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2014年福建省高考数学试卷(文科)

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‎2014年福建省高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分 ‎1.(5分)若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于(  )‎ A.{x|3≤x<4} B.{x|3<x<4} C.{x|2≤x<3} D.{x|2≤x≤3}‎ ‎2.(5分)复数(3+2i)i等于(  )‎ A.﹣2﹣3i B.﹣2+3i C.2﹣3i D.2+3i ‎3.(5分)以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(  )‎ A.2π B.π C.2 D.1‎ ‎4.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎5.(5分)命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是(  )‎ A.∀x∈(﹣∞,0),x3+x<0 B.∀x∈(﹣∞,0),x3+x≥0‎ C.∃x0∈[0,+∞),x03+x0<0 D.∃x0∈[0,+∞),x03+x0≥0‎ ‎6.(5分)已知直线l过圆x2+(y﹣3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是(  )‎ A.x+y﹣2=0 B.x﹣y+2=0 C.x+y﹣3=0 D.x﹣y+3=0‎ ‎7.(5分)将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的函数图象,则下列说法正确的是(  )‎ A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为π C.y=f(x)的图象关于直线x=对称 D.y=f(x)的图象关于点(﹣,0)对称 ‎8.(5分)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(5分)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(  )‎ A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 ‎10.(5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于(  )‎ A. B.2 C.3 D.4‎ ‎11.(5分)已知圆C:(x﹣a)2+(y﹣b)2=1,设平面区域Ω=,若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为(  )‎ A.49 B.37 C.29 D.5‎ ‎12.(5分)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L﹣距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分 ‎13.(4分)如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为  .‎ ‎14.(4分)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,则AB等于  .‎ ‎15.(4分)函数f(x)=的零点个数是  .‎ ‎16.(4分)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②‚b=2;③ƒc≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于  .‎ ‎ ‎ 三.解答题:本大题共6小题,共74分.‎ ‎17.(12分)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.‎ ‎(Ⅰ)求an;‎ ‎(Ⅱ)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎18.(12分)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx).‎ ‎(Ⅰ)求f()的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎19.(12分)如图,三棱锥A﹣BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.‎ ‎(Ⅰ)求证:CD⊥平面ABD;‎ ‎(Ⅱ)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A﹣MBC的体积.‎ ‎20.(12分)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:‎ 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP(单位:美元)‎ A ‎25%‎ ‎8000‎ B ‎30%‎ ‎4000‎ C ‎15%‎ ‎6000‎ D ‎10%‎ ‎3000‎ E ‎20%‎ ‎10000‎ ‎(Ⅰ)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;‎ ‎(Ⅱ)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.‎ ‎21.(12分)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=﹣3的距离小2.‎ ‎(Ⅰ)求曲线Γ的方程;‎ ‎(Ⅱ)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N,以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B,试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.‎ ‎22.(14分)已知函数f(x)=ex﹣ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为﹣1.‎ ‎(1)求a的值及函数f(x)的极值;‎ ‎(2)证明:当x>0时,x2<ex;‎ ‎(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex.‎ ‎ ‎ ‎2014年福建省高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分 ‎1.(5分)(2014•福建)若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于(  )‎ A.{x|3≤x<4} B.{x|3<x<4} C.{x|2≤x<3} D.{x|2≤x≤3}‎ ‎【分析】由于两集合已是最简,直接求它们的交集即可选出正确答案 ‎【解答】解:∵P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},‎ ‎∴P∩Q={x|3≤x<4}.