2019年高考数学练习题汇总小题提速练（六） 7页

小题提速练(六)‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1．已知集合A＝{x|log2(x－1)＜0}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝(　　)‎ A．(0，1)　　　　　　　 B．(0，1]‎ C．(1，2) D．(1，2]‎ 解析：选C.由log2(x－1)＜0可得log2(x－1)＜log21，再由函数的定义域和单调性可得0＜x－1＜1，即1＜x＜2，从而A＝(1，2)，A∩B＝A＝(1，2)，选C.‎ ‎2．若复数z满足＝3＋i(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A.由＝3＋i，可得z－i＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即z＝2＋5i，其在复平面内所对应的点(2，5)位于第一象限．‎ ‎3．已知直线l的斜率为k，倾斜角为θ，则“0＜θ≤”是“k≤‎1”‎的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.当0＜θ≤时，0＜k≤1；反之，当k≤1时，0≤θ≤或＜θ＜π，故“0＜θ≤”是“k≤1”的充分而不必要条件，选A.‎ ‎4．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“2x2－3x≤‎0”‎发生的概率为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选B.由2x2－3x≤0，得0≤x≤，故所求概率P＝＝，选B.‎ ‎5．cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选D.解法一：cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝cos 63° sin(90°＋87°)＋sin(180°＋‎ ‎63°)sin 87°＝cos 63°cos 87°－sin 63°sin 87°＝cos(63°＋87°)＝cos 150°＝－.‎ 解法二：cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝cos 63°sin(180°－3°)＋sin(180°＋63°)sin(90°－3°)＝cos 63°sin 3°－sin 63°cos 3°＝sin(3°－63°)＝sin(－60°)＝－sin 60°＝－.‎ ‎6．已知双曲线Γ：－＝1(a＞b＞0)的顶点到渐近线的距离为，且其一个焦点坐标为(5，0)，则双曲线Γ的方程为(　　)‎ A.－＝1 B．－＝1‎ C.－＝1 D．－＝1‎ 解析：选A.双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，一个顶点坐标为(a，0)，由题有＝，而c2＝a2＋b2且c＝5，于是ab＝12，联立，得且注意到a＞b＞0，解得所以双曲线Γ的方程为－＝1.‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，若输入的n＝40，则输出的i的值是(　　)‎ A．0 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选D.运行该程序，i＝0，n＝40，n不是奇数，则n＝20，i＝1，n≠1；n不是奇数，则n＝10，i＝2，n≠1；n不是奇数，则n＝5，i＝3，n≠1；n是奇数，则n＝＝2，i＝4，n≠1；n不是奇数，则n＝1，i＝5，此时n＝1，循环结束．故输出的i的值是5.‎ ‎8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的中心为坐标原点O，一个焦点为F，若以O为圆心，|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选A.由于以O为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，则根据题意可得c≥b，c2≥b2＝a2－c2，‎2c2≥a2，e≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1，故选A.‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．‎10 cm2 B．cm2‎ C.cm2 D．cm2‎ 解析：选D.由三视图可知，该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，其中底面是底边长为4，高为3的等腰三角形，后侧面是底边长为4，高为2的三角形，左边一个侧面是等腰三角形，还有一个侧面是非特殊三角形，所以表面积S＝×4×3＋×4×2＋××＋×××＝10＋(cm2)．‎ ‎10．若函数f(x)＝ln x－ax2－4x(a≠0)在区间上单调递增，则实数a的最大值为(　　)‎ A. B．－ C．－ D． 解析：选B.解法一：对函数f(x)求导得f′(x)＝－2ax－4＝－(x＞0)．‎ ‎①当a＞0时，由f′(x)＞0得，0＜x＜，即f(x)在上单调递增，‎ 因为f(x)在区间上单调递增，所以≥，无解，故a不存在；‎ ‎②当－2＜a＜0时，由f′(x)＞0得，0＜x＜或x＞，‎ 即f(x)在，上单调递增，‎ 因为f(x)在区间上单调递增，所以≥或≤，‎ 所以－2＜a≤－；‎ ‎③当a≤－2时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．‎ 综上所述，a≤－，即实数a的最大值为－.‎ 解法二：对函数f(x)求导得f′(x)＝－2ax－4＝‎ ‎－(x＞0)．