2020年高中数学第一章常用逻辑用语1 4页

‎1.1.2‎‎-1.1.3 四种命题间的相互关系 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组　基础巩固]‎ ‎1．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是(　　)‎ A．能被3整除的整数，一定能被6整除 B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D．不能被6整除的整数，能被3整除 解析：即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．‎ 答案：B ‎2．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B全是锐角”的否命题为(　　)‎ A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B全不是锐角 B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不全是锐角 C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B中必有一个钝角 D．以上均不对 解析：“全是”的否定是“不全是”，故选B.‎ 答案：B ‎3．命题“若x＝3，则x2－9x＋18＝‎0”‎，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：∵x2－9x＋18＝0，∴(x－3)(x－6)＝0.∴x＝3或x＝6.∴逆命题为假，从而否命题为假．‎ 又原命题为真，则逆否命题为真．‎ 答案：B ‎4．下列说法中错误的个数是(　　)‎ ‎①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”‎ ‎②命题“若x>1，则x－1>‎0”‎的否命题是“若x≤1，则x－1≤‎‎0”‎ ‎③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”‎ ‎④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x－4＝0的根”‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ 解析：①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．‎ 4‎ 答案：C ‎5．命题“若a、b都是奇数，则ab必为奇数”的等价命题是(　　)‎ A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数 B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数 C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数 D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数 解析：等价命题即为逆否命题，故选B.‎ 答案：B ‎6．命题“若x≠1，则x2－1≠‎0”‎的真假性为________．‎ 解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝‎1”‎，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．‎ 答案：假命题 ‎7．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有__________个．‎ 解析：原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．‎ 答案：2‎ ‎8．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜‎2”‎的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．‎ 解析：逆命题为“若1＜x＜2，则m－1＜x＜m＋‎1”‎，是真命题，‎ ‎∴(1,2)⊆(m－1，m＋1)，‎ 即∴1≤m≤2.‎ 答案：[1,2]‎ ‎9．分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．‎ ‎(1)若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac；‎ ‎(2)函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数时，loga2<0.‎ 解析：(1)逆命题是：若b2＝ac，则a，b，c成等比数列，假命题；‎ 否命题是：若实数a，b，c不成等比数列，则b2≠ac，假命题；‎ 逆否命题是：若实数a，b，c满足b2≠ac，则a，b，c不成等比数列，真命题．‎ ‎(2)逆命题：若loga2<0，则函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数，是真命题；‎ 否命题：若函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，则loga2≥0，是真命题；‎ 逆否命题：若loga2≥0，则函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上不是减函数，是真命题．‎ 4‎ ‎10．写出命题“若a≥－，则方程x2＋x－a＝0有实根”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．‎ 解析：逆命题：若方程x2＋x－a＝0有实根，则a≥－，否命题：若a<－，则方程x 2＋x－a＝0无实根，逆否命题：若方程x2＋x－a＝0无实根，则a<－.由Δ＝1＋‎4a≥0可得a≥－，所以可判断其原命题、逆命题、否命题和逆否命题都是真命题．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是(　　)‎ A．逆命题为“单调函数不是周期函数”‎ B．否命题为“周期函数是单调函数”‎ C．逆否命题为“单调函数是周期函数”‎ D．以上三者都不对 解析：其逆命题、否命题、逆否命题的表述都不正确．‎ 答案：D ‎2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)‎ A．3 B．‎2 ‎‎ C．1 D．0‎ 解析：原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限时，该函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.‎ 答案：C ‎3．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝‎0”‎的等价命题为__________________，是________命题(填“真”或“假”)．‎ 解析：等价命题即为原命题的逆否命题．‎ 由于原命题是真命题，∴逆否命题也是真命题．‎ 答案：已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0　真 ‎4．设有两个命题：‎ ‎①关于x的不等式mx2＋1≥0的解集是R；‎ ‎②函数f(x)＝logmx是减函数(m＞0且m≠1)．‎ 如果这两个命题中有且只有一个真命题，则m的取值范围是________．‎ 解析：对①当m＝0时，1≥0，mx2＋1≥0的解集是R，‎ 当m≠0时，∴m＞0，‎ ‎∴①为真命题时，m≥0.‎ 4‎ 对②，∵f(x)＝logmx是减函数，‎ ‎∴0＜m＜1，而②为真命题时，0＜m＜1.‎ 当①真②假时，有即m＞1；‎ 当①假②真时，有即m∈∅.‎ 答案：m＞1‎ ‎5．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－‎3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．‎ 解析：∵m>0，∴‎12m>0，‎ ‎∴‎12m＋4>0.‎ ‎∴方程x2＋2x－‎3m＝0的判别式Δ＝‎12m＋4>0.‎ ‎∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－‎3m＝0有实数根”为真．‎ 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－‎3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．‎ ‎6.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．‎ ‎(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．‎ 解析：(1)如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O，‎ 则O∈c，‎ ‎∵PO⊥π，a⊂π，∴PO⊥a，‎ 又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b＝P，‎ ‎∴a⊥平面PAO，又c⊂平面PAO，‎ ‎∴a⊥c.‎ ‎(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题.‎ 4‎