- 448.00 KB
- 2021-06-21 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
2.(5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(﹣4,﹣3),则向量=( )
A.(﹣7,﹣4) B.(7,4) C.(﹣1,4) D.(1,4)
3.(5分)已知复数z满足(z﹣1)i=1+i,则z=( )
A.﹣2﹣i B.﹣2+i C.2﹣i D.2+i
4.(5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B. C. D.
5.(5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
7.(5分)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=( )
A. B. C.10 D.12
8.(5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.(kπ﹣,kπ+),k∈z B.(2kπ﹣,2kπ+),k∈z
C.(k﹣,k+),k∈z D.(,2k+),k∈z
9.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
10.(5分)已知函数f(x)=,且f(α)=﹣3,则f(6﹣α)=( )
A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣
11.(5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
12.(5分)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称,且f(﹣2)+f(﹣4)=1,则a=( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.4
二、本大题共4小题,每小题5分.
13.(5分)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和,若Sn=126,则n= .
14.(5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= .
15.(5分)若x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为 .
16.(5分)已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.
(Ⅰ)若a=b,求cosB;
(Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.
18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED;
(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E﹣ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.
19.(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(xi﹣)2
(wi﹣)2
(xi﹣)(yi﹣)
(wi﹣)(yi﹣)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=i,=
(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…..(un vn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=﹣.
20.(12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于点M、N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若•=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
21.(12分)设函数f(x)=e2x﹣alnx.
(Ⅰ)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;
(Ⅱ)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln.
四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.【选修4-1:几何证明选讲】
22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.
(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;
(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.
五、【选修4-4:坐标系与参数方程】
23.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
六、【选修4-5:不等式选讲】
24.已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【分析】根据集合的基本运算进行求解.
【解答】解:A={x|x=3n+2,n∈N}={2,5,8,11,14,17,…},
则A∩B={8,14},
故集合A∩B中元素的个数为2个,
故选:D.
【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
2.(5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(﹣4,﹣3),则向量=( )
A.(﹣7,﹣4) B.(7,4) C.(﹣1,4) D.(1,4)
【分析】顺序求出有向线段,然后由=求之.
【解答】解:由已知点A(0,1),B(3,2),得到=(3,1),向量=(﹣4,﹣3),
则向量==(﹣7,﹣4);
故选:A.
【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用;注意有向线段的坐标与两个端点的关系,顺序不可颠倒.
3.(5分)已知复数z满足(z﹣1)i=1+i,则z=( )
A.﹣2﹣i B.﹣2+i C.2﹣i D.2+i
【分析】由已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z﹣1,进一步求得z.
【解答】解:由(z﹣1)i=1+i,得z﹣1=,
∴z=2﹣i.
故选:C.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题.
4.(5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】一一列举出所有的基本事件,再找到勾股数,根据概率公式计算即可.
【解答】解:从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10种,
其中只有(3,4,5)为勾股数,
故这3个数构成一组勾股数的概率为.
故选:C.
【点评】本题考查了古典概型概率的问题,关键是不重不漏的列举出所有的基本事件,属于基础题.
5.(5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
【分析】
利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标,求出椭圆的半长轴,然后求解抛物线的准线方程,求出A,B坐标,即可求解所求结果.
【解答】解:椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点(c,0)与抛物线C:y2=8x的焦点(2,0)重合,
可得c=2,a=4,b2=12,椭圆的标准方程为:,
抛物线的准线方程为:x=﹣2,
由,解得y=±3,所以A(﹣2,3),B(﹣2,﹣3).
|AB|=6.
故选:B.
【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.
6.(5分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可.
【解答】解:设圆锥的底面半径为r,则r=8,
解得r=,
故米堆的体积为××π×()2×5≈,
∵1斛米的体积约为1.62立方,
∴÷1.62≈22,
故选:B.
【点评】本题主要考查椎体的体积的计算,比较基础.
7.(5分)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=( )
A. B. C.10 D.12
【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.
【解答】解:∵{an}是公差为1的等差数列,S8=4S4,
∴8a1+×1=4×(4a1+),
解得a1=.
则a10=+9×1=.
故选:B.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
8.(5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.(kπ﹣,kπ+),k∈z B.(2kπ﹣,2kπ+),k∈z
C.(k﹣,k+),k∈z D.(,2k+),k∈z
【分析】由周期求出ω,由五点法作图求出φ,可得f(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性,求得f(x)的减区间.
