高考数学专题复习课件：5-1平面向量的概念及线性运算 49页

§5.1 　平面向量的概念及线性运算 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解向量的实际背景； 2. 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 3. 理解向量的几何表示； 4. 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； 5. 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 6. 了解向量线性运算的性质及其几何意义． 1 ．向量的有关概念 2. 向量的线性运算 3. 共线向量定理 向量 a ( a ≠ 0) 与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ ，使得 _________ ． 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量． ( 　　 ) (2)| a | 与 | b | 是否相等与 a ， b 的方向无关． ( 　　 ) b ＝ λa 【 答案 】 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 　 (6) √ 1 ．给出下列命题： ① 零向量的长度为零，方向是任意的； ② 若 a ， b 都是单位向量，则 a ＝ b ； ③ 向量与相等．则所有正确命题的序号是 ( 　　 ) A ． ① 　　　　　　　　　　　 B ． ③ C ． ①③ D ． ①② 【 答案 】 A 2 ．如图所示，向量 a － b 等于 ( 　　 ) A ．－ 4 e 1 － 2 e 2 B ．－ 2 e 1 － 4 e 2 C ． e 1 － 3 e 2 D ． 3 e 1 － e 2 【 答案 】 C 【 答案 】 B 【 答案 】 A 5 ．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a ＋ λb 与－ ( b － 3 a ) 共线，则 λ ＝ ________ ． ④ a ＝ b 的充要条件是 | a | ＝ | b | 且 a ∥ b ； ⑤ 若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c . 其中正确命题的序号是 ( 　　 ) A ． ②③ 　　　　　　　　　　 B ． ①② C ． ③④ D ． ④⑤ 【 答案 】 A 【 方法规律 】 向量有关概念的 5 个关键点 (1) 向量：方向、长度． (2) 非零共线向量：方向相同或相反． (3) 单位向量：长度是一个单位长度． (4) 零向量：方向没有限制，长度是 0. (5) 相等相量：方向相同且长度相等． 跟踪训练 1 设 a 0 为单位向量， ① 若 a 为平面内的某个向量，则 a ＝ | a | a 0 ； ② 若 a 与 a 0 平行，则 a ＝ | a | a 0 ； ③ 若 a 与 a 0 平行且 | a | ＝ 1 ，则 a ＝ a 0 . 上述命题中，假命题的个数是 ( 　　 ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【 解析 】 向量是既有大小又有方向的量， a 与 | a | a 0 的模相同，但方向不一定相同，故 ① 是假命题；若 a 与 a 0 平行，则 a 与 a 0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a ＝－ | a | a 0 ，故 ②③ 也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3. 【 答案 】 D 【 答案 】 (1)A 　 (2) b － a 　－ a － b 【 方法规律 】 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1) 向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则． (2) 求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则． (3) 求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值． 【 答案 】 B (2) ∵ ka ＋ b 和 a ＋ kb 共线， ∴ 存在实数 λ ，使 ka ＋ b ＝ λ ( a ＋ kb ) ， 即 ka ＋ b ＝ λa ＋ λkb . ∴ ( k － λ ) a ＝ ( λk － 1) b . ∵ a ， b 是两个不共线的非零向量， ∴ k － λ ＝ λ k － 1 ＝ 0 ， ∴ k 2 － 1 ＝ 0. ∴ k ＝ ± 1. 【 温馨提醒 】 (1) 本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度． (2) 易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解． (3) 数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有 “ 形 ” 的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视 A ， M ， D 三点共线和 B ， M ， C 三点共线这个几何特征． (4) 方程思想是解决本题的关键，要注意体会 . ► 方法与技巧 1 ．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是 “ 首尾相接，指向终点 ” ；向量减法的三角形法则要素是 “ 起点重合，指向被减向量 ” ；平行四边形法则要素是 “ 起点重合 ” ． ► 失误与防范 1 ．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2 ．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误 .