高科数学专题复习课件：9_4　直线与圆、圆与圆的位置关系 72页

§9.4 　直线与圆、圆与圆的位置关系 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1 . 判断 直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1) 几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系． ⇔ 相交 ； ⇔ 相切 ； ⇔ 相离． 知识梳理 d > r d ＝ r d < r 相交 相切 相离 2. 圆与圆的位置关系 方法 位置关系 几何法：圆心距 d 与 r 1 ， r 2 的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 外切 相交 d > r 1 ＋ r 2 无解 一组实数解 两组不同的实数解 d ＝ r 1 ＋ r 2 | r 1 － r 2 |< d < r 1 ＋ r 2 内切 内含 一组实数解 无解 0 ≤ d <| r 1 － r 2 |( r 1 ≠ r 2 ) d ＝ | r 1 － r 2 |( r 1 ≠ r 2 ) 1. 圆的切线方程常用结论 (1) 过圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 上一点 P ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 . (2) 过圆 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 上一点 P ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程为 ( x 0 － a )( x － a ) ＋ ( y 0 － b )( y － b ) ＝ r 2 . (3) 过圆 x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 外一点 M ( x 0 ， y 0 ) 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 . 知识 拓展 2. 圆与圆的位置关系的常用结论 (1) 两圆的位置关系与公切线的条数： ① 内含： 0 条； ② 内切： 1 条； ③ 相交： 2 条； ④ 外切： 3 条； ⑤ 外离： 4 条 . (2) 当两圆相交时，两圆方程 ( x 2 ， y 2 项系数相同 ) 相减便可得公共弦所在直线的方程 . 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切 .( 　　 ) (2) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交 .( 　　 ) (3) 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 .( 　　 ) 思考辨析 × × × (4) 过圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 上一点 P ( x 0 ， y 0 ) 的圆的切线方程是 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 .( 　　 ) (5) 过圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ r 2 外一点 P ( x 0 ， y 0 ) 作圆的两条切线，切点分别为 A ， B ，则 O ， P ， A ， B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2 .( 　　 ) √ √ 1.( 教材改编 ) 圆 ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 6 与直线 2 x ＋ y － 5 ＝ 0 的位置关系 是 A . 相切 B . 相交但直线不过圆心 C. 相交过圆心 D . 相离 考点自测 答案 解析 所以直线与圆相交但不过圆心 . 由题意知圆心 (1 ，－ 2) 到直线 2 x ＋ y － 5 ＝ 0 的距离 2.(2016· 全国甲卷 ) 圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 8 y ＋ 13 ＝ 0 的圆心到直线 ax ＋ y － 1 ＝ 0 的距离为 1 ，则 a 等于 答案 解析 由圆的方程 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 8 y ＋ 13 ＝ 0 ，得圆心坐标为 (1,4) ， 3.(2016· 西安模拟 ) 若直线 x － y ＋ 1 ＝ 0 与圆 ( x － a ) 2 ＋ y 2 ＝ 2 有公共点，则实数 a 的取值范围 是 A.[ － 3 ，－ 1] B .[ － 1,3] C.[ － 3,1] D .( － ∞ ，－ 3] ∪ [1 ，＋ ∞ ) 答案 解析 解得－ 3 ≤ a ≤ 1. 几何画板展示 4.(2016· 黑龙江大庆实验中学检测 ) 已知圆 C 1 ： ( x － 2) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 1 ，圆 C 2 ： ( x － 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 9 ， M ， N 分别是圆 C 1 ， C 2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则 | PM | ＋ | PN | 的最小值 为 答案 解析 圆 C 1 关于 x 轴对称的圆 C 1 ′ 的圆心为 C 1 ′ (2 ，－ 3) ，半径不变，圆 C 2 的圆心为 (3,4) ，半径 r ＝ 3 ， | PM | ＋ | PN | 的最小值为圆 C 1 ′ 和圆 C 2 的圆心距减去两圆的半径， 几何画板展示 5. 