2019-2020学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校高一上学期10月联考数学试题（解析版） 15页

‎2019-2020学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校高一上学期10月联考数学试题 一、单选题 ‎1．下列五个写法：①；②；③；④；⑤.其中错误写法的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据元素与集合、集合与集合的关系，以及集合与集合的运算来判断出以上五个写法的正误.‎ ‎【详解】‎ 对于①，表示元素与集合之间的关系，故①错；对于②，是任何集合的子集，故②对；‎ 对于③，，成立，故③对；对于④，，故④错；‎ 对于⑤，表示的集合与集合的交集运算，故⑤错.故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合部分的一些特定的符号，以及集合与集合的关系、元素与集合的关系，考查对集合相关概念的理解，属于基础题.‎ ‎2．若1∈{x，x2}，则x=（　　）‎ A．1 B． C．0或1 D．0或1或 ‎【答案】B ‎【解析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果 ‎【详解】‎ 根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，‎ 进而分类讨论：‎ ‎①、当x=1时，x2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，‎ ‎②、当x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），‎ 当x=-1时，x2=1，符合题意，‎ 综合可得，x=-1，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3．设集合和集合都是自然数集，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，则在映射下，像的原像是（ ）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设象在映射下的原象为，根据题意得出，解出自然数的值即可.‎ ‎【详解】‎ 设象在映射下的原象为，由题意可得，解得，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查映射的概念，理解象与原象的概念是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4．已知实数集，集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解出集合，然后利用补集的定义和交集的定义计算出集合.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 因此，，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的补集和交集运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5．若，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用根式的性质求出、，即可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 由根式的性质得，，‎ 因此，，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根式的性质，解题的关键就是利用根式的性质进行计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意得出，解出该不等式组可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 由于函数的定义域为，由题意得，‎ 解得且，因此，函数的定义域是，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数的定义域，对于抽象函数的定义域，一般要利用中间变量取值范围一致来列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎7．已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分和，分析函数在区间上的单调性，得出函数 的最大值，并结合得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.‎ ‎①当时，函数在区间上单调递增，则；‎ ‎②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 此时，函数在或处取得最大值，由于，‎ 所以，，即，解得，此时.‎ 综上所述，实数的取值范围是，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的最值问题，属于定轴动区间型，解题时要分析二次函数在区间上的单调性，借助单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎8．已知函数为偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由偶函数的性质可得出函数在区间上的单调性，由偶函数的性质得出，将不等式化为，变形为，再利用函数在区间上的单调性求解.‎ ‎【详解】‎ 由于函数是偶函数，且在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减，且有，‎ ‎，由，得，则有，，‎ 解得，因此，不等式的解集为，故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，在函数为偶函数的前提下，充分利用性质，借助函数在上的单调性求解，可简化计算，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎9．设函数，若，则实数等于（ ）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，所以，故选C. ‎ ‎【考点】分段函数的解析式.‎ ‎10．已知，则 A．3 B．9 C．–3 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，求出，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 令 那么 所以 即3，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数幂的运算，属于基础题.‎ ‎11．已知，则函数的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，利用换元法求出函数的解析式，然后利用二次函数的性质求出该函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 设，则，由可得，‎ 所以，函数的解析式为，其中.‎ ‎，则该函数在上单调递增，则.‎ 因此，函数的值域为，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用换元法求函数的解析式，同时也考查了二次函数的值域问题，在求解二次函数的值域问题时，要充分结合二次函数的单调性，结合定义进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎12．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据“类”的定义对上述五个结论的正误进行判断.‎ ‎【详解】‎ 对于①，，，结论①正确；‎ 对于②，，，结论②错误；‎ 对于③，对于任意一个整数，它除以的余数可能是、、、、，，结论③正确；‎ 对于④，整数、属于同一“类”，设、，、、、、，则存在、，使得，，，结论④正确.故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考查推理能力，属于中等题.‎ 二、填空题 ‎13．计算：__________.‎ ‎【答案】​‎ ‎【解析】利用指数的运算律可得出代数式的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数的运算律，在计算时要注意两个问题：（1）带分数化为假分数；（2）小数化为分数.