高考数学专题复习练习第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算 6页

第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算 一、选择题 ‎1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b(　　)．‎ A．平行于x轴 B．平行于第一、三象限的角平分线 C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线 解析　由题意得a＋b＝(x－x,1＋x2)＝(0,1＋x2)，易知a＋b平行于y轴．‎ 答案　C ‎2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则‎2a＋3b＝(　　)．‎ A．(－2，－4) B．(－3，－6)‎ C．(－4，－8) D．(－5，－10)‎ 解析　由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么‎2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．‎ 答案　C ‎3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量‎4a,4b－‎2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为 ‎(　　)．‎ A．(2,6) B．(－2,6)‎ C．(2，－6) D．(－2，－6)‎ 解析　设d＝(x，y)，由题意知‎4a＝(4，－12)，4b－‎2c＝(－6,20)，2(a－c)＝(4，－2)，又‎4a＋4b－‎2c＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)．故选D.‎ 答案　D ‎4． 已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝ (　　)．‎ A. B. C．1 D．2‎ 解析　依题意得a＋λb＝(1＋λ，2)，‎ 由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝.‎ 答案　B ‎5. 若向量=（1,2），=（3,4），则=( )‎ A （4,6） B (-4，-6) C (-2，-2) D (2,2)‎ 解析 因为=+=,所以选A.‎ 答案 A ‎6．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为 (　　)．‎ A．(2,0) B．(0，－2)‎ C．(－2,0) D．(0,2)‎ 解析　∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，‎ 即a＝－2p＋2q＝(2,4)，‎ 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，‎ ‎∴即 ‎∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．‎ 答案　D 二、填空题 ‎7．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．‎ 解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，‎ 即ab－‎2a－2b＝0，所以＋＝.‎ 答案　 ‎8．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．‎ 解析　设a＝λb(λ＜0)，则|a|＝|λ||b|，‎ ‎∴|λ|＝，‎ 又|b|＝，|a|＝2.‎ ‎∴|λ|＝2，∴λ＝－2.‎ ‎∴a＝λb＝－2(2,1)＝(－4，－2)．‎ 答案　(－4，－2)‎ ‎9．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．‎ 解析　＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)．‎ ‎∵A，B，C三点共线，∴∥.‎ ‎∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴‎2a＋b＝1.‎ ‎∴＋＝(‎2a＋b)‎ ‎＝4＋＋≥4＋2 ＝8.‎ 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号．‎ ‎∴＋的最小值是8.‎ 答案　8‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．‎ 解析　由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有＝，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)．‎ 答案　(0，－2)‎ 三、解答题 ‎11．已知点A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求点C，D的坐标和 的坐标．‎ 解析　设点C，D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，‎ 由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，‎ ＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．‎ 因为＝，＝－，所以有 和 解得和 所以点C，D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而＝(－2，－4)．‎ ‎12．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？‎ 解　法一　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，‎ a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，‎ 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，‎ 解得k＝λ＝－，‎ ‎∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，‎ 这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．‎ ‎∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．‎ 法二　由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，‎ a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行 ‎∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－，‎ 此时ka＋b＝＝－(a－3b)．‎ ‎∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)，‎ ‎(1)若a∥，且||＝||，求向量的坐标；‎ ‎(2)若a∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值．‎ 解　(1)∵＝(cos θ－1，t)，‎ 又a∥，∴2t－cos θ＋1＝0.‎ ‎∴cos θ－1＝2t.①‎ 又∵||＝||，∴(cos θ－1)2＋t2＝5.②‎ 由①②得，5t2＝5，∴t2＝1.∴t＝±1.‎ 当t＝1时，cos θ＝3(舍去)，‎ 当t＝－1时，cos θ＝－1，‎ ‎∴B(－1，－1)，∴＝(－1，－1)．‎ ‎(2)由(1)可知t＝，‎ ‎∴y＝cos2θ－cos θ＋＝cos2θ－cos θ＋ ‎＝＋＝2－，‎ ‎∴当cos θ＝时，ymin＝－.‎ ‎14．已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，求 ‎(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？‎ ‎(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．‎ 解　(1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t ＝－；若P在y轴上，只需1＋3t＝0，∴t＝－；若P在第二象限，则 ‎∴－＜t＜－.‎ ‎(2)因为＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若OABP为平行四边形，则＝，∵无解．所以四边形OABP不能成为平行四边形．‎