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2014•福建)复数(3+2i)i等于(  )‎ A.﹣2﹣3i B.﹣2+3i C.2﹣3i D.2+3i ‎【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值.‎ ‎【解答】解:(3+2i)i=3i+2i2=﹣2+3i.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2014•福建)以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于(  )‎ A.2π B.π C.2 D.1‎ ‎【分析】边长为1的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,从而可求圆柱的侧面积.‎ ‎【解答】解:边长为1的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,‎ 则所得几何体的侧面积为:1×2π×1=2π,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2014•福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件2n>n2,跳出循环,确定输出的n值.‎ ‎【解答】解:由程序框图知:第一次循环n=1,21>1;‎ 第二次循环n=2,22=4.‎ 不满足条件2n>n2,跳出循环,输出n=2.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2014•福建)命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是(  )‎ A.∀x∈(﹣∞,0),x3+x<0 B.∀x∈(﹣∞,0),x3+x≥0‎ C.∃x0∈[0,+∞),x03+x0<0 D.∃x0∈[0,+∞),x03+x0≥0‎ ‎【分析】全称命题的否定是一个特称命题,按此规则写出其否定即可得出正确选项.‎ ‎【解答】解:∵命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”是一个全称命题.‎ ‎∴其否定命题为:∃x0∈[0,+∞),x03+x0<0‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2014•福建)已知直线l过圆x2+(y﹣3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是(  )‎ A.x+y﹣2=0 B.x﹣y+2=0 C.x+y﹣3=0 D.x﹣y+3=0‎ ‎【分析】由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1,再利用点斜式求直线l的方程.‎ ‎【解答】解:由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1,‎ 故l的方程是 y﹣3=x﹣0,即x﹣y+3=0,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2014•福建)将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得到函数y=f(x)的函数图象,则下列说法正确的是(  )‎ A.y=f(x)是奇函数 B.y=f(x)的周期为π C.y=f(x)的图象关于直线x=对称 D.y=f(x)的图象关于点(﹣,0)对称 ‎【分析】利用函数图象的平移法则得到函数y=f(x)的图象对应的解析式为f(x)=cosx,则可排除选项A,B,再由 cos=cos(﹣)=0即可得到正确选项.‎ ‎【解答】解:将函数y=sinx的图象向左平移个单位,得y=sin(x+)=cosx.‎ 即f(x)=cosx.‎ ‎∴f(x)是周期为2π的偶函数,选项A,B错误;‎ ‎∵cos=cos(﹣)=0,‎ ‎∴y=f(x)的图象关于点(﹣,0)、(,0)成中心对称.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2014•福建)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值,再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项.‎ ‎【解答】解:由对数函数的图象知,此函数图象过点(3,1),故有y=loga3=1,解得a=3,‎ 对于A,由于y=a﹣x是一个减函数故图象与函数不对应,A错;‎ 对于B,由于幂函数y=xa是一个增函数,且是一个奇函数,图象过原点,且关于原点对称,图象与函数的性质对应,故B正确;‎ 对于C,由于a=3,所以y=(﹣x)a是一个减函数,图象与函数的性质不对应,C错;‎ 对于D,由于y=loga(﹣x)与y=logax的图象关于y轴对称,所给的图象不满足这一特征,故D错.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2014•福建)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(  )‎ A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 ‎【分析】‎ 设池底长和宽分别为a,b,成本为y,建立函数关系式,然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.‎ ‎【解答】解:设池底长和宽分别为a,b,成本为y,则 ‎∵长方形容器的容器为4m3,高为1m,‎ ‎∴底面面积S=ab=4,y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80,‎ ‎∵a+b≥2=4,‎ ‎∴当a=b=2时,y取最小值160,‎ 即该容器的最低总造价是160元,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2014•福建)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于(  )‎ A. B.2 C.3 D.4‎ ‎【分析】虑用特殊值法去做,因为O为任意一点,不妨把O看成是特殊点,再代入计算,结果满足哪一个选项,就选哪一个.‎ ‎【解答】解:∵O为任意一点,不妨把A点看成O点,则=,‎ ‎∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点,∴=2=4‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2014•福建)已知圆C:(x﹣a)2+(y﹣b)2=1,设平面区域Ω=,若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为(  )‎ A.49 B.37 C.29 D.5‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用圆C与x轴相切,得到b=1为定值,此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 圆心为(a,b),半径为1‎ ‎∵圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,‎ ‎∴b=1,‎ 则a2+b2=a2+1,‎ ‎∴要使a2+b2的取得最大值,则只需a最大即可,‎ 由图象可知当圆心C位于B点时,a取值最大,‎ 由,解得,即B(6,1),‎ ‎∴当a=6,b=1时,a2+b2=36+1=37,即最大值为37,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎12.