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- 2021-06-20 发布
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2017 年漳州市普通高中毕业班质量检查
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页,满分
150 分。
考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条
形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦
干净后,再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用 0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试
题卷上作答,答案无效。
3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并交回。
第 Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合 1 0 , 2, 1,0,1A x x B ,则 ( )R A Bð =
(A) 2, 1 (B) 2 (C) 1,0,1 (D) 0,1
(2)复数 1
2
iz i
的虚部为
(A) 3
5
(B) 3
5
(C) 1
5
(D) 1
5
(3)在数列{ }na 中, 1 2a , 1 2n na a , nS 为{ }na 的前 n 项和,则 10S
(A)90 (B)100 (C)110 (D)130
(4)五张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,5,从这五张卡片中随机抽取 2 张,则取出的两张卡片上的数
字之和为奇数的概率等于
(A) 1
3
(B) 1
2
(C) 2
5
(D) 3
5
(5)为了得到函数 cos2y x 的图象,只要把函数 sin(2 )3y x 的图象上所有的点
(A)向右平行移动 5
12
个单位长度 (B)向左平行移动 5
12
个单位长度
(C)向右平行移动 5
6
个单位长度 (D)向左平行移动 5
6
个单位长度
(6)如图,网格纸的小正方形的边长是1,粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的
三视图,则该几何体的体积为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
(7)已知函数
1 | |
2
2 , 1( )
( 2) , 1
x xf x
x x
,若 1( ) 4f m ,则 (1 )f m
(A) 1 (B) 4 (C) 9 (D) 16
(8)如图为中国传统智力玩具鲁班锁,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部
的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称,
六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90 榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱
柱的底面正方形边长为1,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),
若球形容器表面积的最小值为 30 ,则正四棱柱体的高为
(A) 2 6 (B) 2 7 (C) 4 2 (D)5
(9)函数 1 cos sinf x x x 在 , 上的图象大致是
(A) (B)
(C) (D)
(10)一个小球从 100 米高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落
下.执行下面的程序框图,则输出的 S 表示的是
(A) 小球第 10 次着地时向下的运动共经过的路程
(B) 小球第 11 次着地时向下的运动共经过的路程
(C) 小球第 10 次着地时一共经过的路程
(D) 小球第 11 次着地时一共经过的路程
(11)若 P 为可行域
1,
2,
2 2 0,
x
y
x y
内的一点,过 P 的直线l 与圆 2 2: 7O x y 交于 ,A B 两点,则 AB
的最小值为
(A) 2 3 (B) 3 (C) 2 (D) 2 2
(12)若不等式 2ln 2 0x a x x 对于任意的 [ 1, )x 恒成立,则实数 a 的取值范围是
(A) 0, (B) 0,1 (C) 0,e (D) 1,0
第Ⅱ卷
注意事项:
第Ⅱ卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~
第 23 题为选考题,考生根据要求做答.
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
(13)设向量 ( , 1), (1, 2)AB x x CD ,且 AB
∥CD
,则 x .
(14)已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的离心率等于 2,其两条渐近线与抛物线 2 2y px ( 0)p 的
准线分别交于 ,A B 两点,O 为坐标原点, 3
4AOBS ,则 p = .
(15)甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名,但具体名次未知.3 人作出如下预测:
甲说:我不是第三名;
乙说:我是第三名;
丙说:我不是第一名.
若甲、乙、丙 3 人的预测结果有且只有一个正确,由此判断获得第一名的是 .
(16)设 na 是由正数组成的等比数列, nS 是{ }na 的前 n 项和.已知 2 4 316, 28a a S ,则 1 2 na a a 最
大时, n 的值为_____.
三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分 12 分)
ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ,其中b c ,且 cos cosb B c C ,延长线段 BC 到点 D ,
使得 4 4BC CD , 30CAD ,
(Ⅰ)求证: BAC 是直角;
(Ⅱ)求 tan D 的值。
(18)(本小题满分 12 分)
如图 1,四边形 ABCD 是菱形,且 060A , 2AB ,E 为 AB 的中点,将四边形 EBCD 沿 DE
折起至 1 1EDC B ,如图 2.
(Ⅰ) 求证:平面 ADE 平面 1AEB ;
(Ⅱ) 若二面角的大小为
3
,求三棱锥 1 1C AB D 的体积.
(19)(本小题满分 12 分)
漳州水仙鳞茎硕大,箭多花繁,色美香郁,素雅娟丽,有“天下水仙数漳州”之美誉.现某水仙花雕
刻师受雇每天雕刻 250 粒水仙花,雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元,如果雕刻师当天超额完成任务,则超
出的部分每粒赚1.7 元;如果当天未能按量完成任务,则按实际完成的雕刻量领取当天工资.