【解答】解:由函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象,可得函数的周期为=2(﹣)=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+ϕ).
再根据函数的图象以及五点法作图,可得+ϕ=,k∈z,即ϕ=,f(x)=cos(πx+).
由2kπ≤πx+≤2kπ+π,求得 2k﹣≤x≤2k+,故f(x)的单调递减区间为(,2k+),k∈z,
故选:D.
【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值;还考查了余弦函数的单调性,属于基础题.
9.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:第一次执行循环体后,S=,m=,n=1,不满足退出循环的条件;
再次执行循环体后,S=,m=,n=2,不满足退出循环的条件;
再次执行循环体后,S=,m=,n=3,不满足退出循环的条件;
再次执行循环体后,S=,m=,n=4,不满足退出循环的条件;
再次执行循环体后,S=,m=,n=5,不满足退出循环的条件;
再次执行循环体后,S=,m=,n=6,不满足退出循环的条件;
再次执行循环体后,S=,m=,n=7,满足退出循环的条件;
故输出的n值为7,
故选:C.
【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.
10.(5分)已知函数f(x)=,且f(α)=﹣3,则f(6﹣α)=( )
A.﹣ B.﹣ C.﹣ D.﹣
【分析】利用分段函数,求出α,再求f(6﹣α).
【解答】解:由题意,α≤1时,2α﹣1﹣2=﹣3,无解;
α>1时,﹣log2(α+1)=﹣3,∴α=7,
∴f(6﹣α)=f(﹣1)=2﹣1﹣1﹣2=﹣.
故选:A.
【点评】本题考查分段函数,考查学生的计算能力,比较基础.
11.(5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )
A.1 B.2 C.4 D.8
【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱,计算即可.
【解答】解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知,
截圆柱的平面过圆柱的轴线,
该几何体是一个半球拼接半个圆柱,
∴其表面积为:×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2,
又∵该几何体的表面积为16+20π,
∴5πr2+4r2=16+20π,解得r=2,
故选:B.
【点评】本题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
12.(5分)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称,且f(﹣2)+f(﹣4)=1,则a=( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.4
【分析】先求出与y=2x+a的反函数的解析式,再由题意f(x)的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称,继而求出函数f(x)的解析式,问题得以解决.
【解答】解:∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数,
y=log2x﹣a(x>0),
即g(x)=log2x﹣a,(x>0).
∵函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称,
∴f(x)=﹣g(﹣x)=﹣log2(﹣x)+a,x<0,
∵f(﹣2)+f(﹣4)=1,
∴﹣log22+a﹣log24+a=1,
解得,a=2,
故选:C.
【点评】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法,属于基础题
二、本大题共4小题,每小题5分.
13.(5分)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和,若Sn=126,则n= 6 .
【分析】由an+1=2an,结合等比数列的定义可知数列{an}是a1=2为首项,以2为公比的等比数列,代入等比数列的求和公式即可求解.
【解答】解:∵an+1=2an,
∴,
∵a1=2,
∴数列{an}是a1=2为首项,以2为公比的等比数列,
∴Sn===2n+1﹣2=126,
∴2n+1=128,
∴n+1=7,
∴n=6.
故答案为:6
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,解题的关键是熟练掌握基本公式.
14.(5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= 1 .
【分析】求出函数的导数,利用切线的方程经过的点求解即可.
【解答】解:函数f(x)=ax3+x+1的导数为:f′(x)=3ax2+1,f′(1)=3a+1,而f(1)=a+2,
切线方程为:y﹣a﹣2=(3a+1)(x﹣1),因为切线方程经过(2,7),
所以7﹣a﹣2=(3a+1)(2﹣1),
解得a=1.
故答案为:1.
【点评】本题考查函数的导数的应用,切线方程的求法,考查计算能力.
15.(5分)若x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为 4 .
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,代入最优解的坐标得答案.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z,
由图可知,当直线y=﹣3x+z过B(1,1)时,直线在y轴上的截距最大,
此时z有最大值为3×1+1=4.
故答案为:4.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
16.(5分)已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为 12 .
【分析】利用双曲线的定义,确定△APF周长最小时,P的坐标,即可求出△APF周长最小时,该三角形的面积.
