高一数学教案：第17讲 等比数列 9页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目：‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 等比数列 教学内容 ‎1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前项和公式并能解决实际问题；‎ ‎2.理解等比中项的概念,掌握等比数列的性质.‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1. 等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数 列，常数称为等比数列的公比.‎ ‎2. 通项公式与前项和公式 ‎（1）通项公式：，为首项，为公比 .‎ ‎（2）前项和公式：①当时，；‎ ‎②当时，.‎ ‎3. 等比中项：‎ 如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.‎ 即：是与的等差中项，，成等差数列.‎ ‎4. 等比数列的判定方法 ‎（1）定义法：（，是常数）是等比数列；‎ ‎（2）中项法：()且是等比数列.‎ ‎5. 等比数列常用性质：‎ ‎① ‎ ‎②则， ‎ ‎③，则 ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. （1）已知为等比数列前项和，，，公比，则项数 .‎ ‎（2）已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.‎ 解：（1）由，，公比，得.‎ ‎（2）方法1：设这四个数分别为，则；‎ 方法2：设第个数分别为，则第个数为，第个数为，则 或；‎ ‎ ‎ 试一试： ‎ ‎1. 设是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知, ,则( )‎ ‎．； ．； ．； ．．‎ 解：选．根据题意可得：‎ ‎2. 已知为等比数列的前项和，，则 .‎ 解：或，‎ 当时，；‎ 当时，无整数解.‎ 例2. 已知为等比数列前项和，，求. ‎ 解:‎ ‎，①‎ ‎ ②‎ ‎①—②，得 ‎ ‎ 试一试：‎ ‎1. 一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.‎ 解：设所求的等比数列为，，；‎ 则，且；‎ 解得，或，；‎ 故所求的等比数列为2，6,18或，－，.‎ ‎2. 已知等比数列的前三项依次为，，，则（ ）‎ ‎． ． ． ．‎ 解：．‎ ‎，，‎ ‎∴ ‎ 例3. 已知数列和满足：，，，其中为实数，.‎ ‎（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.‎ 解: （1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，‎ 即矛盾.‎ 所以不是等比数列. ‎ ‎（2）解：因为 ‎ ‎ ‎ ‎ 又，所以 当，此时不是等比数列；‎ 当时，由上可知，此时是等比数列.‎ 试一试：‎ ‎1.设是数列的前项和，且，则是（ ）‎ ‎．等比数列，但不是等差数列； ．等差数列，但不是等比数列；‎ ‎．等差数列，而且也是等比数列 ．既非等比数列又非等差数列．‎ 答案：．‎ 解法一：．‎ ‎∴（n∈N）．‎ 又为常数，≠常数．‎ ‎∴是等差数列，但不是等比数列.‎ 解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于的二次函数，则这个数列一定是等差数列.‎ ‎2. 已知数列的首项，，…．证明：数列是等比数列； ‎ 解：，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，又，，‎ ‎∴数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ 例4. 已知等比数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求、的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ 解：（1）当时，.‎ 而为等比数列，得，即，从而. ‎ 又∵，‎ ‎∴.‎ ‎（2）， ‎ 两式相减得，‎ 因此，．‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ ‎1. 已知等比数列的公比，其前项的和为，则与的大小关系是( ) A A. B. C. D.不确定 ‎2. 若是等比数列,前n项和,则( ) D A. B. C. D.‎ ‎3. 等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和= .‎ ‎4. 在等比数列中，为数列的前项和，则 .2015‎ ‎5. 已知等比数列记其前n项和为 ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）若 解析：（1）设等比数列的公比为q，则 ‎ 解得 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ （2） ‎ 由 ‎6. 已知等比数列的公比， 是和的一个等比中项，和的等差中项为，若数列满足（）．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和．‎ 解：（Ⅰ）因为是和的一个等比中项，‎ 所以．由题意可得因为，所以．解得 所以．故数列的通项公式．‎ ‎（Ⅱ）由于（），所以．‎ ‎ ． ①‎ ‎． ②‎ ‎①-②得 ．‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 本节课主要知识：等比数列的性质，通项公式及前n项和公式应用，错位相减法的介绍。‎ ‎【巩固练习】‎ ‎1．在各项都为正数的等比数列中，首项 ，前三项和为，则= ( ) C ‎　　 A．33 　　 B．‎72 C．84 D．189‎ ‎2．等比数列{}中，其公比q<0，且，则= （ 　 ） B A. 8 B. ‎-8 ‎C.16 D.-16 ‎ ‎3．已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于 ( ) D A. 15 B. ‎21 ‎‎ ‎ C. 19 D. 17‎ ‎4. 设等比数列中，前项和为，已知，则__________. ‎ ‎5．设等比例的前n项和为. ‎ ‎6. 设{}为公比q>1的等比数列,若和是方程的两根,则____. 18‎ ‎7. 已知是等比数列，，则= . ‎ ‎8. 在数列{an}中，，，．‎ ‎(1)证明数列是等比数列； (2)求数列的前项和；‎ ‎（1）证明：由题设，得，．‎ 又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．‎ ‎（2）解：由（1）可知，于是数列的通项公式为 ．‎ 所以数列的前项和．‎ ‎【预习思考】‎ 通过观察表格回答下面问题 数列 等差数列 等比数列 定义 通项公式 中项公式 若，‎ 若，‎ 简单性质 若，‎ 若，‎ ‎1. 在等差数列中，若项数数列是等差数列，则仍是等差数列。‎ 类比：若是等比数列，当是________数列时，是________数列。‎ ‎2. 有一位同学发现：若为等差数列，则也成等差数列。由此经过类比，他猜想：若为等比数列，则、也为等比数列。你认为呢？‎ ‎3. 一位同学发现：若是等差数列的前n项和，则 也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论？为什么？‎ ‎4. 我们知道对于等差数列，成立。通过类比，尝试发现等比数列中的相似结论并给予证明.‎