2014年福建省高考数学试卷（文科） 21页

‎2014年福建省高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分 ‎1．（5分）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（　　）‎ A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}‎ ‎2．（5分）复数（3+2i）i等于（　　）‎ A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i ‎3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（　　）‎ A．2π B．π C．2 D．1‎ ‎4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．（5分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（　　）‎ A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0‎ C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0‎ ‎6．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（　　）‎ A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0‎ ‎7．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（　　）‎ A．y=f（x）是奇函数 B．y=f（x）的周期为π C．y=f（x）的图象关于直线x=对称 D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称 ‎8．（5分）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　）‎ A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 ‎10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（　　）‎ A． B．2 C．3 D．4‎ ‎11．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（　　）‎ A．49 B．37 C．29 D．5‎ ‎12．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分 ‎13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为　　．‎ ‎14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于　　．‎ ‎15．（4分）函数f（x）=的零点个数是　　．‎ ‎16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②‚b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共74分.‎ ‎17．（12分）在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．‎ ‎（Ⅰ）求an；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．‎ ‎（Ⅰ）求f（）的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；‎ ‎（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．‎ ‎20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：‎ 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP（单位：美元）‎ A ‎25%‎ ‎8000‎ B ‎30%‎ ‎4000‎ C ‎15%‎ ‎6000‎ D ‎10%‎ ‎3000‎ E ‎20%‎ ‎10000‎ ‎（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；‎ ‎（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．‎ ‎21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．‎ ‎（Ⅰ）求曲线Γ的方程；‎ ‎（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．‎ ‎22．（14分）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．‎ ‎（1）求a的值及函数f（x）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；‎ ‎（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．‎ ‎　‎ ‎2014年福建省高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分 ‎1．（5分）（2014•福建）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（　　）‎ A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}‎ ‎【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案 ‎【解答】解：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，‎ ‎∴P∩Q={x|3≤x＜4}．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014•福建）复数（3+2i）i等于（　　）‎ A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i ‎【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值．‎ ‎【解答】解：（3+2i）i=3i+2i2=﹣2+3i．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•福建）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（　　）‎ A．2π B．π C．2 D．1‎ ‎【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．‎ ‎【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，‎ 则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n＞n2，跳出循环，确定输出的n值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；‎ 第二次循环n=2，22=4．‎ 不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014•福建）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（　　）‎ A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0‎ C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0‎ ‎【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．‎ ‎【解答】解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．‎ ‎∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2014•福建）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（　　）‎ A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0‎ ‎【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，‎ 故l的方程是 y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（　　）‎ A．y=f（x）是奇函数 B．y=f（x）的周期为π C．y=f（x）的图象关于直线x=对称 D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称 ‎【分析】利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由 cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．‎ ‎【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．‎ 即f（x）=cosx．‎ ‎∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；‎ ‎∵cos=cos（﹣）=0，‎ ‎∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•福建）若函数y=logax（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值，再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项．‎ ‎【解答】解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=loga3=1，解得a=3，‎ 对于A，由于y=a﹣x是一个减函数故图象与函数不对应，A错；‎ 对于B，由于幂函数y=xa是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；‎ 对于C，由于a=3，所以y=（﹣x）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；‎ 对于D，由于y=loga（﹣x）与y=logax的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014•福建）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　）‎ A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 ‎【分析】‎ 设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．‎ ‎【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则 ‎∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，‎ ‎∴底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，‎ ‎∵a+b≥2=4，‎ ‎∴当a=b=2时，y取最小值160，‎ 即该容器的最低总造价是160元，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（　　）‎ A． B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．‎ ‎【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，‎ ‎∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2014•福建）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（　　）‎ A．49 B．37 C．29 D．5‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 圆心为（a，b），半径为1‎ ‎∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，‎ ‎∴b=1，‎ 则a2+b2=a2+1，‎ ‎∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，‎ 由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，‎ 由，解得，即B（6，1），‎ ‎∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，‎ 故选：B ‎　‎ ‎12．