【解答】解:由题意,设F′是左焦点,则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2
≥|AF|+|AF′|+2(A,P,F′三点共线时,取等号),
直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0,
∴P的纵坐标为2,
∴△APF周长最小时,该三角形的面积为﹣=12.
故答案为:12.
【点评】本题考查双曲线的定义,考查三角形面积的计算,确定P的坐标是关键.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.
(Ⅰ)若a=b,求cosB;
(Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.
【分析】(I)sin2B=2sinAsinC,由正弦定理可得:b2=2ac,再利用余弦定理即可得出.
(II)利用(I)及勾股定理可得c,再利用三角形面积计算公式即可得出.
【解答】解:(I)∵sin2B=2sinAsinC,
由正弦定理可得:>0,
代入可得(bk)2=2ak•ck,
∴b2=2ac,
∵a=b,∴a=2c,
由余弦定理可得:cosB===.
(II)由(I)可得:b2=2ac,
∵B=90°,且a=,
∴a2+c2=b2=2ac,解得a=c=.
∴S△ABC==1.
【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.
(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED;
(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E﹣ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.
【分析】(Ⅰ)根据面面垂直的判定定理即可证明:平面AEC⊥平面BED;
(Ⅱ)根据三棱锥的条件公式,进行计算即可.
【解答】证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,
∵BE⊥平面ABCD,
∴AC⊥BE,
则AC⊥平面BED,
∵AC⊂平面AEC,
∴平面AEC⊥平面BED;
解:(Ⅱ)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,得AG=GC=x,GB=GD=,
∵BE⊥平面ABCD,
∴BE⊥BG,则△EBG为直角三角形,
∴EG=AC=AG=x,
则BE==x,
∵三棱锥E﹣ACD的体积V===,
解得x=2,即AB=2,
∵∠ABC=120°,
∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2×=12,
即AC=,
在三个直角三角形EBA,EBG,EBC中,斜边AE=EC=ED,
∵AE⊥EC,∴△EAC为等腰三角形,
则AE2+EC2=AC2=12,
即2AE2=12,
∴AE2=6,
则AE=,
∴从而得AE=EC=ED=,
∴△EAC的面积S==3,
在等腰三角形EAD中,过E作EF⊥AD于F,
则AE=,AF==,
则EF=,
∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==,
故该三棱锥的侧面积为3+2.
【点评】本题主要考查面面垂直的判定,以及三棱锥体积的计算,要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式.
19.(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(xi﹣)2
(wi﹣)2
(xi﹣)(yi﹣)
(wi﹣)(yi﹣)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中wi=i,=
(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:
(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?
(ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…..(un vn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=﹣.
【分析】(Ⅰ)根据散点图,即可判断出,
(Ⅱ)先建立中间量w=,建立y关于w的线性回归方程,根据公式求出w,问题得以解决;
(Ⅲ)(i)年宣传费x=49时,代入到回归方程,计算即可,
(ii)求出预报值得方程,根据函数的性质,即可求出.
【解答】解:(Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型;
(Ⅱ)令w=,先建立y关于w的线性回归方程,由于==68,
=﹣=563﹣68×6.8=100.6,
所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,
因此y关于x的回归方程为=100.6+68,
(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,
年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32,
(ii)根据(Ⅱ)的结果可知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)﹣x=﹣x+13.6+20.12,
当==6.8时,即当x=46.24时,年利润的预报值最大.
【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题,准确的计算是本题的关键,属于中档题.
20.(12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于点M、N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若•=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
【分析】(1)由题意可得,直线l的斜率存在,用点斜式求得直线l的方程,根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值,可得满足条件的k的范围.
(2)由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,根据直线和圆相交的弦长公式进行求解.
【解答】(1)由题意可得,直线l的斜率存在,
设过点A(0,1)的直线方程:y=kx+1,即:kx﹣y+1=0.
由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3),半径R=1.
故由<1,
故当<k<,过点A(0,1)的直线与圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1相交于M,N两点.
(2)设M(x1,y1);N(x2,y2),
由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程(x﹣2)
2+(y﹣3)2=1,
可得 (1+k2)x2﹣4(k+1)x+7=0,
∴x1+x2=,x1•x2=,
∴y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1
=•k2+k•+1=,
由•=x1•x2+y1•y2==12,解得 k=1,
故直线l的方程为 y=x+1,即 x﹣y+1=0.