已知圆 C 1 ： ( x － a ) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 4 与圆 C 2 ： ( x ＋ b ) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 1 外切， 则 ab 的最大值为 ________. 答案 解析 由两圆外切可得圆心 ( a ，－ 2) ， ( － b ，－ 2) 之间的距离等于两圆半径之和， 即 ( a ＋ b ) 2 ＝ (2 ＋ 1) 2 ，即 9 ＝ a 2 ＋ b 2 ＋ 2 ab ≥ 4 ab ， 所以 ab ≤ ， 当且仅当 a ＝ b 时取等号， 即 ab 的最大值 是 . 题型分类　深度剖析 题型一　直线与圆的位置关系的判断 例 1 　 (1) 已知点 M ( a ， b ) 在圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 外，则直线 ax ＋ by ＝ 1 与圆 O 的位置关系 是 A. 相切 B . 相交 C. 相离 D . 不确定 答案 解析 (2)(2016· 江西吉安月考 ) 圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＋ 4 y ＝ 0 与直线 2 tx － y － 2 － 2 t ＝ 0 ( t ∈ R ) 的位置关系 为 A. 相离 B . 相切 C. 相交 D . 以上都有可能 答案 解析 直线 2 tx － y － 2 － 2 t ＝ 0 恒过点 (1 ，－ 2) ， ∵ 1 2 ＋ ( － 2) 2 － 2 × 1 ＋ 4 × ( － 2) ＝－ 5<0 ， ∴ 点 (1 ，－ 2) 在圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＋ 4 y ＝ 0 内 . 直线 2 tx － y － 2 － 2 t ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＋ 4 y ＝ 0 相交， 故选 C. 思维 升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1) 几何法：利用 d 与 r 的关系 . (2) 代数法：联立方程之后利用 Δ 判断 . (3) 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 . 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 . 由题意可知过 A ， B 两点的直线方程为 ( a ＋ b ) x － y － ab ＝ 0 ， 化简后得 d ＝ 1 ，故直线与圆相切 . 相切 答案 解析 题型二　圆与圆的位置关系 例 2 　 (1)(2016· 山东 ) 已知圆 M ： x 2 ＋ y 2 － 2 ay ＝ 0( a ＞ 0) 截直线 x ＋ y ＝ 0 所得线段的长度是 2 ， 则圆 M 与圆 N ： ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 的位置关系 是 　 A. 内切 B . 相交 C . 外切 D. 相离 答案 解析 ∵ 圆 M ： x 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ a 2 ( a >0) ， ∴ 圆心坐标为 M (0 ， a ) ，半径 r 1 为 a ， ∴ M (0,2) ， r 1 ＝ 2. 又圆 N 的圆心坐标 N (1,1) ，半径 r 2 ＝ 1 ， r 1 ＋ r 2 ＝ 3 ， r 1 － r 2 ＝ 1. ∴ r 1 － r 2 ＜ | MN | ＜ r 1 ＋ r 2 ， ∴ 两圆相交，故选 B. (2)(2017· 重庆 调研 ) 如果圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 ax － 2 ay ＋ 2 a 2 － 4 ＝ 0 与圆 O ： x 2 ＋ y 2 ＝ 4 总相交，那么实数 a 的取值范围是 ___________________. 答案 解析 圆 C 的标准方程为 ( x － a ) 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ 4 ，圆心坐标为 ( a ， a ) ，半径为 2. 思维 升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1) 确定两圆的圆心坐标和半径长； (2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d ，求 r 1 ＋ r 2 ， | r 1 － r 2 | ； (3) 比较 d ， r 1 ＋ r 2 ， | r 1 － r 2 | 的大小，写出结论 . 跟踪训练 2 　已知两圆 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 6 y － 1 ＝ 0 和 x 2 ＋ y 2 － 10 x － 12 y ＋ m ＝ 0. (1) m 取何值时两圆外切； (2) m 取何值时两圆内切； (3) 求 m ＝ 45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 . 解答 两圆的标准方程分别为 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 11 ， ( x － 5) 2 ＋ ( y － 6) 2 ＝ 61 － m ， (3) 两圆的公共弦所在直线方程为 ( x 2 ＋ y 2 － 2 x － 6 y － 1) － ( x 2 ＋ y 2 － 10 x － 12 y ＋ 45) ＝ 0 ， (1) 当两圆外切时， 即 4 x ＋ 3 y － 23 ＝ 0 ，所以公共弦长为 题型三　直线与圆的综合问题 命题点 1 　求弦长问题 例 3 　 (2016· 全国丙卷 ) 已知直线 l ： mx ＋ y ＋ 3 m － ＝ 0 与圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 12 交于 A ， B 两点，过 A ， B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C ， D 两点，若 | AB | ＝ 2 ， 则 | CD | ＝ ________. 