高考数学专题复习练习：考点规范练6 6页

考点规范练6　函数的单调性与最值 ‎　考点规范练B册第4页　 ‎ 基础巩固 ‎1.下列函数中,定义域是R且为增函数的是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.y=2-x B.y=x C.y=log2x D.y=-‎‎1‎x 答案B 解析由题知,只有y=2-x与y=x的定义域为R,且只有y=x在R上是增函数.‎ ‎2.若函数y=ax与y=-bx在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上(　　)‎ A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 答案B 解析因为函数y=ax与y=-bx在(0,+∞)上都是减函数,所以a<0,b<0.‎ 所以y=ax2+bx的图象的对称轴方程x=-b‎2a<0.‎ 故y=ax2+bx在(0,+∞)上为减函数,选B.‎ ‎3.(2016长春质量检测)已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,1] B.(-∞,-1] C.[-1,+∞) D.[1,+∞)‎ 答案A 解析因为函数f(x)在(-∞,-a)上是单调函数,所以-a≥-1,解得a≤1.‎ ‎4.已知函数f(x)=x‎2‎‎-2x-3‎,则该函数的单调递增区间为(　　)‎ A.(-∞,1] B.[3,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞)‎ 答案B 解析设t=x2-2x-3,由t≥0,‎ 即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.‎ 故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).‎ 因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).‎ ‎5.(2016安徽师大附中月考)函数f(x)=x‎1-x在(　　)‎ A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数 B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数 C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数 D.(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数 答案C 解析由题意可知函数f(x)的定义域为{x|x≠1},f(x)=x‎1-x‎=‎‎1‎‎1-x-1.‎ 又根据函数y=-‎1‎x的单调性及有关性质,可知f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数.‎ ‎6.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈‎-π‎2‎,‎π‎2‎时,f(x)=ex+sin x,则(　　)‎ A.f(1)f(1)>f(π-3).‎ ‎∴f(2)>f(1)>f(3).‎ ‎7.(2016哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f‎-‎‎1‎‎2‎,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为(　　)‎ A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 答案D 解析因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称.‎ 所以f‎-‎‎1‎‎2‎=f‎5‎‎2‎.‎ 由x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)上单调递减.‎ 又1<2<‎5‎‎2‎f‎5‎‎2‎>f(e).即b>a>c.‎ ‎8.已知函数f(x)=‎1‎‎2‎‎-x‎2‎+2mx-m‎2‎-1‎的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为(　　)‎ A.-2 B.2 C.-1 D.1‎ 答案B 解析∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎-x‎2‎+2mx-m‎2‎-1‎≥2.∴f(x)的值域为[2,+∞).‎ ‎∵y1=‎1‎‎2‎x在R上单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为[m,+∞),‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为[m,+∞).由条件知m=2.‎ ‎9.已知函数f(x)=log‎1‎‎3‎(x2-ax+3a)在[1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,2] B.[2,+∞)‎ C.‎-‎1‎‎2‎,2‎ D.‎-‎1‎‎2‎,2‎〚导学号74920426〛‎ 答案D 解析设y=f(x),令x2-ax+3a=t.‎ ‎∵y=f(x)在[1,+∞)上单调递减,‎ ‎∴t=x2-ax+3a在[1,+∞)上单调递增,且满足t>0.‎ ‎∴a‎2‎‎≤1,‎‎1‎‎2‎‎-a·1+3a>0,‎解得-‎1‎‎2‎a.‎ ‎(1)若a=0,则f(x)的最大值为　　　　　; ‎ ‎(2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是　　　　　　　. ‎ 答案(1)2　(2)(-∞,-1)‎ 解析令g(x)=x3-3x,φ(x)=-2x.由g'(x)=3x2-3=0,得x=±1.‎ 可判断当x=1时,函数g(x)的极小值为-2;‎ 当x=-1时,函数g(x)的极大值为2,且g(x)与x轴的交点为(-‎3‎,0),(0,0),(‎3‎,0).‎ 又g(x)与φ(x)图象的交点为A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数g(x)与φ(x)的大致图象如图所示.‎ ‎(1)当a=0时,f(x)=x‎3‎‎-3x,x≤0,‎‎-2x,x>0,‎可知f(x)的最大值是f(-1)=2;‎ ‎(2)由图象知,当a≥-1时,f(x)有最大值f(-1)=2;当a<-1时,有a3-3a<-2a,此时f(x)无最大值,故a的取值范围是(-∞,-1).‎ 能力提升 ‎13.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)‎ C.(0,+∞) D.(-1,+∞)〚导学号74920427〛‎ 答案D 解析由题意可得a>x-‎1‎‎2‎x(x>0).‎ 令f(x)=x-‎1‎‎2‎x,函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+∞),故存在正数x使原不等式成立时,a>-1.‎ ‎14.设f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,则f(x)的最小值为(　　)‎ A.0 B.2 C.-‎1‎‎4‎ D.不存在 答案A 解析在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2+3x+2的图象,由f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,可得f(x)的图象如下图实线部分,求f(x)的最小值即求最低点的纵坐标,由图可得,当x=-2时,函数f(x)有最小值0,故选A.‎ ‎15.已知函数f(x)是奇函数,且在R上为增函数,当0≤θ<π‎2‎时,f(msin θ)+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　　　.〚导学号74920428〛 ‎ 答案(-∞,1)‎ 解析∵f(x)是奇函数,∴f(msin θ)+f(1-m)>0可化为f(msin θ)>-f(1-m)=f(m-1).‎ 又f(x)在R上是增函数,∴msin θ>m-1,即m(1-sin θ)<1,‎ ‎“当0≤θ<π‎2‎时,f(msin θ)+f(1-m)>0恒成立”等价于“当0≤θ<π‎2‎时,m(1-sin θ)<1恒成立,即m<‎1‎‎1-sinθ恒成立”.‎ ‎∵0<1-sin θ≤1,∴‎1‎‎1-sinθ≥1.∴m<1.‎ ‎16.已知f(x)=xx-a(x≠a).‎ ‎(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)内单调递增;‎ ‎(2)若a>0,且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.‎ ‎(1)证明当a=-2时,f(x)=xx+2‎(x≠-2).‎ 设任意的x1,x2∈(-∞,-2),且x10,x1-x2<0,‎ ‎∴f(x1)0,x2-x1>0,‎ ‎∴要使f(x1)-f(x2)>0,‎ 只需(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,∴a≤1.‎ 综上所述,a的取值范围是(0,1].‎ 高考预测 ‎17.已知函数f(x)=x+‎4‎x,g(x)=2x+a,若∀x1∈‎1‎‎2‎‎,3‎,∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是(　　)‎ A.a≤1 B.a≥1‎ C.a≤0 D.a≥0〚导学号74920429〛‎ 答案C 解析当x∈‎1‎‎2‎‎,3‎时,f(x)≥2x·‎‎4‎x=4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x∈[2,3]时,g(x)为增函数,故g(x)min=22+a=4+a.依题意可得f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.‎