高中数学第四章数列4-3等比数列4-3-2第2课时等比数列前n项和的性质及应用课件新人教A版选择性必修第二册 28页

第 2 课时　等比数列前 n 项和的性质及应用 激趣诱思 知识点拨 某人准备购买一辆汽车 , 向银行贷款 6 万元 , 其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息 ( 即利息按月以复利计算 , 每期付款数额相同 , 一个月为一期 , 购买后一个月开始付款 , 以后每月付款一次 ), 共付 36 期 , 月利率为 0 . 457 5%, 那么这人每月还多少钱呢 ? 激趣诱思 知识点拨 等比数列前 n 项和的性质 公比为 q 的等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 关于 S n 的性质常考的有以下四类 : (1) 数列 S m , S 2 m -S m , S 3 m -S 2 m , … 仍是等比数列 ( 此时 { a n } 的公比 q ≠ - 1) . (2) 当 n 是偶数时 , S 偶 = S 奇 · q ; 当 n 是奇数时 , S 奇 =a 1 + S 偶 · q . (3) S n+m =S m +q m S n =S n +q n S m . (4) 数列 { a n } 为公比不为 1 的等比数列 ⇔ S n =A-Aq n , A ≠0, q ≠0 且 q ≠1 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 一个等比数列的前 n 项和为 45, 前 2 n 项和为 60, 则前 3 n 项和为 ( 　　 ) A.65 　　 B.73 　　 C.85 　　 D.108 解析 : 由等比数列的性质得 S n , S 2 n -S n , S 3 n -S 2 n 成等比数列 . 等比数列的前 n 项和为 45, 前 2 n 项和为 60, ∴ 45,60 - 45, S 3 n - 60 成等比数列 , ∴ (60 - 45) 2 = 45( S 3 n - 60), 解得 S 3 n = 65 . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等比数列前 n 项和的性质 例 1 (1) 在等比数列 { a n } 中 , 若 S 2 = 7, S 6 = 91, 则 S 4 = 　　　　 ;   (2) 已知等比数列 { a n } 共有 2 n 项 , 其和为 - 240, 且 ( a 1 +a 3 + … +a 2 n- 1 ) - ( a 2 +a 4 + … +a 2 n ) = 80, 则公比 q= 　　　　 ;   (3) 若数列 { a n } 是等比数列 , 且其前 n 项和为 S n = 3 n+ 1 - 2 k , 则实数 k 等于 　　　　 .   分析 : 运用等比数列前 n 项和的性质求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析 : (1) ∵ 数列 { a n } 是等比数列 , 且易知公比 q ≠ - 1, ∴ S 2 , S 4 -S 2 , S 6 -S 4 也构成等比数列 , 即 7, S 4 - 7,91 -S 4 构成等比数列 , ∴ ( S 4 - 7) 2 = 7(91 -S 4 ), 解得 S 4 = 28 或 S 4 =- 21 . 又 S 4 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 =a 1 +a 2 +a 1 q 2 +a 2 q 2 = ( a 1 +a 2 )(1 +q 2 ) =S 2 (1 +q 2 ) > 0, ∴ S 4 = 28 . (2) 由题意知 S 奇 +S 偶 =- 240, S 奇 -S 偶 = 80, 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 等比数列前 n 项和的性质 1 . 若数列 { a n } 为非常数列的等比数列 , 且其前 n 项和为 S n =A·q n +B ( A ≠0, B ≠0, q ≠0, q ≠1), 则必有 A+B= 0; 反之 , 若某一非常数列的前 n 项和为 S n =A·q n -A ( A ≠0, q ≠0, q ≠1), 则该数列必为等比数列 . 2 . 若等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 则 ( S 2 n -S n ) 2 =S n ( S 3 n -S 2 n ) . 特别地 , 如果公比 q ≠ - 1 或虽 q=- 1 但 n 为奇数时 , S n , S 2 n -S n , S 3 n -S 2 n 构成等比数列 . 3 . 当等比数列 { a n } 的项数为偶数时 , 偶数项的和与奇数项的和之比 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等差数列与等比数列的综合 问题 (1) 求 S 2 和 S 3 ; (2) 求数列 { a n } 的前 n 项和 ; (3) 求数列 { S n } 的前 n 项和 . 分析 : 先利用等差中项与等比中项求出 S 2 与 S 3 , 进而求出 a 1 与公比 q , 再写出 S n , 根据 S n 的特点求 { S n } 的前 n 项和 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 数列综合问题的关注点 1 . 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点 , 特别是等差与等比数列的通项公式、前 n 项和公式 , 以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点 . 2 . 利用等比数列前 n 项和公式时应注意公比 q 的取值 , 熟悉两种数列的性质 , 知道它们的推导过程 , 利用好性质 , 可降低题目的难度 , 解题时有时还需利用条件联立方程组求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 已知等差数列 { a n }, a 2 = 9, a 5 = 21 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 令 b n = , 求数列 { b n } 的前 n 项和 S n . 