高考数学专题复习练习：第十二章 12_2古典概型 13页

‎　　　　　‎ ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的；‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．‎ ‎(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；‎ ‎(2)每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.‎ ‎4．古典概型的概率公式 P(A)＝.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　×　)‎ ‎(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　×　)‎ ‎(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　×　)‎ ‎(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.(　√　)‎ ‎(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.(　√　)‎ ‎(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.(　√　)‎ ‎1．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　基本事件的总数为6，‎ 构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，‎ 所以所求概率P＝＝，故选B.‎ ‎2．(2016·北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案　B 解析　从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为＝.‎ ‎3．(2015·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有C＝10(个)不同的结果，其中勾股数只有一组，故所求概率为P＝.‎ ‎4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．‎ 答案　 解析　取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为＝‎ eq f(3,5).‎ ‎5．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．‎ 答案　 解析　掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有 ‎6个，所以点数不同的概率P＝1－＝.‎ 题型一　基本事件与古典概型的判断 例1　(1)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：‎ ‎①试验的基本事件；‎ ‎②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；‎ ‎③事件“出现点数相等”包含的基本事件．‎ ‎(2)袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．‎ ‎①有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？‎ ‎②若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？‎ 解　(1)①这个试验的基本事件为 ‎(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，‎ ‎(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，‎ ‎(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，‎ ‎(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．‎ ‎②事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为 ‎(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，‎ ‎(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．‎ ‎③事件“出现点数相等”包含的基本事件为 ‎(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．‎ ‎(2)①由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．‎ 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．‎ ‎②由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，‎ 又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，‎ 故一次摸球摸到白球的可能性为，‎ 同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，‎ 显然这三个基本事件出现的可能性不相等，‎ 所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．‎ 思维升华　一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．‎ ‎　下列试验中，古典概型的个数为(　　)‎ ‎①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；‎ ‎②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；‎ ‎③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；‎ ‎④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　B 解析　①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，‎ 所以不是古典概型；‎ ‎②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型；‎ ‎③符合古典概型的特点，是古典概型．‎ 题型二　古典概型的求法 例2　(1)(2015·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)‎ A. B. C. D．1‎ ‎(2)(2015·江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．‎ ‎(3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A发生的概率为________．‎ 答案　(1)B　(2)　(3) 解析　(1)从袋中任取2个球共有C＝105(种)取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50(种)取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为＝.‎ ‎(2)基本事件共有C＝6(种)，‎ 设取出两只球颜色不同为事件A，‎ A包含的基本事件有CC＋CC＝5(种)．‎ 故P(A)＝.‎ ‎(3)五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为A＝120，满足事件A“排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如：金，第二个位置(除去金本身)只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有CC＝10(种)可能，所以事件A出现的概率为＝.‎ 引申探究 ‎1．本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率．‎ 解　基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，‎ 所以P(A)＝＝.‎ ‎2．本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率．‎ 解　基本事件数为CC＝16，‎ 颜色相同的事件数为CC＋CC＝6，‎ 所求概率为＝.‎ 思维升华　求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．‎ ‎　(1)(2016·全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　‎ 从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，((红紫)，(黄白))，((黄白)，(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种法有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P＝＝，故选C.‎ ‎(2)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.‎ ‎①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；‎ ‎②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．‎ 解　①由题意知，(a，b，c)所有的可能为 ‎(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，‎ 则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．‎ 所以P(A)＝＝.‎ 因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.‎ ‎②设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．‎ 所以P(B)＝1－P()＝1－＝.‎ 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.‎ 题型三　古典概型与统计的综合应用 例3　(2015·安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．‎ ‎(1)求频率分布直方图中a的值；‎ ‎(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．‎ 解　(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.‎ ‎(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，‎ 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.‎ ‎(3)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；‎ 受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，‎ 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝.‎ 思维升华　有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点．概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．‎ ‎　海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.‎ 地区 A B C 数量 ‎50‎ ‎150‎ ‎100‎ ‎(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；‎ ‎(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．‎ 解　(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 ＝，‎ 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 ‎50×＝1,150×＝3,100×＝2.‎ 所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.‎ ‎(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为 A；B1，B2，B3；C1，C2.‎ 则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．‎ 每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．‎ 所以P(D)＝，‎ 即这2件商品来自相同地区的概率为.‎ 六审细节更完善 典例　(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.‎ ‎(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；‎ ‎(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n0，‎ 所以f(x)在R上递增，若f(x)在[1,2]上有零点，‎ 则需经验证有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11对满足条件，而总的情况有16种，‎ 故所求概率为.‎ ‎5．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　从编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球中随机取出4个，有C＝210(种)不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的．设事件A为“‎ 取出球的编号互不相同”，则事件A包含了C·C·C·C·C＝80(个)基本事件，所以P(A)＝＝.故选D.‎ ‎6．如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　从九个数中任取三个数的不同取法共有C＝84(种)，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C·C·C＝6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－＝.‎ ‎7．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　如图所示，‎ 从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为＝.‎ ‎8．若A、B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________.‎ 答案　0.3‎ 解析　因为A、B为互斥事件，‎ 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，‎ 故P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.‎ ‎9．(2017·成都月考)如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．‎ 答案　0.3‎ 解析　依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，x≥7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P＝＝0.3.‎ ‎10．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．‎ 答案　 解析　从10件产品中取4件，共有C种取法，取到1件次品的取法为CC种，由古典概型概率计算公式得P＝＝＝.‎ ‎11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．‎ ‎(1)求事件“a⊥b”发生的概率；‎ ‎(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率．‎ 解　(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．‎ 因为a⊥b，所以m－3n＝0，即m＝3n，有(3,1)，(6,2)，共2种，‎ 所以事件a⊥b发生的概率为＝.‎ ‎(2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，‎ 有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，其概率为＝.‎ ‎12．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．‎ ‎(1)求袋中原有白球的个数；‎ ‎(2)求取球2次即终止的概率；‎ ‎(3)求甲取到白球的概率．‎ 解　(1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C.‎ 由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P＝＝，‎ 则n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n＝－2)，即袋中原有3个白球．‎ ‎(2)设事件A为“取球2次即终止”．取球2次即终止，即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，‎ P(A)＝＝＝.‎ ‎(3)设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai，i＝1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球．‎ 所以P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝＋＋＝＋＋＝.‎ ‎*13.(2016·北京海淀区期末)为了研究某种农作物在特定温度(要求最高温度t满足：27 ℃≤t≤30 ℃)下的生长状况，某农学家需要在10月份去某地进行为期10天的连续观察试验．现有关于该地区历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度(单位：℃)的记录如下：‎ ‎(1)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期；‎ ‎(2)设该地区今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小；(直接写出结论即可)‎ ‎(3)从10月份31天中随机选择连续3天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27,30]之间的概率．‎ 解　(1)农学家观察试验的起始日期为7日或8日．‎ ‎(2)最高温度的方差D1大．‎ ‎(3)设“连续3天平均最高温度值都在[27,30]之间”为事件A，‎ 则基本事件空间可以设为Ω＝{(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，…，(29,30,31)}，共29个基本事件，‎ 由题图可以看出，事件A包含10个基本事件，‎ 所以P(A)＝，所选3天每天日平均最高温度值都在[27,30]之间的概率为. ‎