(5分)(2014•福建)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L﹣距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是(  )‎ A. B. C.‎ ‎ D.‎ ‎【分析】设出F1,F2的坐标,在设出动点M的坐标,由新定义列式后分类讨论去绝对值,然后结合选项得答案.‎ ‎【解答】解:设F1(﹣c,0),F2(c,0),‎ 再设动点M(x,y),动点到定点F1,F2的“L﹣距离”之和等于m(m>2c>0),‎ 由题意可得:|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m,‎ 即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m.‎ 当x<﹣c,y≥0时,方程化为2x﹣2y+m=0;‎ 当x<﹣c,y<0时,方程化为2x+2y+m=0;‎ 当﹣c≤x<c,y≥0时,方程化为y=;‎ 当﹣c≤x<c,y<0时,方程化为y=c﹣;‎ 当x≥c,y≥0时,方程化为2x+2y﹣m=0;‎ 当x≥c,y<0时,方程化为2x﹣2y﹣m=0.‎ 结合题目中给出的四个选项可知,选项A中的图象符合要求.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分 ‎13.(4分)(2014•福建)如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 0.18 .‎ ‎【分析】根据几何槪型的概率意义,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:正方形的面积S=1,设阴影部分的面积为S,‎ ‎∵随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,‎ ‎∴几何槪型的概率公式进行估计得,‎ 即S=0.18,‎ 故答案为:0.18.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2014•福建)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC=,则AB等于 1 .‎ ‎【分析】利用余弦定理列出关系式,将AC,BC,以及cosA的值代入即可求出AB的长.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,A=60°,AC=b=2,BC=a=,‎ ‎∴由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA,即3=4+c2﹣2c,‎ 解得:c=1,‎ 则AB=c=1,‎ 故答案为:1‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2014•福建)函数f(x)=的零点个数是 2 .‎ ‎【分析】根据函数零点的定义,直接解方程即可得到结论.‎ ‎【解答】解:当x≤0时,由f(x)=0得x2﹣2=0,解得x=或x=(舍去),‎ 当x>0时,由f(x)=0得2x﹣6+lnx=0,即lnx=6﹣2x,‎ 作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象,由图象可知此时两个函数只有1个交点,故x>0时,函数有1个零点.‎ 故函数f(x)的零点个数为2,‎ 故答案为:2‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)(2014•福建)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②‚b=2;③ƒc≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于 201 .‎ ‎【分析】根据集合相等的条件,列出a、b、c所有的取值情况,再判断是否符合条件,求出a、b、c的值后代入式子求值.‎ ‎【解答】解:由{a,b,c}={0,1,2}得,a、b、c的取值有以下情况:‎ 当a=0时,b=1、c=2或b=2、c=1,此时不满足题意;‎ 当a=1时,b=0、c=2或b=2、c=0,此时不满足题意;‎ 当a=2时,b=1、c=0,此时不满足题意;‎ 当a=2时,b=0、c=1,此时满足题意;‎ 综上得,a=2、b=0、c=1,代入100a+10b+c=201,‎ 故答案为:201.‎ ‎ ‎ 三.解答题:本大题共6小题,共74分.‎ ‎17.(12分)(2014•福建)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.‎ ‎(Ⅰ)求an;‎ ‎(Ⅱ)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设出等比数列的首项和公比,由已知列式求解首项和公比,则其通项公式可求;‎ ‎(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的an代入bn=log3an,得到数列{bn}的通项公式,由此得到数列{bn}‎ 是以0为首项,以1为公差的等差数列,由等差数列的前n项和公式得答案.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,‎ 由a2=3,a5=81,得 ‎,解得.‎ ‎∴;‎ ‎(Ⅱ)∵,bn=log3an,‎ ‎∴.‎ 则数列{bn}的首项为b1=0,‎ 由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣(n﹣2)=1(n≥2),‎ 可知数列{bn}是以1为公差的等差数列.‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2014•福建)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx).‎ ‎(Ⅰ)求f()的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数的解析式为f(x)=sin(2x+)+1,从而求得f()的值.‎ ‎(Ⅱ)根据函数f(x)=sin(2x+)+1,求得它的最小正周期.令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,求得x的范围,可得函数的单调递增区间.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)=sin2x+1+cos2x=sin(2x+)+1,‎ ‎∴f()=sin(+)+1=sin+1=+1=2.