解 : (1) 设等差数列 { a n } 的首项为 a 1 , 公差为 d , 所以数列 { a n } 的通项公式为 a n = 4 n+ 1 . (2) 由 a n = 4 n+ 1, 得 b n = 2 4 n+ 1 , 所以 { b n } 是首项为 b 1 = 2 5 , 公比为 q= 2 4 的 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等比数列的实际应用 例 3 小华准备购买一台售价为 5 000 元的电脑 , 采用分期付款方式 , 并在一年内将款全部付清 . 商场提出的付款方式为 : 购买 2 个月后第 1 次付款 , 再过 2 个月后第 2 次付款 , …… 购买 12 个月后第 6 次付款 , 每次付款金额相同 , 约定月利率为 0 . 8%, 每月利息按复利计算 , 求小华每期付款金额是多少 ? 分析 : 根据题意 , 列出第 k 个月末付款后的欠款本利或第 k 个月时的已付款及利息是解题的关键 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : ( 方法一 ) 设小华每期付款 x 元 , 第 k ( k 取 2,4,6,8,10,12) 个月末付款后的欠款本利为 A k 元 , 则 A 2 = 5 000 × (1 + 0 . 008) 2 -x= 5 000 × 1 . 008 2 -x , A 4 =A 2 (1 + 0 . 008) 2 -x= 5 000 × 1 . 008 4 - 1 . 008 2 x-x , …… A 12 = 5 000 × 1 . 008 12 - (1 . 008 10 + 1 . 008 8 + … + 1 . 008 2 + 1) x= 0, 故小华每期付款金额约为 880 . 8 元 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ( 方法二 ) 设小华每期付款 x 元 , 到第 k ( k 取 2,4,6,8,10,12) 个月时已付款及利息为 A k 元 , 则 A 2 =x , A 4 =A 2 (1 + 0 . 008) 2 +x=x (1 + 1 . 008 2 ), A 6 =A 4 (1 + 0 . 008) 2 +x=x (1 + 1 . 008 2 + 1 . 008 4 ), …… A 12 =x (1 + 1 . 008 2 + 1 . 008 4 + 1 . 008 6 + 1 . 008 8 + 1 . 008 10 ) . ∵ 年底付清欠款 , ∴ A 12 = 5 000 × 1 . 008 12 , 即 5 000 × 1 . 008 12 =x (1 + 1 . 008 2 + 1 . 008 4 + … + 1 . 008 10 ), 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 分期付款问题的求解策略 分期付款问题是典型的求等比数列前 n 项和的应用题 , 此类题目的特点是 : 每期付款数相同 , 且每期间距相同 . 解决这类问题通常有两种处理方法 , 一是按欠款数计算 , 由最后欠款为 0 列出方程求解 ; 二是按付款数计算 , 由最后付清全部欠款列方程求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 某地投入资金进行生态环境建设 , 并以此发展旅游产业 . 据规划 , 本年度投入 800 万元 , 以后每年投入将比上一年 减少 . 本年度当地旅游业收入估计为 400 万元 , 由于该项建设对旅游业的促进作用 , 预计今后的旅游业收入每年会比上一年 增长 . 求 n 年内的总投入与 n 年内旅游业的总收入 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分类讨论思想在数列求和中的 应用 分析 : 数列的通项公式为分段函数的形式 , 因此该数列的奇、偶项呈现不同的规律 , 奇数项是首项为 1, 公差为 4 的等差数列 , 偶数项为首项为 9, 公比为 9 的等比数列 , 在求和时 , 应对奇数项和偶数项分别求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法总结 分段数列求和的技巧性很强 , 一般是转化为等差数列与等比数列求解 . 解题时需要对数列的项数及奇数项、偶数项的项数进行分类讨论 . 需要特别说明的是在分段数列中 , 规律是隔项成等差数列或成等比数列 , 因此数列的公差或公比与平时的公差、公比有所不同 , 解题时要特别留意 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 已知等比数列 { a n }, a n = 2 × 3 n- 1 , 则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和为 ( 　　 ) A.3 n- 1 B.3(3 n- 1 ) 解析 : 由此数列的偶数项所组成的新数列是以 6 为首项 ,9 为公比的等比数列 , 所以其前 n 项和为 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 已知等比数列的前 n 项和为 54, 前 2 n 项和为 60, 则前 3 n 项和为 ( 　　 ) 解析 : 设数列的前 n 项和为 S n , 则由题意知 S n , S 2 n -S n , S 3 n -S 2 n 也构成等比数列 , 所以 (60 - 54) 2 = 54( S 3 n - 60), 解得 答案 : D 3 . 若等比数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 2 n- 2 +r , 则 r= 　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 某住宅小区计划植树不少于 100 棵 , 若第一天植树 2 棵 , 以后每天植树的棵数是前一天的 3 倍 , 则需要的最少天数 n ( n ∈ N * ) 为 　　　　　 .   解析 : 记第 n 天植树的棵数为 a n , 则数列 { a n } 是以 2 为首项 ,3 为公比的等比数列 . 答案 : 5 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 已知数列 { a n } 的首项 a 1 = , 前 n 项和为 S n , 且满足 2 a n+ 1 +S n = 3( n ∈ N * ) . (1) 求 a 2 及 a n ; 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测