高考数学专题复习练习选修4-1 第1讲 相似三角形的判定及有关性质 5页

选修 4-1 几何证明选讲 第 1 讲 相似三角形的判定及有关性质 一、填空题 1．如图，已知 M 是▱ ABCD 的边 AB 的中点，CM 交 BD 于 E，图中阴影部分面 积与▱ABCD 的面积之比为________． 解析 S△ BMD＝1 2S△ABD＝1 4S▱ABCD， 由 BM ∥CD，得△DCE∽△BME， 则 DE∶BE＝CD∶BM＝2∶1， 所以 S△DME∶S△BM D＝DE∶BD＝2∶3， 即 S△DME＝2 3S△BMD，又 S△DME＝S△BCE， 所以 S 阴影＝2S△DME＝4 3S△BMD ＝4 3×1 4S▱ABCD＝1 3S▱ABCD， 即 S 阴影∶S▱ABCD＝1∶3. 答案 1∶3[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 2．梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD∶BC＝a∶b.中位 线 EF＝m，则 MN 的长是________． 解析 易知 EF＝1 2(AD＋BC)， EM＝1 2AD.FN＝1 2AD. 又 AD∶BC＝a∶b，设 AD＝ak.则 BC＝bk. ∵EF＝1 2(AD＋BC)，∴m＝k 2(a＋b)，∴k＝ 2m a＋b. ∴MN＝EF－EM－ N F＝m－1 2ak－1 2ak ＝m－ak＝m （b－a） a＋b . 答案 m （b－a） a＋b 3. 如图，已知 AB∥EF∥CD，若 AB＝4，CD＝12，则 EF＝________. 解析　∵AB∥CD∥EF， ∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF ， ∴ 4 EF ＝ BC BC－BF ，BC BF ＝12 EF ， ∴4(BC－BF)＝12BF，∴BC＝4BF， ∴BC BF ＝1 4 ＝12 EF ，∴EF＝3. 答案　3 4. 如图，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的 中点，AE 交于 BC 于 F，则BF FC ＝________. 解析　如图，过点 D 作 DG∥AF，交 BC 于点 G， 易得 FG＝GC，又在三角形 BDG 中，BE＝DE， 即 EF 为三角形 BDG 的中位线，故 BF＝FG，因此 BF FC ＝1 2. 答案　1 2 5. 如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E 是 AB 中点，DE⊥AB 于 E，则△ADE 与△ABC 的相似比是________． 解析　∵E 为 AB 中点，∴AE AB ＝1 2 ，即 AE＝1 2AB， 在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，AC＝ 3 2 AB， 又∵Rt△AED∽Rt△ACB，∴相似比为AE AC ＝ 1 3 . 故△ADE 与△ABC 的相似比为 1∶ 3. 答案　1∶ 3 6. 如图，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝1 2BC＝CD，AE＝12，DH ＝16，AH 交 BF 于 M，则 BM＝________，CG＝________. 解析　∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝1 2BC＝CD，AE＝12， DH＝16，∴AB AD ＝1 4 ，BM DH ＝AB AD.∴BM 16 ＝1 4 ，∴BM＝4. 取 BC 的中点 P，作 PQ∥DH 交 EH 于 Q，如图，则 PQ 是 梯形 ADHE 的中位线， ∴PQ＝1 2(AE＋DH)＝1 2(12＋16)＝14. 同理：CG＝1 2(PQ＋DH)＝1 2(14＋16)＝15. 答案　4　15 7 ．如 图 所 示 ，已 知 点 D 为 △ABC 中 AC 边 的 中 点 ， AE∥BC，ED 交 AB 于点 G，交 BC 的延长线于点 F ，若 BG∶GA ＝3 ∶1 ，BC ＝8 ，则 AE 的长为________． 解析 ∵AE∥BC，AD＝DC， ∴AE CF＝AD DC＝1，∴AE＝CF. ∵AE∥BF，BG∶GA＝3∶1，∴BF AE＝BG GA＝3 1，∴BC AE＝2 1.∵BC＝8，∴AE＝4. 答案 4 8. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝2CD，E、 F 分别是 AB、BC 的中点，EF 与 BD 相交于点 M.若 DB＝9，则 BM＝________. 解析　∵E 是 AB 的中点， ∴AB＝2EB. ∵AB＝2CD，∴CD＝EB. 又 AB∥CD，∴四边形 CBED 是平行四边形． ∴CB∥DE，∴Error! ∴△EDM∽△FBM.∴DM BM ＝DE BF. ∵F 是 BC 的中点，∴DE＝2BF. ∴DM＝2BM.∴BM＝1 3DB＝3. 答案　3 二、解答题 9．如图，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝1 3 AC，BD＝1 3AB，点 F 在 BC 上，且 CF＝1 3BC.求证： (1)EF⊥BC； (2)∠ADE＝∠EBC. 证明　设 AB＝AC＝3a，则 AE＝BD＝a，CF＝ 2 a. (1)CE CB ＝ 2a 3 2a ＝ 2 3 ，CF CA ＝ 2a 3a ＝ 2 3. 又∠C 为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°. ∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC. (2)由(1)得 EF＝ 2a， 故AE EF ＝ a 2a ＝ 2 2 ，AD BF ＝ 2a 2 2a ＝ 2 2 ， ∴AE EF ＝AD FB.∵∠DAE＝∠BFE＝90°， ∴△ADE∽△FBE， ∴∠ADE＝∠EBC. 10．如图，已知 B 在 AC 上，D 在 BE 上，且 AB∶BC＝2∶1，ED ∶DB＝2∶1， 求 AD∶DF. 解 如图，过 D 作 DG∥AC 交 FC 于 G(还可过 B 作 EC 的平行线)． ∵DG BC＝ED EB＝2 3， ∴DG＝2 3BC. ∵BC＝1 3AC，∴DG＝2 9AC. ∴DF AF ＝DG AC＝2 9，∴DF＝2 9AF， 从而 AD＝7 9AF，故 AD∶DF＝7∶2.