2020高中数学 第三章 阶段复习课 第3课 数系的扩充与复数的引入学案 新人教A版选修2-2 6页

第三课　数系的扩充与复数的引入 ‎ [核心速填]‎ ‎1．复数的有关概念及分类 ‎(1)代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中实部为a，虚部为b；‎ ‎(2)共轭复数为z＝a－bi(a，b∈R)．‎ ‎(3)复数的分类 ‎①若 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数，则z与的关系为z＝.‎ ‎②若z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数，则z与的关系为z＋＝0(z≠0)．‎ ‎2．与复数运算有关的问题 ‎(1)复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(2)复数的模 复数z＝a＋bi的模|z|＝，且z·＝|z|2＝a2＋b2.‎ ‎(3)复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)‎ ‎①加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a‎1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；‎ ‎④除法：＝＝＋i(z2≠0)；‎ ‎3．复数的几何意义 ‎(1)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.‎ ‎(2)复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量1、2不共线，则复数z1＋z2是以1、2为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．‎ ‎(3)复数减法的几何意义 复数z1－z2是连接向量1、2的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．‎ ‎[体系构建]‎ 6‎ ‎[题型探究]‎ 复数的概念 ‎　当实数a为何值时，z＝a2－‎2a＋(a2－‎3a＋2)i.‎ ‎(1)为实数；‎ ‎(2)为纯虚数；‎ ‎(3)对应的点在第一象限内；‎ ‎(4)复数z对应的点在直线x－y＝0. 【导学号：31062230】‎ ‎[解]　(1)z∈R⇔a2－‎3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.‎ ‎(2)z为纯虚数， 即故a＝0.‎ ‎(3)z对应的点在第一象限，则 ‎∴∴a＜0，或a＞2.‎ ‎∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．‎ ‎(4)依题设(a2－‎2a)－(a2－‎3a＋2)＝0，‎ ‎∴a＝2.‎ ‎[规律方法]　处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部. (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为 6‎ ‎(　　)‎ A．0　 B．－1‎ C．1 D．－2‎ ‎(2)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)‎ A．－3 B．－1‎ C．1 D．3‎ ‎(1)A　(2)D　[(1)因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A.‎ ‎(2)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.]‎ 复数的几何意义 ‎　(1)在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎(2)已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝2＋，则a＝________，b＝________. ‎ ‎【导学号：31062231】‎ ‎(1)B　(2)－3　－10　[(1)＝＝＝－＋i，∴复数对应的点位于第二象限．‎ ‎(2)∵＝2＋ ‎∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)‎ 即∴]‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．若i为虚数单位，图31中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)‎ 6‎ 图31‎ A．E B．F C．G D．H D　[∵点Z(3,1)对应的复数为z，‎ ‎∴z＝3＋i，＝＝＝＝2－i，‎ 该复数对应的点的坐标是(2，－1)，即H点．]‎ 复数的四则运算 ‎　(1)已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝(　　) ‎ ‎【导学号：31062232】‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎(2)已知复数z1＝2－3i，z2＝，则等于(　　)‎ A．－4＋3i B．3＋4i C．3－4i D．4－3i ‎(1)A　(2)D　　[(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝‎2a＋2bi，‎ 由复数相等的条件得， ‎∴ ‎∴z＝1＋i，故选A.‎ ‎(2)＝＝ ‎＝＝4－3i.]‎ 母题探究：1.(变结论)本例题(1)中已知条件不变，则＝__________.‎ ‎[解析]　由解析知z＝1＋i，所以＝1－i.‎ ＝＝i.‎ 6‎ ‎[答案]　i ‎2．(变结论)本例题(2)中已知条件不变，则z1z2＝__________.‎ ‎[解析]　z1z2＝ ‎ ‎＝＝ ‎＝＝－i.‎ ‎[答案]　 －i ‎[规律方法]　(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似； (2)复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式.  (3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化.‎ 转化与化归思想 ‎　已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围. ‎ ‎【导学号：31062233】‎ ‎[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，‎ 则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.‎ 又＝＝(x－2i)(2＋i)‎ ‎＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，‎ ‎∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋‎4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限．‎ ‎∴，解得2