高中数学必修1教案第一章 1_1_2集合间的基本关系 8页

‎1.1.2　集合间的基本关系 ‎[学习目标]　1.掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，并能正确判断.2.了解Venn图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系.3.了解空集的含义及其性质．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，则它们的大小关系是a＝b.‎ ‎2．若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？ x≥1时呢？‎ ‎3．方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．Venn图 ‎(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．‎ ‎(2)适用范围：元素个数较少的集合．‎ ‎(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．‎ ‎2．子集的概念 文字语言 符号语言 图形语言 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集 A⊆B(或 B⊇A)‎ ‎3．集合相等与真子集的概念 定义 符号表示 图形表示 集合 相等 如果A⊆B且B⊆A，就说集合A与B相等 A＝B 真子 集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是B的真子集 AB(或 BA)‎ ‎4.空集 ‎(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．‎ ‎(2)用符号表示为：∅.‎ ‎(3)规定：空集是任何集合的子集．‎ ‎5．子集的有关性质 ‎(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.‎ ‎(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.‎ 要点一　有限集合的子集确定问题 例1　写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．‎ 解　由0个元素构成的子集：∅；‎ 由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；‎ 由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；‎ 由3个元素构成的子集：{1,2,3}．‎ 由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．‎ 在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．‎ 规律方法　1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：‎ ‎(1)确定所求集合；‎ ‎(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；‎ ‎(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．‎ ‎2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．‎ 跟踪演练1　已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数．‎ 解　当M中含有两个元素时，M为{2,3}；‎ 当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；‎ 当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；‎ 当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；‎ 所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.‎ 要点二　集合间关系的判定 例2　指出下列各对集合之间的关系：‎ ‎(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；‎ ‎(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；‎ ‎(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；‎ ‎(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．‎ 解　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．‎ ‎(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.‎ ‎(3)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.‎ ‎(4)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM.‎ 规律方法　对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的一种图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示．‎ 跟踪演练2　集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|2x＋7＞0}，试判断集合A和B的关系．‎ 解　A＝{－3,2}，B＝.‎ ‎∵－3＞－，2＞－，‎ ‎∴－3∈B,2∈B∴A⊆B 又0∈B，但0∉A，∴AB.‎ 要点三　由集合间的关系求参数范围问题 例3　已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．‎ 解　∵B⊆A，‎ ‎(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.‎ ‎(2)当B≠∅时，有 解得－1≤m＜2，综上得{m|m≥－1}．‎ 规律方法　1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．‎ ‎2．涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．‎ 跟踪演练3　已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．‎ ‎(1)若AB，求a的取值范围；‎ ‎(2)若B⊆A，求a的取值范围．‎ 解　(1)若AB，由图可知a＞2.‎ ‎(2)若B⊆A，由图可知1≤a≤2.‎ ‎1．集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为(　　)‎ A．4 B．7 C．8 D．16‎ 答案　B 解析　可知A＝{0,1,2}，其真子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，即共有23－1＝7(个)．‎ ‎2．设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是(　　)‎ A．{0}⊆M B．{0}∈M C．∅∈M D．0⊆M 答案　A 解析　选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误．‎ ‎3．已知M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N之间关系的Venn图是(　　)‎ 答案　C 解析　M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，∴NM.‎ ‎4．已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　∵A＝B，∴1－m＝2，∴m＝－1.‎ ‎5．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　a≤ 解析　∵∅{x|x2－x＋a＝0}．‎ ‎∴{x|x2－x＋a＝0}≠∅.‎ 即x2－x＋a＝0有实根．‎ ‎∴Δ＝(－1)2－4a≥0，得a≤.‎ ‎1.对子集、真子集有关概念的理解 ‎(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．‎ ‎(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．‎ ‎(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.‎ ‎2．集合子集的个数 求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．‎ 一、基础达标 ‎1．下列命题中，正确的有(　　)‎ ‎①空集是任何集合的真子集；‎ ‎②若AB，BC，则AC；‎ ‎③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；‎ ‎④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.‎ A．①② B．②③ C．②④ D．③④‎ 答案　C 解析　①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由Venn图易知④正确．‎ ‎2．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为(　　)‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ 答案　A 解析　集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．‎ ‎3．设集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝x2}，则P与Q的关系是(　　)‎ A．P⊆Q B．P⊇Q C．P＝Q D．以上都不对 答案　D 解析　集合P是指函数y＝x2的自变量x的取值范围，集合Q是指所有二次函数y＝x2图象上的点，故P，Q不存在谁包含谁的关系．‎ ‎4．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若AB，则实数a满足(　　)‎ A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4‎ 答案　D 解析　由AB，结合数轴，得a≥4.‎ ‎5．集合{－1,0,1}共有________个子集．‎ 答案　8‎ 解析　由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8个子集．‎ ‎6．设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1}，若N⊆M，则实数m 的取值集合为________．‎ 答案　{－2,0，}．‎ 解析　集合M＝{3，－}．若N⊆M，则N＝{3}或{－}或∅.于是当N＝{3}时，m＝；当N＝{－}时，m＝－2；当N＝∅时，m＝0.所以m的取值集合为{－2,0，}．‎ ‎7．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．‎ 解　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，‎ ‎∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．‎ ‎∴A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．‎ 二、能力提升 ‎8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．0,1 D．－1,0,1‎ 答案　D 解析　因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．‎ ‎(1)当a＝0时，‎ 方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．‎ ‎(2)当a≠0时，‎ 由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，‎ ‎∴a＝±1.‎ 此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．‎ ‎∴a＝0或a＝±1.‎ ‎9．已知集合A＝，B＝，则(　　)‎ A．AB B．BA C．A＝B D．A与B关系不确定 答案　A 解析　对B集合中，x＝，k∈Z，当k＝2m时，x＝，m∈Z；当k＝2m－1时，x＝－，m∈Z，故按子集的定义，必有AB.‎ ‎10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则实数a的值为________．‎ 答案　－1或2‎ 解析　A⊇B，则a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.‎ ‎11．已有集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B⊆A，求实数m的集合．‎ 解　由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.‎ ‎∴集合A＝{1,3}．‎ ‎(1)当B＝∅时，此时m＝0，满足B⊆A.‎ ‎(2)当B≠∅时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝.‎ ‎∵B⊆A，∴＝1或＝3，解得m＝3或m＝1.‎ 综上可知，所求实数m的集合为{0,1,3}．‎ 三、探究与创新 ‎12．已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．‎ 解　当B＝∅时，只需2a＞a＋3, 即a＞3.‎ 当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得 或解得a＜－4或2＜a≤3.‎ 综上，实数a的取值范围为{a|a＜－4或a＞2}．‎ ‎13．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围．‎ 解　①当A无真子集时，A＝∅，‎ 即方程ax2＋2x＋1＝0无实根，‎ 所以所以a>1.‎ ‎②当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两种情况：‎ 当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，解得x＝－；‎ 当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.‎ 综上，当集合A至多有一个真子集时，‎ a的取值范围是a＝0或a≥1.‎