2006年天津市高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2006年天津市高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1. i是虚数单位，i‎1+i‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎i B.‎-‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎i C.‎1‎‎2‎‎-‎1‎‎2‎i D.‎‎-‎1‎‎2‎-‎1‎‎2‎i ‎2. 如果双曲线的两个焦点分别为F‎1‎‎(-3, 0)‎、F‎2‎‎(3, 0)‎，一条渐近线方程为y=‎2‎x，那么它的两条准线间的距离是（ ）‎ A.‎6‎‎3‎ B.‎4‎ C.‎2‎ D.‎‎1‎ ‎3. 设变量x，y满足约束条件y≤x，‎x+y≥2，‎y≥3x-6，‎‎ ‎则目标函数z=2x+y的最小值为(        ）‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎9‎ ‎4. 设集合M={x|00‎且a≠1)‎的图象关于直线y=x对称，记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]‎．若y=g(x)‎在区间‎[‎1‎‎2‎，2]‎上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）‎ A.‎[2, +∞)‎ B.‎(0, 1)∪(1, 2)‎ C.‎[‎1‎‎2‎，1)‎ D.‎‎(0,‎1‎‎2‎]‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11. ‎(2x+‎‎1‎x‎)‎‎7‎的二项展开式中x的系数是________（用数学作答）．‎ ‎12. （福建厦门一中第二学期开学考）设a与b的夹角为θ，且a=(3,3)‎，‎2b-a=(-1,1)‎，则cosθ=‎________．‎ ‎13. 如图，在正三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，AB=1‎．若二面角C-AB-‎C‎1‎的大小为‎60‎‎∘‎，则点C到平面ABC‎1‎ ‎ 7 / 7‎ 的距离为________．‎ ‎14. 设直线ax-y+3=0‎与圆‎(x-1‎)‎‎2‎+(y-2‎)‎‎2‎=4‎相交于A,B两点，且弦AB的长为‎2‎‎3‎，则a=‎________．‎ ‎15. 某公司一年购买某种货物‎400‎吨，每次都购买x吨，运费为‎4‎万元/次，一年的总存储费用为‎4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=‎________吨．‎ ‎16. 设函数f(x)=‎‎1‎x+1‎，点A‎0‎表示坐标原点，点An（n, f(n)‎）‎(n∈N‎*‎)‎，若向量an‎→‎‎=A‎0‎A‎1‎‎→‎+A‎1‎A‎2‎‎→‎+…+‎An-1‎An‎→‎，θn是an‎→‎与i‎→‎的夹角，（其中i‎→‎‎=(1,0)‎），设Sn‎=tanθ‎1‎+tanθ‎2‎+...+tanθn，则limn→∞‎Sn‎=‎________．‎ 三、解答题（共6小题，满分76分）‎ ‎17. 如图，在‎△ABC中，AC=2‎，BC=1‎，cosC=‎‎3‎‎4‎．‎ ‎（1）求AB的值；‎ ‎（2）求sin(2A+C)‎的值．‎ ‎18. 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为‎3‎‎5‎，且各次射击的结果互不影响．‎ ‎（1）求射手在‎3‎次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；‎ ‎（2）求射手第‎3‎次击中目标时，恰好射击了‎4‎次的概率（用数字作答）；‎ ‎ 7 / 7‎ ‎19. 