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- 2021-06-20 发布
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课时分层作业(十四) 等比数列的性质
(建议用时:40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1.已知等比数列{an},a1=1,a3=,则a5等于( )
A.± B.-
C. D.±
C [根据等比数列的性质可知a1a5=a⇒a5==.]
2.在等比数列{an}中,a1+a2+a3=2,a4+a5+a6=4,则a10+a11+a12等于( )
【导学号:91432208】
A.32 B.16
C.12 D.8
B [=q3==2,
∴a10+a11+a12=(a1+a2+a3)q9=2·(2)3=24=16.]
3.已知等比数列{an}中,an>0,a1,a99是方程x2-10x+16=0的两根,则a40a50a60的值为( )
A.32 B.64
C.256 D.±64
B [由题意得,a1a99=16,
∴a40a60=a=a1a99=16,
又∵a50>0,∴a50=4,
∴a40a50a60=16×4=64.]
4.设{an}是公比为q的等比数列,令bn=an+1,n∈N*,若数列{bn}的连续四项在集合{-53,-23,17,37,82}中,则q等于( )
【导学号:91432209】
A.- B.-
C.-或- D.-或-
C [即an的连续四项在集合{-54,-24,16,36,81}中,由题意知,这四项可选择-54,36,-24,16,此时,q=-,若选择16,-24,36,-54,则q=-.]
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5.已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以为首项的等比数列,则等于( )
A. B.或
C. D.以上都不对
A [不妨设是x2-mx+2=0的根,则其另一根为4,∴m=4+=,
对方程x2-nx+2=0,设其根为x1,x2(x10,∴a8a15=2.]
2.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=( )
【导学号:91432213】
A.16 B.14
C.4 D.49
A [∵2a3-a+2a11=2(a3+a11)-a=4a7-a=0,
∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4,∴b6b8=b=16.]
3.在等比数列{an}中,若a7=-2,由此数列的前13项之积等于________.
-213 [由于{an}是等比数列,
∴a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=a,
∴a1a2a2…a13=(a)6·a7=a,
而a7=-2.
∴a1a2a3…a13=(-2)13=-213.]
4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=________.
-1 [由题意,知a2-a1==2,b=(-4)×(-1)=4.又因为b2是等比数列中的第三项,所以b2与第一项同号,即b2=-2,所以==-1.]
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
【导学号:91432214】
[解] (1)证明:∵an+Sn=n,①
∴an+1+Sn+1=n+1.②
②-①得an+1-an+an+1=1.
∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1,
∴=,∵首项c1=a1-1,
又a1+a1=1,∴a1=,∴c1=-,
又cn=an-1,∴q=.
- 5 -
∴{cn}是以-为首项,公比为的等比数列.
(2)由(1)可知cn=·n-1=-n,
∴an=cn+1=1-n.
∴当n≥2时,bn=an-an-1=1-n-1-n-1=n-1-n=n.
又b1=a1=,代入上式也符合,∴bn=n.
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