湖北省荆门市2019届高三元月调研考试 数学（文） 8页

荆门市2019年高三年级元月调考 数学（文科）‎ 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在答题卡上。‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，‎ 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。‎ ‎3．填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。‎ ‎1．已知全集，集合，，则 A．B． C．D．‎ ‎2．已知复数，则 A．1 B． C． D．‎ ‎3．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于10分钟的概率为 ‎ A． B． C． D． ‎4．等差数列的公差为2，若成等比数列，则的值为 A．1 B．‎3 C．5 D．7‎ 5． 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方 体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ‎ ‎6．若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称，则的最小值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．下列关于命题的说法错误的是 A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 C．若命题：，，则，‎ ‎ D．命题“，”是真命题 ‎8．设是两条直线，是两个平面，则下列四组条件中：‎ ‎ ①∥，； ②；‎ ‎③，∥； ④，∥，∥．‎ 能推出的条件有（ ）组．‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设函数 ，则不等式的解集是 A． B． C． D．‎ ‎10．若椭圆的一个焦点为，则的值为 ‎ A． B． C．24 D．18‎ ‎11．正项等比数列满足,，则下列结论正确的是 A．， B．， C．， D．，‎ ‎12．若函数在上单调递增，则实数 的取值范围为 A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若满足，则的最小值为． ‎ ‎14．某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9200，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为元．‎ ‎15．正六边形ABCDEF的边长为1，则．‎ ‎16．是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，角、、所对的边分别为、、，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，且，求的周长．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，菱形与等边所在的平面相互垂直，‎ ‎．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥C-PAB的高．‎ ‎19．（本小题满分分）‎ 在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加测试的总人数．‎ 现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 考前预估难度 ‎0.9‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.6‎ ‎0.4‎ 测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）： ‎ 题号 学生编号 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎2‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎3‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎4‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎5‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎6‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎7‎ ‎×‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎8‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎9‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎10‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；‎ 题 号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 实测答对人数 实测难度 ‎（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；‎ ‎（Ⅲ）定义统计量，其中为第题的实测难度，为第题的预估难度．规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线上在第一象限的点到焦点的距离为．‎ ‎（Ⅰ）若，过点,的直线与抛物线相交于另一点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若直线与抛物线相交于两点，与圆相交于两点，为坐标原点，，试问：是否存在实数，使得的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数（）．‎ ‎（Ⅰ）若函数在区间上有两个极值点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若函数的图象与直线相切，求的值．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修：参数方程与极坐标选讲 在直角坐标系中，直线过点，其倾斜角为，圆的参数方程为（为参数），再以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位．‎ ‎（Ⅰ）求圆的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆与直线交于A、B，求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修：不等式选讲 已知，，记关于的不等式的解集为．‎ ‎（Ⅰ）若，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，求实数的取值范围．‎ 荆门市2019年高三年级元月调考 数学（文科）参考答案 一、 选择题：‎ 题号 ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ 6‎ ‎ 7‎ ‎ 8‎ ‎ 9‎ ‎ 10‎ ‎ 11‎ ‎ 12‎ 答案 ‎ C ‎ D ‎ C ‎ C ‎ A ‎ A D ‎ C ‎ B ‎ B D A 二、填空题：‎ ‎13．14．8850 15．16．‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：（Ⅰ）由正弦定理：，又由已知，‎ 所以，…………………………………………………………………3分 ‎， 因为，所以．……………………………………6分 ‎（Ⅱ）由正弦定理得，，则，‎ 中，由余弦定理，，‎ 则……………………………………………………………………………10分 故，‎ 所以的周长为．…………………………………………12分 18. 解：（Ⅰ）取中点，连结，‎ 因为为等边三角形，所以． …………………………………………2分 因为四边形为菱形，所以，‎ 又因为，所以为等边三角形，‎ 所以． …………………………………………………………………………3分 因为，所以平面，‎ 因为平面，所以． ………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，‎ 所以为三棱锥的高． ………………………………………………………7分 所以，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以……………9分 因为，‎ 所以． …………………………………………………10分 设三棱锥的高为，‎ 因为，所以，‎ 所以，解得． ………………………………………………12分 ‎19．解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 实测答对人数 ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎2‎ 实测难度 ‎0.8‎ ‎0.8‎ ‎0.7‎ ‎0.7‎ ‎0.2‎ ‎…………………3分 所以，估计120人中有人答对第5题．………………………………4分 ‎（Ⅱ）记编号为的学生为，‎ 从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．‎ 其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为，，，，，，共6种．………………………………………………………………………6分 所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，‎ 恰好有1人答对第5题的概率为．……………………………………………8分 ‎（Ⅲ）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．‎ ‎．………………………………………………………………………………………………………………11分 因为 ，‎ 所以，该次测试的难度预估是合理的．………………………………………………12分 ‎20．解：（Ⅰ）∵点，∴，解得，…………………………………… 2分 故抛物线的方程为：，当时，，‎ ‎∴的方程为，联立可得，，………………………… 3分 又∵，，∴． ………………………… 5分 ‎（Ⅱ）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，‎ 设，则，，①…………………………7分 由得：，‎ 整理得，②………………………………………… 9分 将①代入②解得，∴直线，……………………………………10分 法一：∵圆心到直线的距离，∴，‎ 显然当时，，的长为定值．……………………………………………………12分 法二：直线过定点，而圆心，当直线过圆心时，的长为直径，即为定长，则．‎ 法三：因为圆的半径为定值，要使得的长为定长，只需要圆心到直线的距离与无关，则．‎ ‎21.解：（Ⅰ），…………………………………2分 ‎∵在区间上有两个极值点，∴在上有两个根．…………3分 ‎∴，即在上有两个根，‎ 即与在上有两个交点，‎ 则，故的取值范围为． …………………………………5分 ‎（Ⅱ）设切点为，则，，，‎ ‎∴①‎ 且②………………………………………………………………7分 由①得代入②得 即．………………………………………………………………8分 令，则，‎ ‎∵的，∴恒成立．‎ ‎∴在上恒为正值，∴在上单调递增，‎ ‎∵，∴代入①式得． ……………………………………………12分 ‎22．解：（Ⅰ）消去参数可得圆的直角坐标方程式为……………………2分 由极坐标与直角坐标互化公式得 化简得. …………………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）直线的参数方程（为参数）， ………………………………6分 即（为参数）代入圆方程得：， ………………………8分 设、对应的参数分别为、，则，，‎ 于是．…………………………………………………10分 ‎23．解：（Ⅰ）依题意有：， ………………………………………1分 若，则， ，‎ 若，则， ，‎ 若，则，无解， ………………………………………………4分 综上所述，的取值范围为．……………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由题意可知，当时恒成立，‎ 恒成立，即，当时恒成立， ‎ ‎．……………………………………………………………………………10分