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  • 2021-06-21 发布

2016年四川省高考数学试卷(文科)

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2016 年四川省高考数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5 分)设 i 为虚数单位,则复数(1+i)2=( ) A.0 B.2 C.2i D.2+2i 2.(5 分)设集合 A={x|1≤x≤5},Z 为整数集,则集合 A∩Z 中元素的个数是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 3.(5 分)抛物线 y2=4x 的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) 4.(5 分)为了得到函数 y=sin(x+ )的图象,只需把函数 y=sinx 的图象上所 有的点( ) A.向左平行移动 个单位长度B.向右平行移动 个单位长度 C.向上平行移动 个单位长度 D.向下平行移动 个单位长度 5.(5 分)设 p:实数 x,y 满足 x>1 且 y>1,q:实数 x,y 满足 x+y>2,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(5 分)已知 a 为函数 f(x)=x3﹣12x 的极小值点,则 a=( ) A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2 7.(5 分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年 全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( ) (参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30) A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年 8.(5 分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在 所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算 法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为( ) A.35 B.20 C.18 D.9 9.(5 分)已知正三角形 ABC 的边长为 2 ,平面 ABC 内的动点 P,M 满足| |=1, = ,则| |2 的最大值是( ) A. B. C. D. 10.(5 分)设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)= 图象上点 P1,P2 处的切线,l1 与 l2 垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(5 分)sin750°= . 12.(5 分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 . 13.(5 分)从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字,分别记为 a,b,则 logab 为 整数的概率是 . 14.(5 分)若函数 f(x)是定义 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x) =4x,则 f(﹣ )+f(2)= . 15.(5 分)在平面直角坐标系中,当 P(x,y)不是原点时,定义 P 的“伴随点” 为 P′( , ),当 P 是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命 题:  ①若点 A 的“伴随点”是点 A′,则点 A′的“伴随点”是点 A. ‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. ƒ③若两点关于 x 轴对称,则他们的“伴随点”关于 y 轴对称 ④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 . 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.(12 分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对 居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水量 (单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…[4,4.5]分成 9 组,制成了如 图所示的频率分布直方图. (I)求直方图中的 a 值; (II)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数.说明 理由; (Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数. 17.(12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°, BC=CD= AD. (I)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由; (II)证明:平面 PAB⊥平面 PBD. 18.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 + = . (Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC; (Ⅱ)若 b2+c2﹣a2= bc,求 tanB. 19.(12 分)已知数列{an}的首项为 1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn+1=qSn+1, 其中 q>0,n ∈ N+ (Ⅰ)若 a2,a3,a2+a3 成等差数列,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设双曲线 x2﹣ =1 的离心率为 en,且 e2=2,求 e12+e22+…+en2. 20.