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF‎=‎‎ // ‎‎1‎‎2‎BC．‎ ‎（1）证明FO // ‎平面CDE；‎ ‎（2）设BC=‎3‎CD，证明：EO⊥‎平面CDF．‎ ‎20. 已知函数f(x)=4x‎3‎-3x‎2‎cosθ+‎‎1‎‎32‎，其中x∈R，θ为参数，且‎0≤θ≤‎π‎2‎．‎ ‎（1）当cosθ=0‎时，判断函数f(x)‎是否有极值；‎ ‎（2）要使函数f(x)‎的极小值大于零，求参数θ的取值范围；‎ ‎（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)‎在区间‎(2a-1, a)‎内都是增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎21. 已知数列‎{xn}‎，‎{yn}‎满足x‎1‎‎=x‎2‎=1‎，y‎1‎‎=y‎2‎=2‎，并且xn+1‎xn‎=λxnxn-1‎，yn+1‎yn≥λynyn-1‎（λ为非零参数，n=2‎，‎3‎，‎4‎，…）．‎ ‎（1）若x‎1‎，x‎3‎，x‎5‎成等比数列，求参数λ的值；‎ ‎（2）当λ>0‎时，证明xn+1‎yn+1‎‎≤xnyn(n∈N‎*‎)‎；当λ>1‎时，证明：x‎1‎‎-‎y‎1‎x‎2‎‎-‎y‎2‎‎+x‎2‎‎-‎y‎2‎x‎3‎‎-‎y‎3‎+…+xn‎-‎ynxn+1‎‎-‎yn+1‎<λλ-1‎(n∈N‎*‎)‎．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎22. 如图，以椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点F(c, 0)(c>b)‎作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连接OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．‎ ‎（1）求证c‎2‎‎=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；‎ ‎（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，求证OP‎→‎‎⋅OQ‎→‎=‎‎1‎‎2‎b‎2‎．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2006年天津市高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.A ‎2.C ‎3.B ‎4.B ‎5.A ‎6.B ‎7.C ‎8.D ‎9.A ‎10.D 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11.‎‎280‎ ‎12.‎‎3‎‎10‎‎10‎ ‎13.‎‎3‎‎4‎ ‎14.‎‎0‎ ‎15.‎‎20‎ ‎16.‎‎1‎ 三、解答题（共6小题，满分76分）‎ ‎17.解：（1）由余弦定理，AB‎2‎=AC‎2‎+BC‎2‎-2AC⋅BC⋅cosC=4+1-2×2×1×‎3‎‎4‎=2‎．‎ 那么，‎AB=‎‎2‎ ‎（2）解：由cosC=‎‎3‎‎4‎，且‎00‎的情况．‎ 当x变化时，f‎'‎‎(x)‎的符号及f(x)‎的变化情况如下表：‎ ‎ ‎x ‎ ‎‎(-∞, 0)‎ ‎ ‎‎0‎ ‎(0, cosθ‎2‎)‎‎ ‎ cosθ‎2‎‎ ‎ ‎(cosθ‎2‎,+∞)‎‎ ‎ ‎ ‎f‎'‎‎(x)‎ ‎+‎ ‎ ‎0‎ ‎ ‎-‎ ‎ ‎‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎f(x)‎ ‎ 递增 ‎ 极大值 ‎ 递减 ‎ 极小值 ‎ 递增 因此，函数f(x)‎在x=‎cosθ‎2‎处取得极小值f(cosθ‎2‎)‎，且f(cosθ‎2‎)=-‎1‎‎4‎cos‎3‎θ+‎‎1‎‎32‎．