高科数学专题复习课件：第十一章 11_1随机抽样 67页

§ 11.1 　 随机抽样 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 简单随机抽样 知识梳理 (1) 定义：一般地，设一个总体含有 N 个个体， 从中 抽取 n 个个体作为样本 ( n ≤ N ) ，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会 都 ， 就把这种抽样方法叫做简单随机抽样 . (2) 最常用的简单随机抽样方法有两种 —— 和 . 逐个不放回地 相等 抽签法 随机数法 2. 系统抽样的步骤 一般地，假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的 样本 (1) 先将总体的 N 个个体 ； (2) 确定 ， 对编号 进行 . 当 ( n 是样本容量 ) 是整数时，取 k ＝ ； (3) 在第 1 段 用 确定 第一个个体编号 l ( l ≤ k ) ； (4) 按照一定的规则抽取样本 . 通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体 编号 ， 再加 k 得到第 3 个个体 编号 ， 依次进行下去，直到获取整个样本 . 编号 分段 简单随机抽样 ( l ＋ k ) ( l ＋ 2 k ) 分段间隔 k 3. 分层抽样 (1) 定义：一般地，在抽样时，将总体分成 的层，然后按照 ，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样 . (2) 分层抽样的应用范围： 当总体由 组成时，往往选用分层抽样的方法 . 互不交叉 一定的比例 差异明显的几个部分 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 简单随机抽样是一种不放回抽样 .( 　　 ) (2) 简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关 .( 　　 ) (3) 抽签法中，先抽的人抽中的可能性大 .( 　　 ) (4) 系统抽样在第 1 段抽样时采用简单随机抽样 .( 　　 ) (5) 要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本，需要剔除 2 个学生，这样对被剔除者不公平 .( 　　 ) (6) 分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关 .( 　　 ) 思考辨析 √ × × √ × × 考点自测 1.( 教材改编 ) 某公司有员工 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人， 35 ～ 49 岁的有 280 人， 50 岁以上的有 95 人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取 100 名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数 为 A.33,34,33 B.25,56,19 C.20,40,30 D.30,50,20 因为 125 ∶ 280 ∶ 95 ＝ 25 ∶ 56 ∶ 19 ， 所以抽取人数分别为 25,56,19. 答案 解析 2.(2015· 四川 ) 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法 是 A. 抽签法 B . 系统抽样法 C. 分层抽样法 D . 随机数法 答案 解析 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法 . 3.(1) 某学校为了了解 2016 年高考数学学科的考试成绩，在高考后对 1 200 名学生进行抽样调查，其中文科 400 名考生，理科 600 名考生，艺术和体育类考生共 200 名，从中抽取 120 名考生作为样本 . (2) 从 10 名家长中抽取 3 名参加座谈会 . Ⅰ . 简单随机抽样法　 Ⅱ . 系统抽样法　 Ⅲ . 分层抽样法 问题与方法配对正确的 是 A.(1) Ⅲ ， (2) Ⅰ B .(1) Ⅰ ， (2) Ⅱ C.(1) Ⅱ ， (2) Ⅲ D .(1) Ⅲ ， (2) Ⅱ 答案 解析 通过分析可知，对于 (1) ，应采用分层抽样法，对于 (2) ，应采用简单随机抽样法 . 4. 将参加英语口语测试的 1 000 名学生编号为 000,001,002 ， … ， 999 ，从中抽取一个容量为 50 的样本，按系统抽样的方法分为 50 组，如果第一组编号为 000,001,002 ， … ， 019 ，且第一组随机抽取的编号为 015 ，则抽取的第 35 个编号为 ________. 答案 695 由题意可知，第一组随机抽取的编号 l ＝ 15 ， 则抽取的第 35 个编号为 a 35 ＝ 15 ＋ (35 － 1) × 20 ＝ 695. 解析 5. 某学校高一，高二，高三年级的学生人数之比为 3 ∶ 3 ∶ 4 ，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 ________ 名学生 . 答案 解析 设 应从高二年级抽取 x 名学生 ， 则 x ∶ 50 ＝ 3 ∶ 10 ，解得 x ＝ 15. 15 题型分类　深度剖析 题型一　简单随机抽样 例 1 　 (1) 以下抽样方法是简单随机抽样的 是 A. 在某年明信片销售活动中，规定每 100 万张为一个开奖组，通过 随机 抽取 的方式确定号码的后四位为 2709 的为三等奖 B. 某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔 30 分钟抽一 包 产品 ，称其重量是否合格 C. 某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、 14 人、 4 人 了 解 对学校机构改革的意见 D. 用抽签方法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验 答案 解析 选项 A 、 B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项 C 不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次； 选项 D 是简单随机抽样 . (2) 总体由编号为 01,02 ， … ， 19,20 的 20 个个体组成 . 