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- 2021-06-20 发布
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第1课时 等比数列的概念及通项公式
课后篇巩固探究
A组
1.若a,b,c成等差数列,则一定( )
A.是等差数列
B.是等比数列
C.既是等差数列也是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.
答案B
2.在等比数列{an}中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于( )
A.2 B.-2 C.±2 D.
解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.
答案B
3.在等比数列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为( )
A.16 B.27 C.36 D.81
解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为an>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.
答案B
4.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=( )
A.-4 B.-6 C.-8 D.-10
解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,
∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),
解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.
答案B
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( )
A.2n-1 B. C. D.
解析由Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,.又S1=a1=1,所以Sn=,故选B.
5
答案B
6.已知等比数列{an},a3=3,a10=384,则该数列的通项an= .
解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.
∴an=a3qn-3=3·2n-3.
答案3·2n-3
7.在数列{an}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2an+1-an=0,则an= .
解析由2an+1-an=0,得,所以数列{an}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以an=3·.
答案3·
8.在等比数列{an}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是 .
解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.
答案±4
9.导学号04994040已知数列{an}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2 bn=an.
(1)求证:数列{bn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.
(1)证明由log2 bn=an,得bn=.
因为数列{an}是等差数列,不妨设公差为d,
则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{bn}是等比数列.
(2)解由已知,得
解得
于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,
所以数列{bn}的通项公式bn=·16n-1.
10.已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+ (n∈N*).
(1)求证:是等比数列;
5
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明∵an+1=an+,∴an+1-an+.∴.
∴是首项为,公比为的等比数列.
(2)解∵an-,
∴an=.
B组
1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为( )
A.16 B.15 C.14 D.12
解析依题意,得解得
答案D
2.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,则m等于( )
A.9 B.10 C.11 D.12
解析∵am=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,
∴m=11.
答案C
3.已知等比数列{an},各项都是正数,且a1, a3,2a2成等差数列,则=( )
A.3+2 B.1- C.1+ D.3-2
解析由a1, a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{an}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.
答案A
4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则= .
5
解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.
答案-1
5.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q= .
解析依题意,得an=an+1+an+2,所以an=anq+anq2.因为an>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).
答案
6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5= .
解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.
答案32
7.已知数列{an}满足Sn=4an-1(n∈N*),求证:数列{an}是等比数列,并求出其通项公式.
解依题意,得当n≥2时,Sn-1=4an-1-1,所以an=Sn-Sn-1=(4an-1)-(4an-1-1),
即3an=4an-1,所以,故数列{an}是公比为的等比数列.
因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{an}的通项公式是an=.
8.导学号04994041已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1,
(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式;
(2)设bn=an+1+2an,求证:数列{bn}是等比数列.
证明(1)∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1,Sn+1-Sn=an+1=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an,
∴an+1=2an.
由已知及上式可知an≠0.
∴由=2知{an}是等比数列.
5
由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴an=-2n-1.
(2)由(1)知,an=-2n-1,
∴bn=an+1+2an=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.
∴数列{bn}是等比数列.
5
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