(I)求雕刻师当天收入(单位:元)关于雕刻量 n (单位:粒, nN )的函数解析式 ( )f n ;
(Ⅱ)该雕刻师记录了过去 10 天每天的雕刻量 n (单位:粒),整理得下表:
雕刻量 n 210 230 250 270 300
频数 1 2 3 3 1
以 10 天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率.
(ⅰ)求该雕刻师这 10 天的平均收入;
(ⅱ)求该雕刻师当天收入不低于 300 元的概率.
A
E
D
B
C
图 1
图 2
A
E
D
1C
1B
(20)(本小题满分 12 分)
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左,右焦点分别为 1 2,F F ,过 1F 任作一条与两坐标轴都不垂直的
直线,与C 交于 ,A B 两点,且 2ABF 的周长为 8.当直线 AB 的斜率为 3
4
时, 2AF 与 x 轴垂直.
(I)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)在 x 轴上是否存在定点 M ,总能使 1MF 平分 AMB ?说明理由.
(21)(本小题满分 12 分)
已知函数 ( ) lnxf x ae b x ,曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为
1( 1) 1y xe
.
(Ⅰ)求 ,a b ;
(Ⅱ)证明: ( ) 0f x .
请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.
(22)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中,已知点 P (2,0) ,曲线C 的参数方程为 24 ,
4
x t
y t
( t 为参数).以坐标原点为极
点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和极坐标方程;
(Ⅱ)过点 P 且倾斜角为 π
4
的直线l 交曲线 C 于 BA, 两点,求 AB .
(23)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知函数 ( )f x x a x a , aR .
(Ⅰ)若 1a ,求函数 ( )f x 的最小值;
(Ⅱ)若不等式 ( ) 5f x 的解集为 A ,且 2 A ,求 a 的取值范围.
2017 年漳州市普通高中毕业班质量检查
文科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内
容比照评分标准制定相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,
可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答
有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分.
(1)A (2)C (3)C (4)D (5)B (6)B
(7)B (8)D (9)A (10)C (11)D (12)B
二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 20 分.
(13) 1
3
(14) 1p (15)乙 (16)4 或 5
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(17)解:(Ⅰ)因为 cos cosb B c C
由正弦定理,得 sin cos sin cosB B C C , ……………………2 分
所以sin 2 sin 2B C ,又b c
所以 2 2B C …………………………………………4 分
所以
2B C ,
所以 090A , ……………………………6 分
(Ⅱ)设 , 1ADC CD ,则 4BC
在△ ABC 中,因为 090A ,
030ACB
所以 0cos( 30 ) AC
BC
,
所以 04cos( 30 )AC …………8 分
在 ADC 中,
sin sin
AC CD
CAD
,即 1 21sin
2
AC
,
所以 2sinAC , …………………………………………………10 分
所以 04cos( 30 ) 2sin ,
即 3 12 cos sin ) sin2 2
( ,整理得 3 cos 2sin
O
所以 3tan 2
…………………………………12 分
(18)(Ⅰ)证明:由已知条件得, DE AB , ………………………………………1 分
折起后, 1,AE DE B E DE ,且 1AE B E E ,
所以 DE 平面 1AB E , DE 平面 ADE , ……………………………4 分
所以平面 ADE 平面 1AEB . ……………………………………………5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 1AEB 为二面角 1A DE C 的平面角,所以 1 3AEB .…6 分
2AB ,所以 1 1 1AE B E AB .取 1B E 的中点O ,连接 AO ,
所以 1AO B E ,又 DE 平面 1AB E , AO 平面 1AB E ,
所以 DE AO . ………………………8 分
因为 1B E DE E ,
所以 AO 平面 1 1B EDC ,且 3
2AO .
由条件得 1 1B DC 是边长为 2 的正三角形,
所以
1 1
1 32 2 32 2B C DS .
…………………………………………10 分
所以
1 1 1 1 1 1
1 1 3 133 3 2 2C AB D A B DC B DCV V S AO . ……………12 分
(19)解:(I)当 250n 时, ( ) 250 1.2 1.7 ( 250) 1.7 125f n n n .……2 分
当 250n 时, ( ) 1.2f n n ; ………………………………………………4 分
所以 1.7 125, 250,( ) ( )1.2 , 250.