‎ 要使f(cosθ‎2‎)>0‎，必有‎-‎1‎‎4‎cos‎3‎θ+‎1‎‎32‎>0‎，‎ 可得‎00‎，x‎1‎‎=x‎2‎=1‎及y‎1‎‎=y‎2‎=2‎，可得xn‎>0‎，yn‎>0‎．由不等式的性质，有yn+1‎yn‎≥λynyn-1‎≥λ‎2‎yn-1‎yn-2‎...≥‎ λn-1‎y‎2‎y‎1‎‎=‎λn-1‎‎；‎ 另一方面，xn+1‎xn‎=λxnxn-1‎‎=‎λ‎2‎xn-1‎xn-2‎...λn-1‎x‎2‎x‎1‎=‎λn-1‎．‎ 因此，yn+1‎yn‎≥λ‎=‎n-1‎xn+1‎xn(n∈N‎*‎)‎．故xn+1‎yn+1‎‎≤xnyn(n∈N‎*‎)‎．‎ ‎(II)‎当λ>1‎时，由‎(I)‎可知，yn‎>xn≥1(n∈N‎*‎)‎．‎ 又由‎(I)xn+1‎yn+1‎≤xnyn(n∈N‎*‎)‎，则yn+1‎‎-‎xn+1‎xn+1‎‎≥‎yn‎-‎xnxn，‎ 从而yn+1‎‎-‎xn+1‎yn‎-‎xn‎≥‎xn+1‎xn‎(n∈N‎*‎)‎．‎ ‎∴ ‎x‎1‎‎-‎y‎1‎x‎2‎‎-‎y‎2‎‎+x‎2‎‎-‎y‎2‎x‎3‎‎-‎y‎3‎+…+xn‎-‎ynxn+1‎‎-‎yn+1‎=‎1-(‎‎1‎λ‎)‎‎2‎‎1-‎‎1‎λ<λλ-1‎(n∈N‎*‎)‎ ‎ 7 / 7‎ ‎22.解：（1）由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，‎ 故OFOA‎=‎OBOF，即ca‎=‎bc，因此c‎2‎‎=ab．①‎ 在Rt△OFA中，‎FA=OA‎2‎-OF‎2‎=a‎2‎‎-‎c‎2‎=b 于是，直线OA的斜KOA‎=‎bc．设直线BF的斜率为k，k=-‎1‎kOA=-‎cb．‎ 所以直线BF的方程为：‎y=-cb(x-c)‎ 直线BF与y轴的交点为M(0,c‎2‎b)即(0,a)‎．‎ ‎（2）由（1），得直线BF得方程为y=kx+a，k‎2‎‎=c‎2‎b‎2‎=abb‎2‎=‎ab②‎ 由已知，P(x‎1‎, y‎1‎)‎，Q(x‎2‎, y‎2‎)‎，则它们的坐标满足方程x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎y=kx+a③‎ 由方程组③消y，并整理得‎(b‎2‎+a‎2‎k‎2‎)x‎2‎+2a‎3‎x‎2‎+2a‎3‎kx+a‎4‎-a‎2‎b‎2‎=0‎，④‎ 由式①、②和④，‎x‎1‎x‎2‎‎=a‎4‎‎-‎a‎2‎b‎2‎b‎2‎‎+‎a‎2‎k‎2‎+a‎2‎‎(a‎2‎-b‎2‎)‎b‎2‎‎+‎a‎2‎ab=a‎2‎c‎2‎b‎2‎‎+‎a‎3‎b=a‎3‎b‎2‎b‎3‎‎+‎a‎3‎.x‎1‎+x‎2‎=‎‎-2a‎3‎kb‎2‎‎+‎a‎2‎k‎2‎ y‎1‎y‎2‎‎=(kx‎1‎+a)(kx‎2‎+a)=k‎2‎x‎1‎x‎2‎+ka(x‎1‎+x‎2‎)+‎a‎2‎‎=k‎2‎a‎3‎b‎2‎b‎3‎‎+‎a‎3‎+ka‎-2a‎3‎kb‎2‎‎+‎a‎2‎k‎2‎+‎a‎2‎‎=a‎4‎ba‎3‎‎+‎b‎3‎-‎2‎a‎5‎a‎3‎‎+‎b‎3‎+‎a‎2‎‎=‎a‎4‎b-a‎5‎+‎a‎2‎b‎3‎a‎3‎‎+‎b‎3‎‎=‎a‎3‎‎(ab-a‎2‎)+‎a‎2‎b‎3‎a‎3‎‎+‎b‎3‎‎=‎‎-b‎2‎a‎3‎+‎a‎2‎b‎3‎a‎3‎‎+‎b‎3‎ 综上，得到OP‎→‎‎⋅OQ‎→‎=x‎1‎x‎2‎+y‎1‎y‎2‎=‎a‎2‎b‎3‎a‎3‎‎+‎b‎3‎，‎ 又因a‎2‎‎-ab+b‎2‎=a‎2‎-c‎2‎+b‎2‎=2‎b‎2‎，得 OP‎→‎‎⋅OQ‎→‎=a‎2‎b‎3‎a‎3‎‎+‎b‎3‎=a‎2‎b‎3‎‎(a+b)⋅2‎b‎2‎=‎ab‎2‎‎2(a+b)‎‎=ac‎2‎‎2(a+b)‎=a(a‎2‎-b‎2‎)‎‎2(a+b)‎=‎1‎‎2‎(a‎2‎-ab)‎‎=‎1‎‎2‎(a‎2‎-c‎2‎)=‎‎1‎‎2‎b‎2‎ ‎ 7 / 7‎