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  • 2021-06-21 发布

2020高中数学 课时分层作业7 函数的最大(小)值与导数 新人教A版选修2-2

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课时分层作业(七) 函数的最大(小)值与导数 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为(  )‎ A.f(a)-g(a)    B.f(b)-g(b)‎ C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)‎ A [令F(x)=f(x)-g(x),则F′(x)=f′(x)-g′(x),‎ 又f′(x)<g′(x),故F′(x)<0,‎ ‎∴F(x)在[a,b]上单调递减,‎ ‎∴F(x)max≤F(a)=f(a)-g(a).]‎ ‎2.函数y=的最大值为(  )‎ A.e-1 B.e C.e2 D. A [令y′===0(x>0),‎ 解得x=e.当x>e时,y′<0;当0<x<e时,y′>0.‎ y极大值=f(e)=,在定义域(0,+∞)内只有一个极值,‎ 所以ymax=.]‎ ‎3.函数f(x)=x2·ex+1,x∈[-2,1]的最大值为(  )‎ ‎ 【导学号:31062064】‎ A.4e-1 B.1‎ C.e2 D.3e2‎ C [∵f′(x)=(x2+2x)ex+1=x(x+2)ex+1,∴f′(x)=0得x=-2或x=0.‎ 又当x∈[-2,1]时,ex+1>0,‎ ‎∴当-2<x<0时,f′(x)<0;‎ 当0<x<1时f′(x)>0.‎ ‎∴f(x)在(-2,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增.‎ 又f(-2)=4e-1,f(1)=e2,‎ ‎∴f(x)的最大值为e2.]‎ ‎4.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-‎ 6‎ m的值为(  )‎ A.16 B.12‎ C.32 D.6‎ C [∵f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),由f(-3)=17,f(3)=-1,f(-2)=24,f(2)=-8,‎ 可知M-m=24-(-8)=32.]‎ ‎5.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为(  )‎ A.0≤a<1 B.00时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是__________.‎ ‎[解析] 由f(x)=+2ln x得f′(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,令f′(x)=0,得x=-(舍去)或x=.当0时,f′(x 6‎ ‎)>0.故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=ln a+1.要使f(x)≥2恒成立,需ln a+1≥2恒成立,则a≥e.‎ ‎[答案] [e,+∞)‎ 三、解答题 ‎9.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ ‎[解] 易知f(x)的定义域为.‎ ‎(1)f′(x)=+2x= ‎=.‎ 当-0;‎ 当-1-时,f′(x)>0,‎ 从而f(x)在区间,上单调递增,在区间上单调递减.‎ ‎(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f=ln 2+.‎ 又因为f-f=ln+-ln- ‎=ln+=<0,‎ 所以f(x)在区间上的最大值为 f=+ln.‎ ‎10.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.‎ ‎(1)求f(x)的单调递减区间;‎ ‎(2)若f(x)≥2 017对于∀x∈[-2,2]恒成立,求a的取值范围.‎ ‎[解] (1)f′(x)=-3x2+6x+9.‎ 由f′(x)<0,得x<-1或x>3,‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).‎ 6‎ ‎(2)由f′(x)=0,-2≤x≤2,得x=-1.‎ 因为f(-2)=2+a,f(2)=22+a,f(-1)=-5+a,‎ 故当-2≤x≤2时,f(x)min=-5+a.‎ 要使f(x)≥2 017对于∀x∈[-2,2]恒成立,只需f(x)min=-5+a≥2 017,解得a≥2 022.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值是(  )‎ A.-13 B.-15‎ C.10 D.15‎ A [对函数f(x)求导得f′(x)=-3x2+2ax,‎ 由函数f(x)在x=2处取得极值知f′(2)=0,‎ 即-3×4+‎2a×2=0,∴a=3.‎ 由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x,‎ 易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,‎ ‎∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.‎ 又∵f′(x)=-3x2+6x的图象开口向下,‎ 且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,‎ f′(n)min=f′(-1)=-9,‎ 故f(m)+f′(n)的最小值为-13.]‎ ‎2.若函数f(x)=3x-x3在区间(a2-12,a)上有最小值,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-1,) B.(-1,4)‎ C.(-1,2] D.(-1,2)‎ C [由f′(x)=3-3x2=0,得x=±1.‎ 当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎-2‎ ‎2‎ 由此得a2-12<-1<a,‎ 解得-1<a<.‎ 又当x∈(1,+∞)时,f(x)单调递减,且当x=2时,f(x)=-2.∴a≤2.‎ 综上,-1<a≤2.]‎ ‎3.已知a≤4x3+4x2+1对任意x∈[-1,1]都成立,则实数a的取值范围是________.‎ ‎ 【导学号:31062067】‎ 6‎ ‎[解析] 设f(x)=4x3+4x2+1,则f′(x)=12x2+8x=4x(3x+2)‎ 由f′(x)=0得x=-或x=0.‎ 又f(-1)=1,f=,f(0)=1,f(1)=9,‎ 故f(x)在[-1,1]上的最小值为1.‎ 故a≤1.‎ ‎[答案] (-∞,1]‎ ‎4.已知函数f(x)=x3-x2+6x+a,若∃x0∈[-1,4],使f(x0)=‎2a成立,则实数a的取值范围是________.‎ ‎[解析] ∵f(x0)=‎2a,即x-x+6x0+a=‎2a,‎ 可化为x-x+6x0=a,‎ 设g(x)=x3-x2+6x,则g′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2)=0,得x=1或x=2.‎ ‎∴g(1)=,g(2)=2,g(-1)=-,g(4)=16.‎ 由题意,g(x)min≤a≤g(x)max,∴-≤a≤16.‎ ‎[答案]  ‎5.已知函数f(x)=(x-k)ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 【导学号:31062068】‎ ‎[解] (1)f′(x)=(x-k+1)ex.‎ 令f′(x)=0,得x=k-1.‎ 令x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,k-1)‎ k-1‎ ‎(k-1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎-ek-1‎ 所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).‎ ‎(2)当k-1≤0,即k≤1时,‎ 函数f(x)在[0,1]上单调递增,‎ 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;‎ 当0<k-1<1,即1<k<2时,‎ 6‎ 由(1)知f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,‎ 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;‎ 当k-1≥1,即k≥2时,‎ 函数f(x)在[0,1]上单调递减,‎ 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.‎ 6‎