(13 分)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点 是正三角形的三个顶点,点 P( , )在椭圆 E 上. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M,直线 OM 与椭圆 E 交于 C,D,证明:︳MA︳•︳MB︳=︳MC ︳•︳MD︳ 21.(14 分)设函数 f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x)= ﹣ ,其中 a ∈ R,e=2.718… 为自然对数的底数. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)证明:当 x>1 时,g(x)>0; (Ⅲ)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立. 2016 年四川省高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5 分)(2016•四川)设 i 为虚数单位,则复数(1+i)2=( ) A.0 B.2 C.2i D.2+2i 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解:(1+i)2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i, 故选:C. 2.(5 分)(2016•四川)设集合 A={x|1≤x≤5},Z 为整数集,则集合 A∩Z 中元 素的个数是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【分析】利用交集的运算性质即可得出. 【解答】解:∵集合 A={x|1≤x≤5},Z 为整数集, 则集合 A∩Z={1,2,3,4,5}. ∴集合 A∩Z 中元素的个数是 5. 故选:B. 3.(5 分)(2016•四川)抛物线 y2=4x 的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) 【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质,可得答案. 【解答】解:抛物线 y2=4x 的焦点坐标是(1,0), 故选:D 4.(5 分)(2016•四川)为了得到函数 y=sin(x+ )的图象,只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点( ) A.向左平行移动 个单位长度B.向右平行移动 个单位长度 C.向上平行移动 个单位长度 D.向下平行移动 个单位长度 【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则,结合平移前后函数的解析式,可 得答案. 【解答】解:由已知中平移前函数解析式为 y=sinx, 平移后函数解析式为:y=sin(x+ ), 可得平移量为向左平行移动 个单位长度, 故选:A 5.(5 分)(2016•四川)设 p:实数 x,y 满足 x>1 且 y>1,q:实数 x,y 满足 x+y>2,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】由 x>1 且 y>1,可得:x+y>2,反之不成立,例如取 x=3,y= . 【解答】解:由 x>1 且 y>1,可得:x+y>2,反之不成立:例如取 x=3,y= . ∴p 是 q 的充分不必要条件. 故选:A. 6.(5 分)(2016•四川)已知 a 为函数 f(x)=x3﹣12x 的极小值点,则 a=( ) A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2 【分析】可求导数得到 f′(x)=3x2﹣12,可通过判断导数符号从而得出 f(x)的 极小值点,从而得出 a 的值. 【解答】解:f′(x)=3x2﹣12; ∴x<﹣2 时,f′(x)>0,﹣2<x<2 时,f′(x)<0,x>2 时,f′(x)>0; ∴x=2 是 f(x)的极小值点; 又 a 为 f(x)的极小值点; ∴a=2. 故选 D. 7.(5 分)(2016•四川)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该 公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比 上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 ( ) (参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30) A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年 【分析】设第 n 年开始超过 200 万元,可得 130×(1+12%)n﹣2015>200,两边 取对数即可得出. 【解答】解:设第 n 年开始超过 200 万元, 则 130×(1+12%)n﹣2015>200, 化为:(n﹣2015)lg1.12>lg2﹣lg1.3, n﹣2015> =3.8. 取 n=2019. 因此开始超过 200 万元的年份是 2019 年. 故选:B. 8.(5 分)(2016•四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳 县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是 比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个 实例,若输入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为( ) A.35 B.20 C.18 D.9 【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 v 的值,模拟程序的运行过程,可得答案. 【解答】解:∵输入的 x=2,n=3, 故 v=1,i=2,满足进行循环的条件,v=4,i=1, 满足进行循环的条件,v=9,i=0, 满足进行循环的条件,v=18,i=﹣1 不满足进行循环的条件, 故输出的 v 值为: 故选:C 9.(5 分)(2016•四川)已知正三角形 ABC 的边长为 2 ,平面 ABC 内的动点 P, M 满足| |=1, = ,则| |2 的最大值是( ) A. B. C. D. 【分析】如图所示,建立直角坐标系.B(0,0),C .A .