并利用指数的运算律进行求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．将集合用列举法表示为___________________.‎ ‎【答案】,,‎ ‎【解析】将方程变形可得出为偶数且，由此可得出所求集合.‎ ‎【详解】‎ ‎，，且、，为偶数且.‎ 当时，；当时，；当时，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的表示，关键就是集合中的方程，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎15．若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】​‎ ‎【解析】对分，，三种情况讨论，利用一次函数中一次项系数的正负，二次函数图象的开口方向与对称轴讨论函数在区间 上的单调性，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，该函数在区间上是单调减函数，合乎题意；‎ ‎（2）当时，二次函数的对称轴为直线.‎ 当时，二次函数的图象开口向上，要使得函数在区间上为减函数，则，解得；‎ 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，则函数在区间单调递增，在区间上单调递减，不合乎题意；‎ 综上所述，实数的取值范围是，故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查变系数的二次函数的单调性问题，一般要对首项系数进行分类讨论，结合二次函数图象的开口方向和对称轴来讨论函数的单调性，考查分类讨论思想，属于中等题.‎ ‎16．函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得出函数在区间上为增函数，且有在处的取值大于等于函数在处的取值，由此列出不等式组解出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由于二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.‎ 由题意可知，函数在区间上为增函数，则，得.‎ 且有，解得，所以，，‎ 因此，实数的取值范围是，故答案为：.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，，.‎ ‎（1）写出集合的所有子集；‎ ‎（2）求，.‎ ‎【答案】（1），，，，，，，；‎ ‎（2），.‎ ‎【解析】（1）根据题意写出集合，然后根据子集的定义写出集合的子集；‎ ‎（2）求出集合，利用交集的定义求出集合，利用补集和并集的定义求出集合.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），∴，‎ 因此，的子集有：，，，，，，，；‎ ‎（2）由（1）知，则，‎ ‎，‎ 因此，，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查有限集合的子集，以及补集、交集和并集的运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18．设集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）将代入集合，利用并集的定义可求出集合；‎ ‎（2）由得出，然后分和两种情况讨论，列出有关的不等式组解出即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意：集合，.‎ 当时，，；‎ ‎（2），.‎ 当时，满足题意，此时，解得：；‎ 当时，，解得：；‎ 综上所得：当时，实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的并集运算，同时也考查了利用集合间的包含关系求参数，在含参数的集合的问题中，要注意对集合分空集和非空集合两种情况讨论，结合题意求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19．已知函数 ‎（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；‎ ‎（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.‎ ‎【答案】（1）作图见解析；‎ ‎（2）定义域为，增区间为，减区间为、、，值域为.‎ ‎【解析】（1）根据函数的解析式作出该函数的图象；‎ ‎（2）根据函数的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）图象如图所示：‎ ‎ ‎ ‎（2）由函数的图象可知，该函数的定义域为，‎ 增区间为，减区间为、、，值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的图象，以及利用图象得出函数的单调区间、定义域和值域，考查函数概念的理解，属于基础题.‎ ‎20．已知是定义在R上的奇函数，当时，．‎ ‎（1）求函数的表达式；‎ ‎（2）若函数在区间上是单调的，试确定a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设，又时，；（2）根据（1）作出函数的图象， 根据的单调性，并结合函数的图象.‎ 试题解析：（1）设，则，‎ 则 又函数为奇函数，‎ 所以，‎ 所以时，‎ 所以 ‎（2）根据（1）作出函数的图象，如下图所示：‎ 又函数在区间上单调递增，‎ 结合函数的图象，知，‎ 所以，故实数的取值范围是 ‎【考点】1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）判断函数在内的单调性，并用定义证明；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）函数在上是单调减函数，证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）任取、且，作差，因式分解后判断差值的符号，即可证明出该函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）由在上恒成立，利用参变量分离法得出，利用函数上的单调性求出该函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）任取、且，‎ ‎，‎ 因为，所以，，所以，‎ 所以，即，‎ 因此，函数在上是单调减函数；‎ ‎（2）由得恒成立，‎ 由（1）知，函数在为减函数，‎ 当，取得最小值，．‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用定义证明函数的单调性，以及利用参变量分离法求解函数不等式恒成立问题，解题时要充分利用函数的单调性求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎22．函数在区间上的最小值记为．‎ ‎​（1）当时，求函数在区间上的值域；‎ ‎（2）求的函数表达式；‎ ‎（3）求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）将代入函数的解析式，利用二次函数的性质求出函数在区间上的最大值和最小值，从而可得出此时函数在区间上的值域；‎ ‎（2）对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最小值的表达式；‎ ‎（3）求出分段函数在每一段定义域上的值域，可得出该函数的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，函数取最小值，即；‎ 当时，函数取最大值，即.‎ 因此，函数在区间上的值域为；‎ ‎（2）①当时，函数的对称轴，‎ 此时，函数在区间上单调递增，则；‎ ‎②当时，函数的对称轴，‎ 此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 则；‎ ‎③当时，函数的对称轴，‎ 此时，函数在区间上单调递减，则．‎ 综上所述，；‎ ‎（3）①当时，；‎ ‎②当时，；‎ 当时，．‎ 由①②③可知．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的最值，同时也考查了分段函数最值的求解，在求解含参二次函数在定区间上的最值时，要注意分析二次函数图象的开口方向以及对称轴与定义域的位置关系，分析二次函数在定义域上的单调新，结合单调性得出二次函数的最值，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