圆心C在直线l上,MN长即为圆的直径.
所以|MN|=2.
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,以及直线和圆相交的弦长公式的计算,考查学生的计算能力.
21.(12分)设函数f(x)=e2x﹣alnx.
(Ⅰ)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;
(Ⅱ)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln.
【分析】(Ⅰ)先求导,在分类讨论,当a≤0时,当a>0时,根据零点存在定理,即可求出;
(Ⅱ)设导函数f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,根据函数f(x)的单调性得到函数的最小值f(x0),只要最小值大于2a+aln,问题得以证明.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)=e2x﹣alnx的定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=2e2x﹣.
当a≤0时,f′(x)>0恒成立,故f′(x)没有零点,
当a>0时,∵y=e2x为单调递增,y=﹣单调递增,
∴f′(x)在(0,+∞)单调递增,
又f′(a)>0,
假设存在b满足0<b<ln时,且b<,f′(b)<0,
故当a>0时,导函数f′(x)存在唯一的零点,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,可设导函数f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,
当x∈(0,x0)时,f′(x)<0,
当x∈(x0+∞)时,f′(x)>0,
故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0+∞)单调递增,
所欲当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0),
由于﹣=0,
所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln.
故当a>0时,f(x)≥2a+aln.
【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系,以及函数的零点存在定理,属于中档题.
四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.【选修4-1:几何证明选讲】
22.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.
(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;
(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.
【分析】(Ⅰ)连接AE和OE,由三角形和圆的知识易得∠OED=90°,可得DE是⊙O的切线;
(Ⅱ)设CE=1,AE=x,由射影定理可得关于x的方程x2=
,解方程可得x值,可得所求角度.
【解答】解:(Ⅰ)连接AE,由已知得AE⊥BC,AC⊥AB,
在RT△ABC中,由已知可得DE=DC,∴∠DEC=∠DCE,
连接OE,则∠OBE=∠OEB,
又∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°,
∴∠OED=90°,∴DE是⊙O的切线;
(Ⅱ)设CE=1,AE=x,
由已知得AB=2,BE=,
由射影定理可得AE2=CE•BE,
∴x2=,即x4+x2﹣12=0,
解方程可得x=
∴∠ACB=60°
【点评】本题考查圆的切线的判定,涉及射影定理和三角形的知识,属基础题.
五、【选修4-4:坐标系与参数方程】
23.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
【分析】(Ⅰ)由条件根据x=ρcosθ,y=ρsinθ求得C1,C2的极坐标方程.
(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0,求得ρ1和ρ2
的值,结合圆的半径可得C2M⊥C2N,从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值.
【解答】解:(Ⅰ)由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的
极坐标方程为 ρcosθ=﹣2,
故C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1的极坐标方程为:
(ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ﹣2)2=1,
化简可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0.
(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程θ=(ρ∈R)代入
圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,
可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0,
求得ρ1=2,ρ2=,
∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=,由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N,
△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=.
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程,点的极坐标的定义,属于基础题.
六、【选修4-5:不等式选讲】
24.已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
【分析】(Ⅰ)当a=1时,把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)化简函数f(x)的解析式,求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标,从而求得f(x)的图象与x轴围成的三角形面积;再根据f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,从而求得a的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,
即①,或②,
或③.
解①求得x∈∅,解②求得<x<1,解③求得1≤x<2.
综上可得,原不等式的解集为(,2).
(Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=,
由此求得f(x)的图象与x轴的交点A (,0),
B(2a+1,0),
故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),
由△ABC的面积大于6,
可得[2a+1﹣]•(a+1)>6,求得a>2.
故要求的a的范围为(2,+∞).
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.
相关文档
- 【2020年高考数学预测题】上海市高2021-06-2111页
- 2012年天津市高考数学试卷(文科)2021-06-2122页
- 2015年广东省高考数学试卷(文科)2021-06-2122页
- 2014年北京市高考数学试卷(理科)2021-06-2121页
- 2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新2021-06-2129页
- 2016年四川省高考数学试卷(文科)2021-06-2122页
- 2014年福建省高考数学试卷(文科)2021-06-2121页
- 2014年天津市高考数学试卷(文科)2021-06-2123页
- 2014年江苏省高考数学试卷2021-06-2129页
- 2012年四川省高考数学试卷(理科)2021-06-2129页