的点所确定的平面有5个，根据分类加法计数原理，共有8＋5＝13个不同平面．‎ ‎5．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插法共有(　　)‎ A．336种 B．120种 7‎ C．24种 D．18种 答案　A 解析　我们可以一本一本的插入，先插一本，可在原来5本书形成的6个空当中插入，共有6种插入的方法；然后再插第二本，这时书架上有6本书形成7个空当，有7种插入方法；再插最后一本，有8种插法，所以共有6×7×8＝336种不同的插法．‎ ‎6．有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是(　　)‎ A．14 B．23‎ C．48 D．120‎ 答案　C 解析　分两步：第一步，取多面体，有5＋3＝8种不同的取法，第二步，取旋转体，有4＋2＝6种不同的取法．所以不同的取法种数是8×6＝48种．‎ ‎7．如图所示，用不同的五种颜色分别为A，B，C，D，E五部分着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复使用，也可不使用，则符合这些要求的不同着色的方法共有(　　)‎ A B C D E A.500种 B．520种 C．540种 D．560种 答案　C 解析　按照分步计数原理，先为A着色共有5种，再为B着色共有4种(不能与A相同)，接着为C着色有3种(不与A，B相同)，同理依次为D，E着色各有3种，所以不同着色的方法共有N＝5×4×33＝540(种)．‎ ‎8．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系第一、第二象限中的不同点的个数有(　　)‎ A．18个 B．16个 C．14个 D．10个 答案　C 解析　此问题可分两类：‎ ‎①以集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，集合M中任取一个元素的方法有3种，要使点在第一、第二象限内，则集合N中只能取5，6两个元素中的一个，有2种方法，根据分步乘法计数原理有3×2＝6个；‎ ‎②以集合N中的元素作为横坐标，集合M中的元素为纵坐标，‎ 7‎ 集合N中任取一个元素的方法有4种，要使点在第一、第二象限内，则集合M中只能取1，3两个元素中的一个，有2种方法，根据分步乘法计数原理，有4×2＝8个．‎ 综合以上两类，利用分类加法计数原理，共有6＋8＝14个．故选C.‎ ‎9．从数字1，2，3，4，5，6中取两个数相加，其和是偶数，共得________个偶数．‎ 答案　4‎ 解析　分两类，3个奇数两两相加，3个偶数两两相加，都得偶数，又1＋5＝2＋4，3＋5＝2＋6，所以可得不同的偶数有3＋3－2＝4个．‎ ‎10．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．‎ 答案　12‎ 解析　分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．‎ ‎11．动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种？‎ 解析　因为3只羊都被吃掉，故应分为三步，逐一考虑．每只羊都可能被4只老虎中的一只吃掉，故有4种可能，按照分步乘法计数原理，故有4×4×4＝43＝64种．‎ ‎12．(2015·石家庄高二检测)某校高二年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去旅游．‎ ‎(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？‎ ‎(2)每班选1人带队，有多少种不同的选法？‎ ‎(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？‎ 解析　(1)分三类．‎ 第一类：从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同选法；第二类：从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同选法；第三类：从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同选法．由分类加法计数原理得N＝8＋10＋6＝24种不同的选法．‎ ‎(2)分三步：‎ 第一步：从一班的8名优秀团员中选1人带队，有8种不同选法；‎ 第二步：从二班的10名优秀团员中选1人带队，有10种不同选法；‎ 第三步：从三班的6名优秀团员中选1人带队，有6种不同选法．‎ 由分步乘法计数原理得N＝8×10×6＝480种不同的选法．‎ ‎(3)分三类，每一类可分为两步．‎ 第一类：从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10＝80种不同选法；‎ 第二类：从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6＝60种不同选法；‎ 第三类：从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6＝48种不同选法．‎ 7‎ 由分类加法计数原理得N＝80＋60＋48＝188种不同的选法．‎ ‎13．用五种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色．‎ ‎(1)共有多少种不同的涂色方法？‎ ‎(2)若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ 解析　(1)由于1至4号区域各有5种不同的涂法，故依分步乘法计数原理知，不同的涂色方法有54＝625种．‎ ‎(2)第一类，1号区域与3号区域同色时，有5×4×4＝80种涂法，第二类，1号区域与3号区域异色时，有5×4×3×3＝180种涂法．依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法有80＋180＝260(种)．‎ ‎14．用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个．‎ ‎(1)三位整数？‎ ‎(2)无重复数字的三位整数？‎ ‎(3)小于500的无重复数字的三位整数？‎ ‎(4)小于500，且末位数字是8或9的无重复数字的三位整数？‎ ‎(5)小于100的无重复数字的自然数？‎ 解析　由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．