高中数学必修1教案：第三章（第4课时）等差数列2 6页

课 题：3.1 等差数列等差数列的性质 教学目的：‎ ‎1.明确等差中项的概念.‎ ‎2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.‎ 教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：     本节是在学习等差数列的概念、通项公式的基础上，推导等差数列前n项和的公式，并突出等差数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便 教学过程：‎ 一、复习引入 首先回忆一下上节课所学主要内容：‎ ‎1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） ‎ ‎2．等差数列的通项公式：‎ ‎ (或=pn+q (p、q是常数))‎ ‎3．有几种方法可以计算公差d ① d=－ ② d= ③ d= ‎ ‎ 二、讲解新课： ‎ 问题：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？‎ 由定义得A-=-A ，即：‎ 反之，若，则A-=-A 由此可可得：成等差数列 也就是说，A=是a,A,b成等差数列的充要条件 定义：若，A，成等差数列，那么A叫做与的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 ‎5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 ‎9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，‎ 性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则，‎ 即 m+n=p+q (m, n, p, q ∈N ) ‎ 但通常 ①由 推不出m+n=p+q ，②‎ 三、例题讲解 例1在等差数列{}中，若+=9, =7, 求 , .‎ 分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……‎ 解：∵ {an }是等差数列 ∴ +=+ =9=9－=9－7=2 ∴ d=－=7－2=5 ∴ =+(9－4)d=7+5*5=32 ∴   =2, =32‎ 例2 等差数列{}中，++=－12, 且 ··=80. 求通项 ‎ 分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来 解：+=2 ‎ ‎ =－10, =2 或 =2, =－10 ∵ d= ∴ d=3 或－3 ∴ =－10+3 (n－1) = 3n－ 13 或 =2 －3 (n－1) = －3n+5‎ 例3在等差数列{}中, 已知＋＋＋＋＝450, 求＋及前9项和.‎ ‎ 解：由等差中项公式：＋＝2， ＋＝2‎ 由条件＋＋＋＋＝450, 得 ‎5＝450, ＝90, ‎ ‎∴＋＝2＝180.‎ ‎ ＝＋＋＋＋＋＋＋＋‎ ‎＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＋‎ ‎＝9＝810.‎ 例4已知a、b、c的倒数成等差数列，求证：，， ‎ 的倒数也成等差数列 分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数x、y、z成等差数列的充要条件：x+y=2z ‎ 证明：因为a、b、c的倒数成等差数列 ‎ ∴，即2ac=b(a+c)‎ ‎ 又+=-2‎ ‎=-2=-2‎ ‎=-2=-2‎ ‎=-2=‎ 所以，，的倒数也成等差数列 四、练习：‎ ‎1.在等差数列中，已知，，求首项与公差 解：由题意可知 解之得即这个数列的首项是-2，公差是3‎ 或由题意可得：即：31=10+7d 可求得d=3，再由求得1=-2 ‎ ‎2. 在等差数列中, 若 求 ‎ ‎ 解： 即 ∴ ‎ ‎ 从而 ‎ ‎3.在等差数列中若 ，， 求 ‎ 解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……‎ ‎ ∴ ……‎ ‎ ∴+2‎ ‎ ∴=2- ‎ =2×80-30=130‎ ‎ 五、小结 本节课学习了以下内容：‎ ‎1．成等差数列 ‎2．在等差数列中， m+n=p+q (m, n, p, q ∈N ) ‎ 六、课后作业：‎ ‎1.在等差数列中，为公差，若且 求证：1° 2° ‎ 证明：1°设首项为， ‎ ‎ ‎ ‎ ∵ ∴‎ ‎ 2° ∵‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎2.在等差数列中， 若 求 ‎ ‎ 解： 即 ∴ ‎ ‎ 3.在等差数列中，若 求 ‎ ‎ 解：=‎ ‎4.成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数．‎ ‎ 解：设四个数为 ‎ 则：‎ ‎ 由①： 代入②得： ‎ ‎ ∴ 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2．‎ ‎5在等差数列中，若 求．‎ ‎ 解：∵ ∴ ‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