利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号 为 答案 解析 由题意知前 5 个个体的编号为 08,02,14,07,01. 7816 　 6572 　 0802 　 6314 　 0702 　 4369 　 9728 　 0198 3204 　 9234 　 4935 　 8200 　 3623 　 4869 　 6938 　 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 应用简单随机抽样应注意的问题 (1) 一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀 . 一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法 . (2) 在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (1) 下列抽样试验中，适合用抽签法 的有 A. 从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B. 从某厂生产的两箱 ( 每箱 18 件 ) 产品中抽取 6 件进行质量检验 C. 从甲、乙两厂生产的两箱 ( 每箱 18 件 ) 产品中抽取 6 件进行质量检验 D. 从某厂生产的 5 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验 A ， D 中的总体个体数较多，不适宜抽签法 ， C 中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法 ， 故 选 B. 答案 解析 (2) 下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有 __________. ① 从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本 . ② 盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验 . 在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里 . ③ 从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验 . ④ 某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛 . ①②③④ 答案 解析 ① 不是简单随机抽样 . ② 不是简单随机抽样 . 由于它是放回抽样 . ③ 不是简单随机抽样 . 因为这是 “ 一次性 ” 抽取，而不是 “ 逐个 ” 抽取 . ④ 不是简单随机抽样 . 因为指定个子最高的 5 名同学是 56 名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样 . 题型二　 系统抽样 例 2 　 (1)(2015· 湖南 ) 在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩 ( 单位：分钟 ) 的茎叶图如图所示 若将运动员按成绩由好到差编为 1 ～ 35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间 [ 139,151 ] 上的运动员人数 是 A.3 B.4 C.5 D.6 答案 解析 由题意知，将 1 ～ 35 号分成 7 组，每组 5 名运动员，成绩落在区间 [ 139,151 ] 的运动员共有 4 组 ， 故 由系统抽样法知，共抽取 4 名 . 故选 B. (2) 某单位有 840 名职工，现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查，将 840 人按 1,2 ， … ， 840 随机编号，则抽取的 42 人中，编号落入区间 [ 481,720 ] 的人数 为 A.11 B.12 C.13 D.14 答案 解析 引申探究 1. 本例 (2) 中条件不变，若第三组抽得的号码为 44 ，则在第八组中抽得的号码是 ________. 在第八组中抽得的号码为 (8 － 3) × 20 ＋ 44 ＝ 144. 答案 解析 144 答案 解析 2. 本例 (2) 中条件不变，若在编号为 [ 481,720 ] 中抽取 8 人，则样本容量为 ________. 因为在编号 [ 481,720 ] 中共有 720 － 480 ＝ 240 人 ， 又 在 [ 481,720 ] 中抽取 8 人， 所以抽样比应为 240 ∶ 8 ＝ 30 ∶ 1 ， 又 因为单位职工共有 840 人 ， 所以 应抽取的样本容量 为 ＝ 28. 28 (1) 系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大 . (2) 使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔 . (3) 起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (1)( 2017· 马鞍山 月考 ) 高三 (1) 班有学生 52 人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知 5 号、 31 号、 44 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号 是 A.8 B.13 C.15 D.18 答案 解析 故还有一个学生的编号为 5 ＋ 13 ＝ 18 ，故选 D. (2)(2016· 烟台模拟 ) 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1,2 ， … ， 960 ，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9. 抽到的 32 人中，编号落入区间 [ 1,450 ] 的人做问卷 A ，编号落入区间 [ 451,750 ] 的人做问卷 B ，其余的人做问卷 C . 则抽到的人中，做问卷 B 的人数为 A.7 B.9 C.10 D.15 答案 解析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔 为 ＝ 30 ， 抽取 的号码依次为 9,39,69 ， … ， 939 . 