点 P 的轨迹方程为: =1,令 x= +cosθ,y=3+sinθ,θ ∈ [0,2π).又 = ,可得 M ,代入| |2= +3sin , 即可得出. 【解答】解:如图所示,建立直角坐标系. B(0,0),C . A . ∵M 满足| |=1, ∴点 P 的轨迹方程为: =1, 令 x= +cosθ,y=3+sinθ,θ ∈ [0,2π). 又 = ,则 M , ∴| |2= + = +3sin ≤ . ∴| |2 的最大值是 . 故选:B. 10.(5 分)(2016•四川)设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)= 图象 上点 P1,P2 处的切线,l1 与 l2 垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A, B,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【分析】设出点 P1,P2 的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线 l1 与 l2 的斜 率,由两直线垂直求得 P1,P2 的横坐标的乘积为 1,再分别写出两直线的点斜式 方程,求得 A,B 两点的纵坐标,得到|AB|,联立两直线方程求得 P 的横坐标, 然后代入三角形面积公式,利用基本不等式求得△PAB 的面积的取值范围. 【解答】解:设 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(0<x1<1<x2), 当 0<x<1 时,f′(x)= ,当 x>1 时,f′(x)= , ∴l1 的斜率 ,l2 的斜率 , ∵l1 与 l2 垂直,且 x2>x1>0, ∴ ,即 x1x2=1. 直线 l1: ,l2: . 取 x=0 分别得到 A(0,1﹣lnx1),B(0,﹣1+lnx2), |AB|=|1﹣lnx1﹣(﹣1+lnx2)|=|2﹣(lnx1+lnx2)|=|2﹣lnx1x2|=2. 联立两直线方程可得交点 P 的横坐标为 x= , ∴ |AB|•|xP|= = . ∵函数 y=x+ 在(0,1)上为减函数,且 0<x1<1, ∴ ,则 , ∴ . ∴△PAB 的面积的取值范围是(0,1). 故选:A. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(5 分)(2016•四川)sin750°= . 【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案. 【解答】解:sin750°=sin(2×360°+30°)=sin30°= , 故答案为: . 12.(5 分)(2016•四川)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积 是 . 【分析】几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,棱锥的高为 1,代入体积公式 计算即可. 【解答】解:由三视图可知几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,底面积 S= = ,棱锥的高为 h=1, ∴棱锥的体积 V= Sh= = . 故答案为: . 13.(5 分)(2016•四川)从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字,分别记为 a,b, 则 logab 为整数的概率是 . 【分析】由已知条件先求出基本事件总数,再利用列举法求出 logab 为整数满足 的基本事件个数,由此能求出 logab 为整数的概率. 【解答】解:从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字,分别记为 a,b, 基本事件总数 n= =12, logab 为整数满足的基本事件个数为(2,8),(3,9),共 2 个, ∴logab 为整数的概率 p= . 故答案为: . 14.(5 分)(2016•四川)若函数 f(x)是定义 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0 <x<1 时,f(x)=4x,则 f(﹣ )+f(2)= ﹣2 . 【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可. 【解答】解:∵函数 f(x)是定义 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f (x)=4x, ∴f(2)=f(0)=0, f(﹣ )=f(﹣ +2)=f(﹣ )=﹣f( )=﹣ =﹣ =﹣2, 则 f(﹣ )+f(2)=﹣2+0=﹣2, 故答案为:﹣2. 15.(5 分)(2016•四川)在平面直角坐标系中,当 P(x,y)不是原点时,定义 P 的“伴随点”为 P′( , ),当 P 是原点时,定义“伴随点”为它自身, 现有下列命题:  ①若点 A 的“伴随点”是点 A′,则点 A′的“伴随点”是点 A. ‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上. ƒ③若两点关于 x 轴对称,则他们的“伴随点”关于 y 轴对称 ④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是 ②③ . 【分析】根据“伴随点”的定义,分别进行判断即可,对应不成立的命题,利用特 殊值法进行排除即可. 【解答】解:①设 A(0,1),则 A 的“伴随点”为 A′(1,0), 而 A′(1,0)的“伴随点”为(0,﹣1),不是 A,故①错误, ②若点在单位圆上,则 x2+y2=1, 即 P(x,y)不是原点时,定义 P 的“伴随点”为 P(y,﹣x), 满足 y2+(﹣x)2=1,即 P′也在单位圆上,故②正确, ③若两点关于 x 轴对称,设 P(x,y),对称点为 Q(x,﹣y), 则 Q(x,﹣y)的“伴随点”为 Q′(﹣ , ), 则 Q′(﹣ , )与 P′( , )关于 y 轴对称,故③正确, ④∵(﹣1,1),(0,1),(1,1)三点在直线 y=1 上, ∴(﹣1,1)的“伴随点”为( , ),即( , ), (0,1)的“伴随点”为(1,0),(1,1 的“伴随点”为( ,﹣ ),即( , ﹣ ), 则( , ),(1,0),( ,﹣ )三点不在同一直线上,故④错误, 故答案为:②③ 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16.