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- 2021-06-21 发布
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课时分层作业(七) 函数的最大(小)值与导数
(建议用时:40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为( )
A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
A [令F(x)=f(x)-g(x),则F′(x)=f′(x)-g′(x),
又f′(x)<g′(x),故F′(x)<0,
∴F(x)在[a,b]上单调递减,
∴F(x)max≤F(a)=f(a)-g(a).]
2.函数y=的最大值为( )
A.e-1 B.e
C.e2 D.
A [令y′===0(x>0),
解得x=e.当x>e时,y′<0;当0<x<e时,y′>0.
y极大值=f(e)=,在定义域(0,+∞)内只有一个极值,
所以ymax=.]
3.函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为( )
【导学号:31062064】
A.4e-1 B.1
C.e2 D.3e2
C [∵f′(x)=(x2+2x)ex+1=x(x+2)ex+1,∴f′(x)=0得x=-2或x=0.
又当x∈[-2,1]时,ex+1>0,
∴当-2<x<0时,f′(x)<0;
当0<x<1时f′(x)>0.
∴f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.
又f(-2)=4e-1,f(1)=e2,
∴f(x)的最大值为e2.]
4.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-
6
m的值为( )
A.16 B.12
C.32 D.6
C [∵f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),由f(-3)=17,f(3)=-1,f(-2)=24,f(2)=-8,
可知M-m=24-(-8)=32.]
5.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为( )
A.0≤a<1 B.00时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是__________.
[解析] 由f(x)=+2ln x得f′(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,令f′(x)=0,得x=-(舍去)或x=.当0时,f′(x
6
)>0.故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=ln a+1.要使f(x)≥2恒成立,需ln a+1≥2恒成立,则a≥e.
[答案] [e,+∞)
三、解答题
9.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
[解] 易知f(x)的定义域为.
(1)f′(x)=+2x=
=.
当-0;
当-1-时,f′(x)>0,
从而f(x)在区间,上单调递增,在区间上单调递减.
(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f=ln 2+.
又因为f-f=ln+-ln-
=ln+=<0,
所以f(x)在区间上的最大值为
f=+ln.
10.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)≥2 017对于∀x∈[-2,2]恒成立,求a的取值范围.
[解] (1)f′(x)=-3x2+6x+9.
由f′(x)<0,得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
6
(2)由f′(x)=0,-2≤x≤2,得x=-1.
因为f(-2)=2+a,f(2)=22+a,f(-1)=-5+a,
故当-2≤x≤2时,f(x)min=-5+a.
要使f(x)≥2 017对于∀x∈[-2,2]恒成立,只需f(x)min=-5+a≥2 017,解得a≥2 022.
[能力提升练]
1.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是( )
A.-13 B.-15
C.10 D.15
A [对函数f(x)求导得f′(x)=-3x2+2ax,
由函数f(x)在x=2处取得极值知f′(2)=0,
即-3×4+2a×2=0,∴a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x,
易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,
∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.
又∵f′(x)=-3x2+6x的图象开口向下,
且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,
f′(n)min=f′(-1)=-9,
故f(m)+f′(n)的最小值为-13.]
2.若函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,) B.(-1,4)
C.(-1,2] D.(-1,2)
C [由f′(x)=3-3x2=0,得x=±1.
当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
-2
2
由此得a2-12<-1<a,
解得-1<a<.
又当x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减,且当x=2时,f(x)=-2.∴a≤2.
综上,-1<a≤2.]
3.已知a≤4x3+4x2+1对任意x∈[-1,1]都成立,则实数a的取值范围是________.
【导学号:31062067】
6
[解析] 设f(x)=4x3+4x2+1,则f′(x)=12x2+8x=4x(3x+2)
由f′(x)=0得x=-或x=0.
又f(-1)=1,f=,f(0)=1,f(1)=9,
故f(x)在[-1,1]上的最小值为1.
故a≤1.
[答案] (-∞,1]
4.已知函数f(x)=x3-x2+6x+a,若∃x0∈[-1,4],使f(x0)=2a成立,则实数a的取值范围是________.
[解析] ∵f(x0)=2a,即x-x+6x0+a=2a,
可化为x-x+6x0=a,
设g(x)=x3-x2+6x,则g′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2)=0,得x=1或x=2.
∴g(1)=,g(2)=2,g(-1)=-,g(4)=16.
由题意,g(x)min≤a≤g(x)max,∴-≤a≤16.
[答案]
5.已知函数f(x)=(x-k)ex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 【导学号:31062068】
[解] (1)f′(x)=(x-k+1)ex.
令f′(x)=0,得x=k-1.
令x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,k-1)
k-1
(k-1,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
-ek-1
所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).
(2)当k-1≤0,即k≤1时,
函数f(x)在[0,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;
当0<k-1<1,即1<k<2时,
6
由(1)知f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;
当k-1≥1,即k≥2时,
函数f(x)在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
6
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