答案 解析 4 设 AB 的中点为 M ， 命题点 2 　直线与圆相交求参数范围 例 4 　 (2015· 课标全国 Ⅰ ) 已知过点 A (0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C ： ( x － 2) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 1 交于 M ， N 两点 . (1) 求 k 的取值范围； 解答 由题设，可知直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 1 ， 解答 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ). 将 y ＝ kx ＋ 1 代入方程 ( x － 2) 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 1 ，整理得 (1 ＋ k 2 ) x 2 － 4(1 ＋ k ) x ＋ 7 ＝ 0. ＝ (1 ＋ k 2 ) x 1 x 2 ＋ k ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 1 所以 l 的方程为 y ＝ x ＋ 1. 故圆心 C 在 l 上，所以 | MN | ＝ 2. 命题点 3 　直线与圆相切的问题 例 5 　已知圆 C ： ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 10 ，求满足下列条件的圆的切线方程 . (1) 与直线 l 1 ： x ＋ y － 4 ＝ 0 平行； 解答 设切线方程为 x ＋ y ＋ b ＝ 0 ， (2) 与直线 l 2 ： x － 2 y ＋ 4 ＝ 0 垂直； 解答 设切线方程为 2 x ＋ y ＋ m ＝ 0 ， (3) 过切点 A (4 ，－ 1). 解答 ∴ 过切点 A (4 ，－ 1) 的切线斜率为－ 3 ， ∴ 过切点 A (4 ，－ 1) 的切线方程为 y ＋ 1 ＝－ 3( x － 4) ， 即 3 x ＋ y － 11 ＝ 0. 思维 升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略 (1) 处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形 . (2) 圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题 . 跟踪训练 3 　 (1)(2015· 课标全国 Ⅱ ) 过三点 A (1,3) ， B (4,2) ， C (1 ，－ 7) 的圆交 y 轴于 M 、 N 两点，则 | MN | 等于 答案 解析 故过三点 A 、 B 、 C 的圆以 AC 为直径， 得其方程为 ( x － 1) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 ＝ 25 ， 令 x ＝ 0 ，得 ( y ＋ 2) 2 ＝ 24 ， 答案 解析 依题意得，圆心到直线的距离等于半径， 高考 中与圆交汇问题的求解 高频 小考点 7 与 圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点 . 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面 . 解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质 . 考点分析 典例 1 　 (1)(2015· 湖南 ) 已知点 A ， B ， C 在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上运动，且 AB ⊥ BC . 若点 P 的坐标为 (2,0) ， 则 的 最大值 为 A.6 B.7 C.8 D.9 答案 解析 一、与圆有关的最值问题 ∵ A ， B ， C 在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上，且 AB ⊥ BC ， ∴ AC 为圆的直径， 设 B ( x ， y ) ，则 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 且 x ∈ [ － 1,1] ， 答案 解析 二、直线与圆的综合问题 典例 2 　 (1)(2015· 重庆 ) 已知直线 l ： x ＋ ay － 1 ＝ 0( a ∈ R ) 是圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 4 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 的对称轴，过点 A ( － 4 ， a ) 作圆 C 的一条切线，切点为 B ，则 | AB | 等于 答案 解析 由于直线 x ＋ ay － 1 ＝ 0 是圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 4 x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 的对称轴 ， ∴ 圆心 C (2,1) 在直线 x ＋ ay － 1 ＝ 0 上， ∴ 2 ＋ a － 1 ＝ 0 ， ∴ a ＝－ 1 ， ∴ A ( － 4 ，－ 1). ∴ | AC | 2 ＝ 36 ＋ 4 ＝ 40. 