落入 区间 [ 451,750 ] 的有 459,489 ， … ， 729 ， 这些 数构成首项为 459 ，公差为 30 的等差数列 ， 设有 n 项，显然有 729 ＝ 459 ＋ ( n － 1) × 30 ，解得 n ＝ 10 . 所以 做问卷 B 的有 10 人 . 题型三　分层抽样 命题点 1 　求总体或 样本容量 例 3 　 (1)(2016· 东北三校联考 ) 某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为 3 ∶ 5 ∶ 7 ，现用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本，其中甲种产品有 18 件，则样本容量 n 等于 A.54 B.90 C.45 D.126 依题意 得 × n ＝ 18 ，解得 n ＝ 90 ，即样本容量为 90. 答案 解析 (2) 甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测 . 若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 ________ 件 . 分层抽样中各层的抽样比相同 . 样本 中甲设备生产的产品有 50 件，则乙设备生产的产品有 30 件 . 在 4 800 件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为 5 ∶ 3 ， 所以 乙设备生产的产品的总数为 1 800 件 . 答案 解析 1 800 命题 点 2 　求某层入样的个体数 例 4 　 ( 2015· 北京 ) 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教师人数 为 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1 800 青年教师 1 600 合计 4 300 A.90 B.100 C.180 D.300 ( 1) 答案 解析 (2)(2015· 福建 ) 某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名 . 按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为 ________. 由题意知，男生共有 500 名 ， 根据 分层抽样的特点 ， 在 容量为 45 的样本中男生应抽取人数为 45 × ＝ 25 . 答案 解析 25 分层抽样问题类型及解题思路 (1) 求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算 . (2) 已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算 . (3) 确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况 . 思维 升华 答案 解析 该地区中小学生总人数为 3 500 ＋ 2 000 ＋ 4 500 ＝ 10 000 ， 则样本容量为 10 000 × 2% ＝ 200 ， 其中 抽取的高中生近视人数为 2 000 × 2% × 50% ＝ 20. 跟踪训练 3 　 (1) 已知某地区中小学生 人数 和 近视情况分别如图 ① 和图 ② 所示 . 为 了解 该 地区中小学生的近视形成原因，用 分层 抽样 的方法 抽取 2% 的学生进行调查，则样 本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ______. 200,20 (2) 某公司共有 1 000 名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为 80 的样本，已告知广告部门被抽取了 4 个员工，则广告部门的员工人数为 ________. 答案 解析 50 典例 　 ( 12 分 ) 某单位有 2 000 名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示： 审 图表找规律 审题路线图系列 五 人数 管理 技术开发 营销 生产 共计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 共计 160 320 480 1 040 2 000 (1) 若要抽取 40 人调查身体状况，则应怎样抽样？ (2) 若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？ (3) 若要抽 20 人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？ 审题路线图 规范解答 抽取 40 人调查身体状况 ↓ ( 观察图表中的人数分类统计情况 ) 样本人群应受年龄影响 ↓ ( 表中老、中、青分类清楚，人数确定 ) 要以老、中、青分层，用分层抽样 ↓ 要开一个 25 人的座谈会 ↓ ( 讨论单位发展与薪金调整 ) 样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的 影响 ↓ ( 表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定 ) 要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样 ↓ 要抽 20 人调查对广州亚运会举办情况的了解 ↓ ( 可认为亚运会是大众体育盛会，一个单位人员对情况了解相当 ) 将单位人员看作一个整体 ↓ ( 从表中数据看总人数为 2 000) 人员较多，可采用系统抽样 返回 解 　 (1) 按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取 ， [ 1 分 ] 故老年人、中年人、青年人各抽取 4 人、 12 人、 24 人 . [ 4 分 ] ( 2) 按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取 ， [ 5 分 ] 故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取 2 人、 4 人、 6 人、 13 人 . [ 8 分 ] ( 3) 用系统抽样， 对全部 2 000 人随机编号，号码从 0001 ～ 2000 ， 每 100 号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码 ， 然后 将这个号码分别加 100,200 ， … ， 1 900 ， 共 20 人组成一个样本 . [ 12 分 ] 返回 课时作业 1. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名 . 现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6 名，则在高二年级的学生中应抽取的人数 为 A.6 B.8 C.10 D.12 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(2017· 榆 林 月考 ) 打桥牌时，将洗好的扑克牌 (52 张 ) 随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从 52 张总体抽取一个 13 张的样本 . 这种抽样方法 是 A. 系统抽样 B . 分层抽样 C. 简单随机抽样 D . 非以上三种抽样方法 √ 答案 解析 符合系统抽样的特点，故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 p 1 ， p 2 ， p 3 ， 则 A. p 1 ＝ p 2 < p 3 B. p 2 ＝ p 3 < p 1 C. p 1 ＝ p 3 < p 2 D. p 1 ＝ p 2 ＝ p 3 √ 答案 解析 由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的 ， 因此 p 1 ＝ p 2 ＝ p 3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 为了解 1 000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的间隔 为 A.50 B.40 C.25 D.20 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. 某初级中学有学生 270 人，其中一年级 108 人，二、三年级各 81 人，现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2 ， … ， 270 ，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为 1,2 ， … ， 270 ，并将整个编号依次分为 10 段，如果抽得号码有下列四种情况： ① 7,34,61,88,115,142,169,196,223,250 ② 5,9,100,107,111,121,180,195,200,265 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ③ 11,38,65,92,119,146,173,200,227,254 ④ 30,57,84,111,138,165,192,219,246,270 关于上述样本的下列结论中，正确的 是 A. ② 、 ③ 都不能为系统抽样 B . ② 、 ④ 都不能为分层抽样 C. ① 、 ④ 都可能为系统抽样 D . ① 、 ③ 都可能为 分层抽样 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 √ 因为 ③ 可以为系统抽样，所以选项 A 不对 ； 因为 ② 可以为分层抽样，所以选项 B 不对 ； 因为 ④ 不为系统抽样，所以选项 C 不对，故选 D. 6. 将参加夏令营的 600 名学生编号为 001,002 ， … ， 600. 采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003. 这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300 在第 Ⅰ 营区，从 301 到 495 在第 Ⅱ 营区，从 496 到 600 在第 Ⅲ 营区，三个营区被抽中的人数依次 为 A.26,16,8 B.25,17,8 C.25,16,9 D.24,17,9 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 由题意及系统抽样的定义可知，将这 600 名学生按编号依次分成 50 组，每一组各有 12 名学生，第 k ( k ∈ N * ) 组抽中的号码是 3 ＋ 12( k － 1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因此第 Ⅰ 营区被抽中的人数是 25 ； 因此第 Ⅱ 营区被抽中的人数是 42 － 25 ＝ 17. 故选 B. 7.(2016· 山西大同一中月考 ) 用简单随机抽样的方法从含有 10 个个体的总体中，抽取一个容量为 3 的样本，其中某一个体 a “ 第一次被抽到 ” 的可能性与 “ 第二次被抽到 ” 的可能性分别 是 在抽样过程中，个体 a 每一次被抽中的概率是相等的 ， 因为 总体容量为 10 ，故 个体 a “ 第一次被抽到 ” 的可能性与 “ 第二次被抽到 ” 的可能性均 为 ， 故选 A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析 √ 8.( 2017· 天津质检 ) 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4 ∶ 5 ∶ 5 ∶ 6 ，则应从一年级本科生中抽取 ________ 名学生 . 答案 解析 设应从一年级本科生中抽取 x 名学生， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 60 9.( 2016· 潍坊模拟 ) 某高中在校学生有 2 000 人 . 为了响应 “ 阳光体育运动 ” 的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动 . 每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14   高一年级 高二年级 高三年级 跑步 a b c 登山 x y z 其中 a ∶ b ∶ c ＝ 2 ∶ 3 ∶ 5 ，全校参与登山的人数占总人数 的 . 为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个 200 人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为 ________. 