（5分）（2014•福建）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【分析】设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．‎ ‎【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），‎ 由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，‎ 即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．‎ 当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；‎ 当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；‎ 当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；‎ 当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；‎ 当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；‎ 当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．‎ 结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分 ‎13．（4分）（2014•福建）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为　0.18　．‎ ‎【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，‎ ‎∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，‎ ‎∴几何槪型的概率公式进行估计得，‎ 即S=0.18，‎ 故答案为：0.18．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于　1　．‎ ‎【分析】利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，‎ 解得：c=1，‎ 则AB=c=1，‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2014•福建）函数f（x）=的零点个数是　2　．‎ ‎【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当x≤0时，由f（x）=0得x2﹣2=0，解得x=或x=（舍去），‎ 当x＞0时，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，‎ 作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故x＞0时，函数有1个零点．‎ 故函数f（x）的零点个数为2，‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2014•福建）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②‚b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于　201　．‎ ‎【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．‎ ‎【解答】解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：‎ 当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足题意；‎ 当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足题意；‎ 当a=2时，b=1、c=0，此时不满足题意；‎ 当a=2时，b=0、c=1，此时满足题意；‎ 综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，‎ 故答案为：201．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共74分.‎ ‎17．（12分）（2014•福建）在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．‎ ‎（Ⅰ）求an；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；‎ ‎（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an代入bn=log3an，得到数列{bn}的通项公式，由此得到数列{bn}‎ 是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，‎ 由a2=3，a5=81，得 ‎，解得．‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）∵，bn=log3an，‎ ‎∴．‎ 则数列{bn}的首项为b1=0，‎ 由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），‎ 可知数列{bn}是以1为公差的等差数列．‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014•福建）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．‎ ‎（Ⅰ）求f（）的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+）+1，从而求得f（）的值．‎ ‎（Ⅱ）根据函数f（x）=sin（2x+）+1，求得它的最小正周期．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，‎ ‎∴f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2．‎ ‎（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（2x+）+1，故它的最小正周期为=π．‎ 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，‎ 故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；‎ ‎（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；‎ ‎（Ⅱ）利用转换底面，VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM•CD，即可求出三棱锥A﹣MBC的体积．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，‎ ‎∴AB⊥CD，‎ ‎∵CD⊥BD，AB∩BD=B，‎ ‎∴CD⊥平面ABD；‎ ‎（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，‎ ‎∴AB⊥BD．‎ ‎∵AB=BD=1，‎ ‎∴S△ABD=，‎ ‎∵M为AD中点，‎ ‎∴S△ABM=S△ABD=，‎ ‎∵CD⊥平面ABD，‎ ‎∴VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM•CD=．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2014•福建）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：‎ 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP（单位：美元）‎ A ‎25%‎ ‎8000‎ B ‎30%‎ ‎4000‎ C ‎15%‎ ‎6000‎ D ‎10%‎ ‎3000‎ E ‎20%‎ ‎10000‎ ‎（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；‎ ‎（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用所给数据，计算该城市人均GDP，即可得出结论；‎ ‎（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为=6400‎ ‎∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；‎ ‎（Ⅱ）从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有=10种情况，GDP都达到中等偏上收入国家标准的区域有A，C，E，抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准，共有=3种情况，‎ ‎∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．‎ ‎（Ⅰ）求曲线Γ的方程；‎ ‎（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足配额我想的定义，即可求曲线Γ的方程；‎ ‎（Ⅱ）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，‎ 由题意可得：点S到F（0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等，‎ 曲线Γ是以F为焦点直线y=﹣1为准线的抛物线，‎ ‎∴曲线Γ的方程为：x2=4y．‎ ‎（Ⅱ）当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变，‎ 证明如下：由（Ⅰ）可知抛物线的方程为y=，‎ 设P（x0，y0）（x0≠0）则y0=，‎ 由y得切线l的斜率k==‎ ‎∴切线l的方程为：，即．‎ 由得，‎ 由得，‎ 又N（0，3），‎ 所以圆心C（），半径r==‎ ‎∴点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．‎ ‎　‎ ‎22．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=ex﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．‎ ‎（1）求a的值及函数f（x）的极值；‎ ‎（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；‎ ‎（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．‎ ‎【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；‎ ‎（2）构造函数g（x）=ex﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；‎ ‎（3）利用（2）的结论，令x0=，则ex＞x2＞x，即x＜cex．即得结论成立．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=ex﹣ax得f′（x）=ex﹣a．‎ 又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，‎ ‎∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．‎ 由f′（x）=0得x=ln2，‎ 当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；‎ 当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；‎ ‎∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．‎ f（x）无极大值．‎ ‎（2）令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x，‎ 由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，‎ ‎∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex；‎ ‎（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，‎ 由（2）得ex＞x2＞x，即x＜cex．‎ ‎∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜cex．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：xintrl；sxs123；刘长柏；清风慕竹；caoqz；maths；sllwyn；gongjy；qiss；liu老师（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日