2020高中数学 第2章 平面解析几何初步 第一节 直线的方程4 两条直线的交点学案 苏教版必修2 4页

两条直线的交点 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 两条直线的交点 ‎1. 了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系。‎ ‎2. 会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标。‎ ‎3. 会利用直线系方程解决相关问题。‎ 填空题 解答题 体会用代数方法刻画两直线交点关系的过程（由数到形），了解用解析几何解决问题的基本方法，体会“数形结合”的思想。‎ 二、重难点提示 重点：求两直线的交点坐标及过定点的直线系方程的应用。‎ 难点：两直线相交与二元一次方程的关系、应用过定点的直线系方程解题。‎ 考点一：两条直线的交点 直线：直线：‎ 方程组的解与两直线交点的个数之间的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 考点二：经过两条直线的交点的直线系 过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系（A1x＋B1y＋C1）＋（A2x＋B2y＋C2）＝0（其中、为参数，），当时，方程即为l1的方程；当时，方程即为l2的方程。‎ 上面的直线系可改写成A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（其中λ为参数）。但是方程不包括直线l2的方程，虽然这个参数方程形式在解题中很有用处，但在解题中要注意验证l2‎ 是否符合题意，否则会出现漏解情况。‎ ‎【规律总结】‎ ‎1. 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 ‎（1）l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A‎1C2－A‎2C1≠0（或B‎1C2－B‎2C1≠0）；‎ ‎（2）l1⊥l2⇔A‎1A2＋B1B2＝0.‎ 利用上述两组关系解决直线的平行及垂直问题，可以有效避免因字母范围引起的直线斜率问题的讨论.‎ 4‎ ‎2.（1）三条直线共点的判断方法为：先求出两条直线的交点，再判断这个交点是否在第三条直线上。‎ ‎（2）当若干直线交于一点时，只须由其中两条求其交点，其他直线均过这一点，即这一点满足其他直线方程。‎ ‎【随堂练习】直线l经过原点，且经过另外两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为 。 ‎ 思路分析：三条直线共点问题，可用解方程组求交点或直线系解决。‎ 答案：方法一　解方程组，得 ‎ 所以两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点坐标为（－1，－2），又直线l经过原点（0,0），设经过原点的直线方程为y＝kx，将（－1，－2）代入方程，得k＝2，所求直线l的方程为y＝2x，即2x－y＝0.‎ 方法二　设经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0交点的直线方程为（2x＋3y＋8）＋λ（x－y－1）＝0，又直线l经过原点，把（0,0）代入l的方程，得λ＝8，‎ 将λ＝8代入l的方程并整理，得2x－y＝0.‎ 技巧点拨：此题用直线系解决比较简单，注意掌握这种方法。‎ 例题1 （利用方程组判断两条直线的位置关系）‎ 判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标。‎ ‎（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；‎ ‎（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；‎ ‎（3）l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0.‎ 思路分析：根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断。‎ 答案：（1）解方程组得 ‎∴直线l1与l2相交，交点坐标为（－1，－1）。‎ ‎（2）解方程组 ‎①×2－②得：1＝0，矛盾，‎ ‎∴方程组无解。‎ ‎∴两直线无公共点，l1∥l2.‎ ‎（3）解方程组 ‎①×2得4x－6y＋10＝0，‎ ‎∴①和②可以化为同一方程，‎ 即l1与l2是同一直线，l1与l2重合。‎ 技巧点拨：判定两直线的位置关系，可以转化为求方程组解的情况。若两直线方程组成的方程组有且仅有一组解时，说明两直线相交；若方程组无解，说明两直线平行；若方程组有无数多组解，则说明两直线重合。‎ 4‎ 例题2 （直线经过定点问题）‎ 已知（k＋1）x－（k－1）y－2k＝0为直线l的方程。求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点坐标。‎ 思路分析：令k＝0,1→两特殊直线方程构成方程组→交点坐标→验证。‎ 答案：证明：方法一　对于方程（k＋1）x－（k－1）y－2k＝0，令k＝0得x＋y＝0；令k＝1得2x－2＝0。‎ 解方程组得两直线的交点为（1，－1）。‎ 将交点（1，－1）代入已知直线方程的左边，‎ 得（k＋1）－（k－1）（－1）－2k＝0。‎ 这表明不论k取何实数，直线l必过定点（1，－1）。‎ 方法二　整理直线l的方程，得（x＋y）＋k（x－y－2）＝0，不论k取何实数，直线l的方程为直线系l1＋λl2＝0的形式，因此必过定点。定点坐标可由方程组解得 ‎∴直线l经过的定点是M（1，－1）。‎ 方法三　由直线l的方程得（k＋1）x＝（k－1）y＋2k，变形为（k＋1）x－（k＋1）＝（k－1）y＋（k－1），‎ 即（k＋1）（x－1）＋（1－k）（y＋1）＝0.‎ 直线l的方程为过定点（x0，y0）的直线系方程A（x－x0）＋B（y－y0）＝0的形式，所以直线l必过定点。‎ 定点坐标可由方程组解得 ‎∴不论k取何实数，直线l必过定点（1，－1）。‎ 技巧点拨：解答此类问题常有两种方式。‎ ‎1. 特值法：对直线系中的参数赋值，可得直线系中的不同直线，联立其中两条直线的方程便可求出其交点坐标，该坐标即为所求定点。‎ ‎2. 恒等式法：该类问题可转化为关于参数的恒等式问题，根据恒等式的性质，由k的一次项系数和常数项均为零，就可以求得该定点坐标。‎ 解析法在几何证明中的应用 ‎【满分训练】如图，以Rt△ABC的两条直角边AB、BC向三角形外分别作正方形ABDE和正方形BCFG.连接EC、AF，两直线交于点M.求证：BM⊥AC.‎ 4‎ 思路分析：建立适当的直角坐标系，设点的坐标加以证明。‎ 答案：证明：以两条直角边AB、BC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系。设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a和b，则A（0，a），C（b,0），B（0,0），E（－a，a），F（b，－b）。‎ 直线AF的方程是＝，即（a＋b）x＋by－ab＝0。‎ 直线EC的方程是＝，即ax＋（a＋b）y－ab＝0。‎ 解方程组得 即M点的坐标为（，）‎ 故kBM＝，又kAC＝＝－，‎ 所以kBM·kAC＝－1。因此BM⊥AC。‎ 技巧点拨：本题是用代数的方法证明几何问题，这就是解析法。具体来说就是根据图形特点，建立适当的直角坐标系，利用坐标解决有关问题。‎ 4‎