‎ ‎(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×10×10＝900(个)．‎ ‎(2)由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有9×9×8＝648(个)．‎ ‎(3)百位数字只有4种选择，十位数字可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×9×8＝288(个)．‎ ‎(4)百位数字只有4种选择，个位数字只有2种选择，十位数字可有8种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的三位数共有4×2×8＝64(个)．‎ ‎(5)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类．‎ 一位自然数：10个．‎ 两位自然数：十位数字有9种选择，个位数字也有9种选择，由分步乘法计数原理知，符合题意的两位数共有9×9＝81(个)．‎ 由分类加法计数原理知，符合题意的自然数共有10＋81＝91(个)．‎ ‎►重点班选做题 ‎15．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，‎ 7‎ 那么焊接点脱落可能性共有(　　)‎ A．6种 B．36种 C．63种 D．64种 答案　C 解析　每个焊点都有正常与脱落两种情况，共有26种情况，但其中有一种情况是各焊点都正常的情况，所以共有26－1种电路不通的情况．‎ ‎16．已知互不相同的集合A、B满足A∪B＝{a，b}，则符合条件的A，B的组数共有________种．‎ 答案　9‎ 解析　当A＝∅时，集合B＝{a，b}；当A只有1个元素时，B可以有2种情况，此时有2×2＝4种情况；当A＝{a，b}时，集合B＝∅，{a}，{b}或{a，b}，此时有4种情况，综上可知，符合条件的A、B共有1＋4＋4＝9种．‎ ‎17．设椭圆＋＝1的焦点在y轴上，m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆个数为________．‎ 答案　20‎ ‎1．已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有(　　)‎ A．9种 B．16种 C．20种 D．28种 答案　D 解析　当a为0时，b只能取0，1两个数；当a为9时，b只能取8，9两个数；当a为其他数时，b都可以取3个数．故共有28种情形．‎ ‎2．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D ‎3．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，最多5个，则不同的分法共有(　　)‎ 7‎ A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 答案　A ‎4．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．6 D．8‎ 答案　D ‎5．若5名学生争夺3项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限)，则冠军获得者有________种不同情况(没有并列冠军)?‎ 答案　125‎ 思路　本题关键在于搞清楚要以谁为主来研究问题．本题中完成的事件是5名学生争夺3项比赛冠军，这里，每名学生能获几项比赛冠军不确定，但这每一项比赛的冠军都可以由5个运动员中的1人获得，故应以“冠军”为主，即“冠军”作为位置，由5名运动员去占3个位置．‎ 解析　每个冠军皆有可能被5名学生中任1人获得，3个冠军依次被获得的不同情况有53种．‎ ‎6．有1元、2元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，则由这6张人民币可组成________种不同的币值．‎ 答案　63‎ 解析　对于每一张人民币来说，都有两种选择，用或不用，而都不用则形不成币值，由分步计数原理，可得N＝2×2×2×2×2×2－1＝26－1＝63(种)．‎ ‎7．三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有________个．‎ 答案　36‎ 解析　另两边长用x、y表示，且设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.‎ 当y取值11时，x＝1，2，3，…，11，可有11个三角形；‎ 当y取值10时，x＝2，3，…，10，可有9个三角形，‎ ‎……‎ 当y取值6时，x只能取6，只有一个三角形．‎ ‎∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.‎ ‎8．有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答)．‎ 答案　8‎ 解析　第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，‎ 7‎ 分2步安排这3人操作的电脑的型号有2×2＝4(种)方法；‎ 第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作的电脑的型号有2种方法；‎ 第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作的电脑的型号只有1种方法；‎ 第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．‎ 根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8(种)选派方法．‎ ‎9.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．‎ 答案　40‎ 解析　满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8(个)；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32(个)，所以满足条件的三角形共有8＋32＝40(个)．‎ ‎10．在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有________种．‎ 答案　12‎ 解析　分两步：第一步，先选垄，如图，共有6种选法；‎ 第二步，种植A、B两种作物，有2种选法；‎ 因此，由分步乘法计数原理，不同的选垄种植方法有6×2＝12(种).‎ 7‎