2020高中数学第四章函数应用4 4页

‎4.1.1‎‎ 利用函数性质判定方程解的存在 ‎[A　基础达标]‎ ‎1．下列函数不存在零点的是(　　)‎ A．y＝x－　　　　　　　 B．y＝ C．y＝ D．y＝ 解析：选D.令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；B中函数的零点为－和1；只有D中函数无零点．‎ ‎2．方程x3＋3x－1＝0在以下哪个区间内一定存在实根(　　)‎ A．(－1，0) B．(0，1)‎ C．(1，2) D．(2，3)‎ 解析：选B.令f(x)＝x3＋3x－1，其图像在R上连续且是递增的，由于f(0)＝－1<0，f(1)＝3>0，故选B.‎ ‎3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)‎ A.，0 B．－2，0‎ C. D．0‎ 解析：选D.当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.‎ 当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．‎ 综上所述，函数f(x)的零点为0.‎ ‎4．函数y＝ax2－4x＋2只有一个零点，则实数a的值为(　　)‎ A．0 B．2‎ C．0或2 D．1‎ 解析：选C.当a＝0时，y＝－4x＋2，‎ 由－4x＋2＝0得x＝，‎ 故函数有唯一零点，a＝0成立；‎ 当a≠0时，二次函数y＝ax2－4x＋2有唯一零点，‎ 则有Δ＝16－‎8a＝0，得a＝2.‎ 综上，a＝0或a＝2.‎ ‎5．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为(　　)‎ A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有 解析：选C.若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1，2)上有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．故f(x)在(1，2)上有且仅有一个零点．‎ ‎6．函数f(x)＝的零点是________．‎ 解析：令f(x)＝0，即＝0，可得x－1＝0或ln x＝0，解得x＝1，故f(x)的零点是1.‎ 4‎ 答案：1‎ ‎7．已知函数f(x)＝3mx－4，若在区间[－2，0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：因为函数f(x)在[－2，0]上存在零点x0使f(x0)＝0，且f(x)单调，所以f(－2)·f(0)≤0，所以(－‎6m－4)×(－4)≤0，解得m≤－.所以，实数m的取值范围是.‎ 答案： ‎8．若方程ax－x－a＝0(a>0且a≠1)有两个实数解，则a的取值范围是________．‎ 解析：‎ 在同一直角坐标系中画出函数y＝ax与函数y＝x＋a的图像，由图像可知当a>1时，它们有2个交点，即方程ax－x－a＝0有两个实数解．当0