依题意，得f′(x)≥0在上恒成立，即2ax2＋4x－1≤0在上恒成立，所以a≤＝在上恒成立，因为∈(3，4)，所以a≤－，即实数a的最大值为－.‎ ‎11．某土木工程建筑公司有A，B两种型号的工程车，A，B两种型号的工程车的载重分别为32吨和48吨，该公司承建的工程项目需要将工地的土石从甲地运到乙地．已知A，B两种型号的工程车每次从甲地去乙地的营运成本分别为2 000元/辆和2 500元/辆，公司拟组建一个不超过25辆车的车队，并要求B型车不多于A型车10辆，若车队每次运送土石不少于880吨，且使公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本最小，那么应配备A型车的辆数为(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 解析：选C.设应配备A，B型车分别为x，y辆，公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本为z元，则z＝2 000x＋2 500y.由题意，得x，y满足约束条件 作出可行域如图中阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，15)，Q，R(20，5)．‎ 作出直线4x＋5y＝0，平移该直线，当直线经过点P(5，15)时，z最小．又5，15恰为整数，故应配备A型车5辆，B型车15辆，可以满足公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本最小．‎ ‎12．已知O为坐标原点，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上有A，B两点满足OA⊥OB，且点O到直线AB的距离为c，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B． C. D． 通解：选A.显然直线OA，OB的斜率均存在，且不为0，过点O向AB作垂线，垂足为H.设直线OA的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x，‎ 与双曲线方程联立，得得y2＝，‎ 则x2＝，因而|OA|2＝，‎ 同理|OB|2＝＝，由|OA|×|OB|＝|AB|×|OH|及|OA|2＋|OB|2＝|AB|2可得，‎ ‎|OH|＝，即＝＋，‎ 因而＝＋，即＝－，又c2＝a2＋b2，‎ 从而得＝，所以e＝＝，故选A.‎ 优解：设|OA|＝m＞0，|OB|＝n＞0，直线OA的倾斜角为α，则直线OB的倾斜角为＋α，不妨取A(mcos α，msin α)，B，‎ 因为A，B均在双曲线上，所以－＝1，－＝1，所以＋＝－，又×c＝mn，所以＝＋＝－，又c2＝a2＋b2，‎ 从而得＝，所以e＝＝，故选A.‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)‎ ‎13．已知向量m＝，n＝(1，0)，若m(m－λn)，则实数λ＝________．‎ 解析：解法一：由m⊥(m－λn)可得m·(m－λn)＝0，即m2＝λm·n，而m2＝1，m·n＝，所以λ＝2.‎ 解法二：易知m，n都是单位向量，故可将其放在单位圆中，如图所示，设＝m，＝λn，则M，m，n的夹角为60°，则要使m⊥(m－λn)，只需∠OMN＝90°，此时λ＝2.‎ 答案：2‎ ‎14．已知函数f(x)＝若f(f(1))＞‎4a2，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：由题知f(1)＝3＋1＝4，f(f(1))＝f(4)＝16＋‎12a，若f(f(1))＞‎4a2，则16＋‎12a＞‎4a2，即a2－‎3a－4＜0，解得－1＜a＜4，故实数a的取值范围为(－1，4)．‎ 答案：(－1，4)‎ ‎15．过抛物线C：y2＝8x的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点Q(－2，2)，则直线l的方程为________．‎ 解析：易得抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l：my＝x－2，联立，得消去x，得y2－8my－16＝0，其中Δ＝‎64m2‎＋64＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝‎8m，y1y2＝－16，依题意得＝(x1＋2，y1－2)，＝(x2＋2，y2－2)，则·＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝(my1＋4)(my2＋4)＋(y1－2)(y2－2)＝(m2＋1)y1y2＋(‎4m－2)(y1＋y2)＋20＝－16(m2＋1)＋(‎4m－2)×‎8m＋20＝4(‎2m－1)2，易知⊥，则·＝0，即4(‎2m－1)2＝0，解得m＝ ‎，所以直线l的方程为2x－y－4＝0.‎ 答案：2x－y－4＝0‎ ‎16．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos ‎2A－3cos(B＋C)＝1，b＝5，△ABC的面积S＝5，则sin Bsin C＝________．‎ 解析：由题意可得2cos‎2A＋3cos A－2＝0，即(cos A＋2)(2cos A－1)＝0，所以cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝.由S＝bcsin A＝c＝5，得c＝4，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝52＋42－2×5×4cos ＝21⇒a＝，由正弦定理可得sin B＝b，sin C＝c，所以sin Bsin C＝bc＝×5×4＝.‎ 答案：