n nf n n Nn n
.…………………………………6 分
(Ⅱ)
(ⅰ)由(Ⅰ)得 (210) 252, (230) 276,f f (250) 300, (270) 334, (300) 385f f f ,
………………………………………………………8 分
所以该雕刻师这 10 天的平均收入为
252 1 276 2 300 3 334 3 300 1 309.110
(元). ……10 分
(ⅱ)雕刻师当天收入不低于 300 元的雕刻量有 250,270 和 300,概率分别是 0.3,0.3和 0.1,所
以该雕刻师当天收入不低于 300 元的概率为 0.3 0.3 0.1 0.7 . ………12 分
(20)解:(Ⅰ)因为 2 2 8AB AF BF ,即 1 1 2 2 8AF BF AF BF ,
又 1 2 1 2 2AF AF BF BF a ,所以 4 8a , 2a . ………2 分
当直线 AB 的斜率为 3
4
时, 2AF 与 x 轴垂直,
所以 2
1 2
| | 3
| | 4
AF
F F
,
由
2 2
2 2 1c y
a b
,且 0y ,
解得
2by a
,即
2
( , )bA c a
,又 2a ,故
2 3
4 4
b
c
.
………………………………………………………………………………4 分
所以 2 3b c ,由 2 2 2c a b ,得 1c , 3b .
所以椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y . …………………………………………6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得, 1( 1,0)F ,设直线 AB 的方程为 1( 0)x my m , ,A B 两点的坐标分别为
1 1 2 2( , ),( , )x y x y . …………………………………………7 分
联立 2 2
1,
14 3
x my
x y
,消去 x ,整理得 2 2(3 4) 6 9 0m y my ,
所以 1 2 1 22 2
6 9,3 4 3 4
my y y ym m
. ………………………………8 分
设 ( ,0)M s ,由已知 1MF 平分 AMB ,得 0AM BMk k ,
所以 1 2
1 2
0y y
x s x s
,即 1 2 2 1( ) ( ) 0y x s y x s ,
即 1 2 2 1 1 2( 1) ( 1) ( ) 0y my y my s y y ,
所以 1 2 1 22 (1 )( ) 0my y s y y . ……………………………………10 分
即 2 2
9 62 (1 ) 03 4 3 4
mm sm m
,所以1 3s ,即 4s ,
所以 ( 4,0)M 为所求. ……………………………………………………12 分
21.解:(Ⅰ)函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) .
( ) x bf x ae x
,由题意得 1 1(1) , (1) 1f fe e
, …………………3 分
所以
1
1 1
ae e
ae b e
,故 2
1 , 1a be
. …………………………………5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 2
1( ) lnxf x e xe
.
因为 2 1( ) xf x e x
在 (0, ) 上单调递增, …………………………6 分
又 (1) 0, (2) 0f f ,
所以 ( ) 0f x 在 (0, ) 上有唯一实根 0x ,且 0 (1,2)x . ………………8 分
当 0(0, )x x 时, ( ) 0f x ;当 0( , )x x 时, ( ) 0f x ,
从而当 0x x , ( )f x 取极小值,也是最小值.
由 0( ) 0f x ,得 0 2
0
1xe x
,则 0 02 lnx x . ……………………10 分
故 0 2
0 0 0 0
0 0
1 1( ) ( ) ln 2 2 2 0xf x f x e x x xx x
,
所以 ( ) 0f x . ……………………………………………………………12 分
(22)选修 4—4:坐标系与参数方程
解: (Ⅰ)因为 24 ,
4 ,
x t
y t
消t 得曲线 C 的普通方程为 2 4y x .·····························2 分
cos , sinx y ,∴ 2 2sin 4 cos ,
即曲线C 的极坐标方程为 2sin 4cos .············································5 分
(Ⅱ)因为直线 l 过点 P (2,0) 且倾斜角为
4
,
所以直线 l 的标准参数方程为
22 ,2 (
2
2
x s
s
y s
为参数),···························· 7 分
将其代入 2 4y x ,整理可得 2 4 2 16 0s s ,······································ 8 分
2( 4 2) 4 16 0 ,
设 ,A B 对应的参数分别为 1 2,s s 则 1 2 1 24 2, 16s s s s ,
所以 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 4 (4 2) 4 16 4 6AB s s s s s s .·········· 10 分
(23)解:(Ⅰ)因为 1a ,所以 ( ) 1 1f x x x 1 1x x ≥ 2 ,
当仅当 ( 1)( 1) 0x x ≤ 时,即 1 1x ≤ ≤ 时, ( )f x 的最小值为 2.··············· 5 分
(Ⅱ)因为 2 A ,所以 (2) 5f ,即 2 2 5a a ,································7 分
当 2a 时,不等式可化为 2 2 5a a ,解得 5
2a ,所以 5
2a ;
当 2 2a ≤ ≤ 时,不等式可化为 2 2 5a a ,此时无解;
当 2a 时,不等式可化为 2 2 5a a ,解得 5
2a ,所以 5
2a ;
综上, a 的取值范围为 5 5, ,2 2
.······································· 10 分
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