又 r ＝ 2 ， ∴ | AB | 2 ＝ 40 － 4 ＝ 36. ∴ | AB | ＝ 6. (2) 在平面直角坐标系中， A ， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2 x ＋ y － 4 ＝ 0 相切，则圆 C 面积的最小值为 答案 解析 ∵∠ AOB ＝ 90° ， ∴ 点 O 在圆 C 上 . 设直线 2 x ＋ y － 4 ＝ 0 与圆 C 相切于点 D ， 则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2 x ＋ y － 4 ＝ 0 的距离 ， ∴ 点 C 在以 O 为焦点，以直线 2 x ＋ y － 4 ＝ 0 为准线的抛物线上， ∴ 当且仅当 O ， C ， D 共线时，圆的直径最小为 | OD |. 课时作业 1.( 2017· 广州调研 ) 若点 A (1,0) 和点 B (4,0) 到直线 l 的距离依次为 1 和 2 ，则这样的直线 有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 如图，分别以 A ， B 为圆心， 1,2 为半径作圆 . 依题意得，直线 l 是圆 A 的切线， A 到 l 的距离为 1 ，直线 l 也是圆 B 的切线， B 到 l 的距离为 2 ，所以直线 l 是两圆的公切线，共 3 条 (2 条外公切线， 1 条内公切线 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 若圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 与圆 C 2 ： x 2 ＋ y 2 － 6 x － 8 y ＋ m ＝ 0 外切，则 m 等于 A.21 B.19 C.9 D . － 11 √ 答案 解析 圆 C 2 的标准方程为 ( x － 3) 2 ＋ ( y － 4) 2 ＝ 25 － m . 又圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 ＝ 1 ， ∴ | C 1 C 2 | ＝ 5. 解得 m ＝ 9. 3.(2016· 南昌二模 ) 若圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 － 2 ax ＋ a 2 － 9 ＝ 0( a ∈ R ) 与圆 C 2 ： x 2 ＋ y 2 ＋ 2 by ＋ b 2 － 1 ＝ 0( b ∈ R ) 内切，则 ab 的最大值为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 － 2 ax ＋ a 2 － 9 ＝ 0( a ∈ R ). 化为 ( x － a ) 2 ＋ y 2 ＝ 9 ，圆心坐标为 ( a, 0) ，半径为 3. 圆 C 2 ： x 2 ＋ y 2 ＋ 2 by ＋ b 2 － 1 ＝ 0( b ∈ R ) ，化为 x 2 ＋ ( y ＋ b ) 2 ＝ 1 ，圆心坐标为 (0 ，－ b ) ，半径为 1 ， ∵ 圆 C 1 ： x 2 ＋ y 2 － 2 ax ＋ a 2 － 9 ＝ 0( a ∈ R ) 与圆 C 2 ： x 2 ＋ y 2 ＋ 2 by ＋ b 2 － 1 ＝ 0 ( b ∈ R ) 内切， ∴ ab 的最大值为 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(2016· 泰安模拟 ) 过点 P (3,1) 作圆 C ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 的两条切线，切点分别为 A ， B ，则直线 AB 的方程 为 A.2 x ＋ y － 3 ＝ 0 B.2 x － y － 3 ＝ 0 C.4 x － y － 3 ＝ 0 D.4 x ＋ y － 3 ＝ 0 √ 答案 解析 如图所示：由题意知： AB ⊥ PC ， k PC ＝ ， ∴ k AB ＝－ 2 ， ∴ 直线 AB 的方程为 y － 1 ＝－ 2( x － 1) ，即 2 x ＋ y － 3 ＝ 0. 5. 若直线 l ： y ＝ kx ＋ 1( k <0) 与圆 C ： x 2 ＋ 4 x ＋ y 2 － 2 y ＋ 3 ＝ 0 相切，则直线 l 与圆 D ： ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 3 的位置关系 是 A. 相交 B . 相切 C. 相离 D . 不确定 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 已知 A ( － 2,0) ， B (0,2) ，实数 k 是常数， M ， N 是圆 x 2 ＋ y 2 ＋ kx ＝ 0 上两个不同点， P 是圆 x 2 ＋ y 2 ＋ kx ＝ 0 上的动点，如果 M ， N 关于直线 x － y － 1 ＝ 0 对称，那么 △ PAB 面积的最大值 是 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 依 题意得圆 x 2 ＋ y 2 ＋ kx ＝ 0 的圆心 ( － ， 0) 位于直线 x － y － 1 ＝ 0 上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 于是有 － － 1 ＝ 0 ，即 k ＝－ 2 ，因此圆心坐标是 (1,0) ，半径是 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.(2016· 全国乙卷 ) 设直线 y ＝ x ＋ 2 a 与圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 ay － 2 ＝ 0 相交于 A ， B 两点，若 | AB | ＝ 2 ， 则圆 C 的面积为 _____. 