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- 2021-06-19 发布
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10+7满分练(2)
1.设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-15},所以A∩(∁RB)={x|-35}={x|-30,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为
B.直线x=-是函数f(x)图象的一条对称轴
C.函数f(x)在区间上单调递增
D.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)=2sin 2x
答案 D
解析 A=2,=-=,即=,即ω=2,又=,当x=时,2×+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,解得 φ=- ,所以函数f(x)=2sin,函数的周期为π;当x=-时,2×-=-,不是函数图象的对称轴;当x∈时,2x-∈,f(x)
先单调递减后单调递增;函数向左平移个单位长度后得到函数g(x)=2sin=2sin 2x ,所以D正确,故选D.
7.能推断出函数y=f(x)在R上为增函数的是( )
A.若m,n∈R且m0,3n>0,又因为f(3m)n,且m>0,n>0,又因为f 0,b>0)的左、右焦点,P是直线x=上一点,△F1PF2是顶角为θ的等腰三角形,若cos θ=,则双曲线E的离心率为( )
A. B.2 C. D.3
答案 B
解析 由题意知∠PF1F2=θ或∠PF2F1=θ,设直线x=与x轴的交点为D,则D,因为△F1PF2是顶角为θ的等腰三角形,cos θ=,若∠PF1F2=θ,则有|F1F2|=|PF1|=2c,在Rt△PDF1中,|DF1|=|PF1|·cos θ,即c+=2c×,所以离心率e==2;若∠PF2F1=θ,则有|F1F2|=|PF2|=2c,在Rt△PDF2中,|DF2|=|PF2|cos θ,即c-=2c×,不合题意.综上,双曲线E的离心率为2.
9.已知单位向量a,b满足|2a-b|=2,若存在向量c,使得(c-2a)·(c-b)=0,则|c|的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 方法一 因为|a|=|b|=1,且|2a-b|=2,所以可知2a在b上的投影为.不妨设b=(1,0),2a=,即a=.设c=(x,y),因为(c-2a)·(c-b)=0,所以(x-1)+y=0,得2+2=1,它表示一个以为圆心,1为半径的圆,而|c|=表示圆上的点到坐标原点的距离,所以其最大值为+1=+1,其最小值为-1=-1,所以|c|∈,故选C.
方法二 如图,设=a,=b,=c,=2a,因为|2a-b|=2,所以△OA′B是等腰三角形.因为(c-2a)·(c-b)=0,(c-2a)⊥(c-b),即A′C⊥BC,所以△A′BC是直角三角形,所以点C在以A′B为直径,1为半径的圆上,取A′B的中点M,
因为cos∠A′BO==,
所以OM2=OB2+BM2-2·OB·BMcos∠A′BO=1+1-2×1×1×=,即OM=.
所以|c|∈,故选C.
10.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BE=EC=,AE交BD于点O,沿对角线BD将△ABD折起.在折起过程中,设∠AOE=θ,直线AC与平面BCD所成的角为α,若θ∈,则tan α的取值范围是( )
A.(0,1] B. C.(0,] D.
答案 A
解析 由题意可知点E为BC的中点,且AO⊥BD,OE⊥BD,则点A在平面BCD上的投影在直线OE上,记为H,如图所示,过点C作CF⊥BD,垂足为点F,延长OE至点M,使OM=FC,则四边形OMCF为矩形,所以α=∠ACH,又AB=1,BE=,所以AE=,BO=,AO=,故在△AOM中,AH=AO·sin θ=·sin θ,HO=AO·cos θ=·cos θ,在矩形OMCF中,CM=,MH=OM-OH=-·cos θ,CH2=CM2+MH2=+(1-cos θ)2,在Rt△ACH中 ,tan2α===-1+.令t=5-4cos θ,由θ∈得t∈(1,5),tan2α=f(t)=-1+,由f(t)在t∈(1,3]上单调递增,在t∈[3,5)上单调递减,得0=f(1)
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