36 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 一个总体中有 90 个个体，随机编号 0,1,2 ， … ， 89 ，以从小到大的编号顺序平均分成 9 个小组，组号依次为 1,2,3 ， … ， 9. 现用系统抽样方法抽取一个容量为 9 的样本，规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m ，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m ＋ k 的个位数字相同，若 m ＝ 8 ，则在第 8 组中抽取的号码是 _____. 答案 解析 由题意知 m ＝ 8 ， k ＝ 8 ，则 m ＋ k ＝ 16 ， 也就是 第 8 组抽取的号码个位数字为 6 ，十位数字为 8 － 1 ＝ 7 ， 故 抽取的号码为 76. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 76 11.200 名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取 40 名职工作样本，采用系统抽样方法，按 1 ～ 200 编号，分为 40 组，分别为 1 ～ 5,6 ～ 10 ， … ， 196 ～ 200 ，第 5 组抽取号码为 22 ，第 8 组抽取号码为 _____. 若采用分层抽样， 40 岁以下年龄段应抽取 _____ 人 . 答案 解析 将 1 ～ 200 编号分为 40 组，则每组的间隔为 5 ， 其中 第 5 组抽取号码为 22 ，则第 8 组抽取的号码应为 22 ＋ 3 × 5 ＝ 37 ； 由 已知条件 200 名职工中 40 岁以下的职工人数为 200 × 50% ＝ 100 ， 设 在 40 岁以下年龄段中应抽取 x 人， 则 ， 解得 x ＝ 20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 20 12. 某校共有学生 2 000 名，各年级男、女学生人数如下表 . 已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到二年级女生的概率是 0.19. 现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14   一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 16 答案 解析 依题意可知二年级的女生有 380 人 ， 那么 三年级的学生人数应该是 2 000 － 373 － 377 － 380 － 370 ＝ 500 ， 即 总体中各个年级的人数比为 3 ∶ 3 ∶ 2 ， 故 用分层抽样法应在三年级抽取的学生人数为 64 × ＝ 16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 某公路设计院有工程师 6 人，技术员 12 人，技工 18 人，要从这些人中抽取 n 个人参加市里召开的科学技术大会 . 如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加 1 个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除 1 个个体，求 n . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 总体容量为 6 ＋ 12 ＋ 18 ＝ 36. 当样本容量是 n 时，由题意知， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以 n 应是 6 的倍数， 36 的约数，即 n ＝ 6,12,18. 当样本容量为 ( n ＋ 1) 时， 即样本容量 n ＝ 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 *14. 某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度 ( 学历 ) 的调查，其结果 ( 人数分布 ) 如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 学历 35 岁以下 35 ～ 50 岁 50 岁以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y (1) 用分层抽样的方法在 35 ～ 50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 2 人，求至少有 1 人学历为研究生的概率； 解答 用分层抽样的方法在 35 ～ 50 岁中抽取一个容量为 5 的样本 ， 设 抽取学历为本科的人数为 m ， 抽取的样本中有研究生 2 人，本科生 3 人 ， 分别 记作 S 1 ， S 2 ； B 1 ， B 2 ， B 3 . 从中任取 2 人的所有等可能基本事件共有 10 个 ： ( S 1 ， B 1 ) ， ( S 1 ， B 2 ) ， ( S 1 ， B 3 ) ， ( S 2 ， B 1 ) ， ( S 2 ， B 2 ) ， ( S 2 ， B 3 ) ， ( S 1 ， S 2 ) ， ( B 1 ， B 2 ) ， ( B 1 ， B 3 ) ， ( B 2 ， B 3 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个： ( S 1 ， B 1 ) ， ( S 1 ， B 2 ) ， ( S 1 ， B 3 ) ， ( S 2 ， B 1 ) ， ( S 2 ， B 2 ) ， ( S 2 ， B 3 ) ， ( S 1 ， S 2 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ( 2) 在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人，其中 35 岁以下 48 人， 50 岁以上 10 人，再从这 N 个人中随机抽取出 1 人，此人的年龄为 50 岁以上的概率 为 ， 求 x ， y 的值 . 解答 ∴ 35 ～ 50 岁中被抽取的人数为 78 － 48 － 10 ＝ 20 ， 解得 x ＝ 40 ， y ＝ 5 ，即 x ， y 的值分别为 40,5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14