答案 解析 4π 圆 C ： x 2 ＋ y 2 － 2 ay － 2 ＝ 0 ，即 C ： x 2 ＋ ( y － a ) 2 ＝ a 2 ＋ 2 ，圆心为 C (0 ， a ) ， 解得 a 2 ＝ 2 ，所以圆的面积为 π( a 2 ＋ 2) ＝ 4π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.(2016· 天津四校联考 ) 过点 (1 ， ) 的直线 l 将圆 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4 分成两 段 弧 ，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 l 的斜率 k ＝ _____. 答案 解析 当劣弧所对的圆心角最小时，圆心 (2,0) 与点 (1 ， ) 的连线垂直于直线 l . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由题意，圆心为 O (0,0) ，半径为 1. 如图所示， ∴△ POA 为直角三角形，其中 | OA | ＝ 1 ， | AP | ＝ ， 则 | OP | ＝ 2 ， ∴∠ OPA ＝ 30° ， ∴∠ APB ＝ 60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x 2 ＋ y 2 － 8 x ＋ 15 ＝ 0 ，若直线 y ＝ kx － 2 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 C 有 公共 点，则 k 的最大值是 ________. 答案 解析 圆 C 的标准方程为 ( x － 4) 2 ＋ y 2 ＝ 1 ，圆心为 (4,0). 由题意知 (4,0) 到 kx － y － 2 ＝ 0 的距离应不大于 2 ， 11. 已知圆 C ： x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x － 4 y ＋ 1 ＝ 0 ， O 为坐标原点，动点 P 在圆 C 外，过 P 作圆 C 的切线，设切点为 M . (1) 若点 P 运动到 (1,3) 处，求此时切线 l 的方程 ； (2) 求满足条件 | PM | ＝ | PO | 的点 P 的轨迹方程 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 把圆 C 的方程化为标准方程为 ( x ＋ 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 ＝ 4 ， ∴ 圆心为 C ( － 1,2) ，半径 r ＝ 2. (1) 当 l 的斜率不存在时，此时 l 的方程为 x ＝ 1 ， C 到 l 的距离 d ＝ 2 ＝ r ，满足条件 . 当 l 的斜率存在时，设斜率为 k ，得 l 的方程为 y － 3 ＝ k ( x － 1) ， 即 kx － y ＋ 3 － k ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ l 的方程为 y － 3 ＝－ ( x － 1) ， 即 3 x ＋ 4 y － 15 ＝ 0. 综上，满足条件的切线 l 的方程为 x ＝ 1 或 3 x ＋ 4 y － 15 ＝ 0. (2) 设 P ( x ， y ) ，则 | PM | 2 ＝ | PC | 2 － | MC | 2 ＝ ( x ＋ 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 － 4 ， | PO | 2 ＝ x 2 ＋ y 2 ， ∵ | PM | ＝ | PO | ， ∴ ( x ＋ 1) 2 ＋ ( y － 2) 2 － 4 ＝ x 2 ＋ y 2 ， 整理，得 2 x － 4 y ＋ 1 ＝ 0 ， ∴ 点 P 的轨迹方程为 2 x － 4 y ＋ 1 ＝ 0. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 表示以原点 O 为圆心，半径 等于 a 的 半圆 ( 位于横轴或横轴以上的部分 ). 表示以 O ′ (1 ， ) 为圆心，半径等于 a 的一个圆 . 再由 M ∩ N ≠ ∅ ，可得半圆和圆有交点 ，故 半圆和圆相交或相切 . 当半圆和圆相外切时，由 | OO ′ | ＝ 2 ＝ a ＋ a ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13.(2016· 湖南六校联考 ) 已知直线 l ： 4 x ＋ 3 y ＋ 10 ＝ 0 ，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方 . (1) 求圆 C 的方程； 解答 所以圆 C 的方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 过点 M (1,0) 的直线与圆 C 交于 A ， B 两点 ( A 在 x 轴上方 ) ，问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N ，使得 x 轴平分 ∠ ANB ？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解答 当直线 AB ⊥ x 轴时， x 轴平分 ∠ ANB . 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ， N ( t, 0) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 若 x 轴平分 ∠ ANB ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ⇒ 2 x 1 x 2 － ( t ＋ 1)( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 2 t ＝ 0 所以当点 N 为 (4,0) 时，能使得 ∠ ANM ＝ ∠ BNM 总成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13