‎ ‎(Ⅱ)∵函数f(x)=sin(2x+)+1,故它的最小正周期为=π.‎ 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,求得kπ﹣≤x≤kπ+,‎ 故函数的单调递增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2014•福建)如图,三棱锥A﹣BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.‎ ‎(Ⅰ)求证:CD⊥平面ABD;‎ ‎(Ⅱ)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A﹣MBC的体积.‎ ‎【分析】(Ⅰ)证明:CD⊥平面ABD,只需证明AB⊥CD;‎ ‎(Ⅱ)利用转换底面,VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM•CD,即可求出三棱锥A﹣MBC的体积.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,‎ ‎∴AB⊥CD,‎ ‎∵CD⊥BD,AB∩BD=B,‎ ‎∴CD⊥平面ABD;‎ ‎(Ⅱ)解:∵AB⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,‎ ‎∴AB⊥BD.‎ ‎∵AB=BD=1,‎ ‎∴S△ABD=,‎ ‎∵M为AD中点,‎ ‎∴S△ABM=S△ABD=,‎ ‎∵CD⊥平面ABD,‎ ‎∴VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM•CD=.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2014•福建)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:‎ 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP(单位:美元)‎ A ‎25%‎ ‎8000‎ B ‎30%‎ ‎4000‎ C ‎15%‎ ‎6000‎ D ‎10%‎ ‎3000‎ E ‎20%‎ ‎10000‎ ‎(Ⅰ)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;‎ ‎(Ⅱ)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用所给数据,计算该城市人均GDP,即可得出结论;‎ ‎(Ⅱ)利用古典概型概率公式,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为=6400‎ ‎∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准;‎ ‎(Ⅱ)从该城市5个行政区中随机抽取2个,共有=10种情况,GDP都达到中等偏上收入国家标准的区域有A,C,E,抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准,共有=3种情况,‎ ‎∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2014•福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=﹣3的距离小2.‎ ‎(Ⅰ)求曲线Γ的方程;‎ ‎(Ⅱ)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N,以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B,试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设S(x,y)曲线Γ上的任意一点,利用抛物线的定义,判断S满足配额我想的定义,即可求曲线Γ的方程;‎ ‎(Ⅱ)通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程,求出A、M的坐标,N的坐标,以MN为直径作圆C,求出圆心坐标,半径是常数,即可证明当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设S(x,y)曲线Γ上的任意一点,‎ 由题意可得:点S到F(0,1)的距离与它到直线y=﹣1的距离相等,‎ 曲线Γ是以F为焦点直线y=﹣1为准线的抛物线,‎ ‎∴曲线Γ的方程为:x2=4y.‎ ‎(Ⅱ)当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变,‎ 证明如下:由(Ⅰ)可知抛物线的方程为y=,‎ 设P(x0,y0)(x0≠0)则y0=,‎ 由y得切线l的斜率k==‎ ‎∴切线l的方程为:,即.‎ 由得,‎ 由得,‎ 又N(0,3),‎ 所以圆心C(),半径r==‎ ‎∴点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.‎ ‎ ‎ ‎22.(14分)(2014•福建)已知函数f(x)=ex﹣ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为﹣1.‎ ‎(1)求a的值及函数f(x)的极值;‎ ‎(2)证明:当x>0时,x2<ex;‎ ‎(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex.‎ ‎【分析】(1)利用导数的几何意义求得a,再利用导数法求得函数的极值;‎ ‎(2)构造函数g(x)=ex﹣x2,利用导数求得函数的最小值,即可得出结论;‎ ‎(3)利用(2)的结论,令x0=,则ex>x2>x,即x<cex.即得结论成立.‎ ‎【解答】解:(1)由f(x)=ex﹣ax得f′(x)=ex﹣a.‎ 又f′(0)=1﹣a=﹣1,∴a=2,‎ ‎∴f(x)=ex﹣2x,f′(x)=ex﹣2.‎ 由f′(x)=0得x=ln2,‎ 当x<ln2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;‎ 当x>ln2时,f′(x)>0,f(x)单调递增;‎ ‎∴当x=ln2时,f(x)有极小值为f(ln2)=eln2﹣2ln2=2﹣ln4.‎ f(x)无极大值.‎ ‎(2)令g(x)=ex﹣x2,则g′(x)=ex﹣2x,‎ 由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln2)=eln2﹣2ln2=2﹣ln4>0,即g′(x)>0,‎ ‎∴当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<ex;‎ ‎(3)对任意给定的正数c,总存在x0=>0.当x∈(x0,+∞)时,‎ 由(2)得ex>x2>x,即x<cex.‎ ‎∴对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x<cex.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:xintrl;sxs123;刘长柏;清风慕竹;caoqz;maths;sllwyn;gongjy;qiss;liu老师(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日