2020高中数学 第一章 三角函数 4页

三角函数的周期性 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 三角函数的周期性 ‎1. 理解周期函数的定义；‎ ‎2. 知道正弦函数、余弦函数的最小正周期；‎ ‎3. 会求函数y＝sin（ωx＋φ）和y＝cos（ωx＋φ）的周期。‎ 填空 解答 高考必考 周期性是三角型函数的重要性质，也是我们在所学的基本初等函数中唯一具备这一特性的函数。在解答题中往往出现在第1步，较为简单。客观题往往与图象等结合考查。‎ 二、重难点提示 重点：求函数的周期、利用周期求函数值。‎ 难点：对定义的理解及定义的简单应用。‎ 一、周期函数的定义 一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。‎ ‎【要点诠释】函数周期性的理解：‎ ‎①定义应对定义域中的每一个值来说，只有个别的值满足f（x＋T）＝f（x）或不满足，都不能说T是f（x）的周期。‎ ‎②从f（x＋T）＝f（x）来看，应强调是自变量x本身加的常数才是周期，如f（2x＋T）＝f（2x）中，T不是周期，而应写成，则是f（x）的周期。‎ ‎③对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是它的最小正周期。‎ ‎④并不是所有的周期函数都存在最小正周期。例如常数函数为常数），其周期是任意实数，没有最小正数。‎ ‎⑤周期函数的周期不是唯一的，如果T是函数f（x）的周期，那么kT（k∈Z，k≠0）也一定是函数的周期。‎ ‎【核心归纳】如何利用定义判断函数是不是周期函数？‎ ‎（1）首先看定义域 若是定义域D内的一个值，则也一定属于定义域D，因此周期函数的定义域D一定是无限集，而且定义域D一定无上界且无下界。‎ ‎（2）其次看恒等式是否成立 4‎ 对于定义域D内任意一个，是否有恒成立。如果成立，则是周期函数。否则，不是周期函数。‎ 二、的周期 一般地，函数y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝。‎ ‎【规律总结】‎ 求三角函数的周期，通常有三种方法。‎ ‎（1）定义法；‎ ‎（2）公式法，对y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0），T＝；‎ ‎（3）图象法。‎ 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1。‎ 示例：已知函数的周期为3，则 。‎ 思路分析：利用y＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0）的最小正周期为T＝这一结论解决。‎ 答案：由题得，则 技巧点拨：在运用公式法求周期时不要忽略绝对值。‎ 例题1 （求三角函数的周期）求下列函数的周期：‎ ‎（1）y＝3sin（x＋）；‎ ‎（2）y＝2cos（－＋）；‎ ‎（3）y＝|sin x|。‎ 思路分析：利用公式法或定义法求解即可。若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期。‎ 答案：（1）T＝＝＝4。‎ ‎（2）y＝2cos（－＋）＝2cos（－），‎ ‎∴T＝＝4π。‎ 4‎ ‎（3）由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π。验证：∵|sin（x＋π）|＝|－sin x|＝|sin x|，‎ ‎∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的周期是π。‎ 例题2 （函数周期性的判断）‎ 设函数y＝f（x），x∈R，若函数y＝f（x）为偶函数并且图象关于直线x＝a（a≠0）对称，求证：函数y＝f（x）为周期函数。‎ 思路分析：要证函数y＝f（x）是周期函数，就是要找到一个常数T（T≠0），使得对于任意实数x，都有f（x＋T）＝f（x），可根据y＝f（x）的奇偶性与对称性推导证明。‎ 答案：由y＝f（x）的图象关于x＝a对称得f（‎2a－x）＝f（x），∴f（‎2a＋x）＝f（－x），‎ ‎∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），‎ ‎∴f（‎2a＋x）＝f（x），‎ ‎∴f（x）是以‎2a为周期的函数。‎ ‎【重要提示】‎ ‎1. 判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数T满足f（x＋T）＝f（x）对定义域中一切x都成立。‎ ‎2. 若函数f（x）对定义域内的一切实数x满足f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝或f（x＋a）＝－，则f（x）都是周期函数，且‎2a为它的一个周期，这里a为非零常数。‎ 函数周期性概念理解不透彻致误 ‎【满分训练】‎ 判断函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]是否为最小正周期为的周期函数，若不是，请说明理由。‎ ‎【错解】记f（x）＝cos 4x，设T为f（x）的周期，则f（x＋T）＝f（x），即cos 4x＝cos 4（x＋T）对任意实数x都成立，也就是cos（μ＋4T）＝cos μ对任意实数μ都成立，其中μ＝4x，由于y＝cos μ的最小正周期为2π，‎ 令4T＝2π，得T＝，故函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]是最小正周期为的周期函数。‎ ‎【错因分析】导致错误的原因在于没有注意条件x∈[－π，π]的限制，∵x＝π时，x＋T∉[－π，π]，不符合周期函数的定义，即忽略了f（x）＝f（x＋T）对任意x都成立。‎ ‎【防范措施】要判断一个函数是否为周期函数，①要看定义域I，对任意x∈I，有x＋T∈I；②对任意x∈I，有f（x）＝f（x＋T）。要说明一个函数不是周期函数或者不是以T为周期的周期函数，只需要举一反例即可。‎ ‎【正解】由周期函数的定义可知，对定义域内的每一个x值，有f（x＋T）＝f（x），故x＋‎ 4‎ T也应在定义域内，但是当x＝π时，x＋＝∉[－π，π]，故函数y＝cos 4x，x∈[－π，π]不是周期函数。‎ ‎ ‎ 利用周期解决多个值的和 若函数f（n）＝sin（n∈Z），求f（97）＋f（98）＋f（99）＋…＋f（102）的值。‎ 思路分析：直接求和较难，可以判断f（n）的周期性，利用周期函数在一个周期内函数值的变化情况求解。‎ 答案：由题意得sin＝sin（＋2π）‎ ‎＝sin[]（n∈Z），‎ ‎∴f（n）＝f（n＋12），‎ ‎∵97＝12×8＋1，98＝12×8＋2，…，102＝12×8＋6，‎ ‎∴f（97）＋f（98）＋f（99）＋…＋f（102）‎ ‎＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）‎ ‎＝sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin ‎＝＋＋1＋＋＋0＝2＋。‎ 技巧点拨：当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究函数在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值。‎ 4‎