(12 分)(2016•四川)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的 节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年 100 位居民每人 的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…[4,4.5]分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图. (I)求直方图中的 a 值; (II)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数.说明 理由; (Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数. 【分析】(I)先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出 9 个矩形 的面积即频率,再根据直方图的总频率为 1 求出 a 的值; (II)根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于 3 吨的频率,结合 样本容量为 30 万,进而得解. (Ⅲ)根据频率分布直方图,求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的 值. 【解答】解:(I)∵1=(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5,整理 可得:2=1.4+2a, ∴解得:a=0.3. (II)估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 3.6 万,理由如下: 由 已 知 中 的 频 率 分 布 直 方 图 可 得 月 均 用 水 量 不 低 于 3 吨 的 频 率 为 (0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12, 又样本容量=30 万, 则样本中月均用水量不低于 3 吨的户数为 30×0.12=3.6 万. (Ⅲ)根据频率分布直方图,得; 0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47<0.5, 0.47+0.5×0.52=0.73>0.5, ∴中位数应在(2,2.5]组内,设出未知数 x, 令 0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x=0.5, 解得 x=0.06; ∴中位数是 2+0.06=2.06. 17.(12 分)(2016•四川)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD. (I)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由; (II)证明:平面 PAB⊥平面 PBD. 【分析】(I)M 为 PD 的中点,直线 CM∥平面 PAB.取 AD 的中点 E,连接 CM, ME,CE,则 ME∥PA,证明平面 CME∥平面 PAB,即可证明直线 CM∥平面 PAB; (II)证明:BD⊥平面 PAB,即可证明平面 PAB⊥平面 PBD. 【解答】证明:(I)M 为 PD 的中点,直线 CM∥平面 PAB. 取 AD 的中点 E,连接 CM,ME,CE,则 ME∥PA, ∵ME ⊄ 平面 PAB,PA ⊂ 平面 PAB, ∴ME∥平面 PAB. ∵AD∥BC,BC=AE, ∴ABCE 是平行四边形, ∴CE∥AB. ∵CE ⊄ 平面 PAB,AB ⊂ 平面 PAB, ∴CE∥平面 PAB. ∵ME∩CE=E, ∴平面 CME∥平面 PAB, ∵CM ⊂ 平面 CME, ∴CM∥平面 PAB; (II)∵PA⊥CD,∠PAB=90°,AB 与 CD 相交, ∴PA⊥平面 ABCD, ∵BD ⊂ 平面 ABCD, ∴PA⊥BD, 由(I)及 BC=CD= AD,可得∠BAD=∠BDA=45°, ∴∠ABD=90°,∴BD⊥AB, ∵PA∩AB=A, ∴BD⊥平面 PAB, ∵BD ⊂ 平面 PBD, ∴平面 PAB⊥平面 PBD. 18.(12 分)(2016•四川)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, 且 + = . (Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC; (Ⅱ)若 b2+c2﹣a2= bc,求 tanB. 【分析】(Ⅰ)将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理,利用正弦定 理,即可证明. (Ⅱ)由余弦定理求出 A 的余弦函数值,利用(Ⅰ)的条件,求解 B 的正切函 数值即可. 【解答】(Ⅰ)证明:在△ABC 中,∵ + = , ∴由正弦定理得: , ∴ = , ∵sin(A+B)=sinC. ∴整理可得:sinAsinB=sinC, (Ⅱ)解:b2+c2﹣a2= bc,由余弦定理可得 cosA= . sinA= , = + = =1, = , tanB=4. 19.(12 分)(2016•四川)已知数列{an}的首项为 1,Sn 为数列{an}的前 n 项和, Sn+1=qSn+1,其中 q>0,n ∈ N+ (Ⅰ)若 a2,a3,a2+a3 成等差数列,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设双曲线 x2﹣ =1 的离心率为 en,且 e2=2,求 e12+e22+…+en2. 【分析】(Ⅰ)根据题意,由数列的递推公式可得 a2 与 a3 的值,又由 a2,a3,a2+a3 成等差数列,可得 2a3=a2+(a2+a3),代入 a2 与 a3 的值可得 q2=2q,解可得 q 的值, 进而可得 Sn+1=2Sn+1,进而可得 Sn=2Sn﹣1+1,将两式相减可得 an=2an﹣1,即可得数 列{an}是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列,由等比数列的通项公式计算可得答 案; (Ⅱ)根据题意 Sn+1=qSn+1,同理有 Sn=qSn﹣1+1,将两式相减可得 an=qan﹣1,分析 可得 an=qn ﹣ 1 ;又由双曲线 x2 ﹣ =1 的离心率为 en ,且 e2=2,分析可得 e2= =2, 解可得 a2 的值,由 an=qn﹣1 可得 q 的值,进而可得数列{an}的通项公式,再次由 双曲线的几何性质可得 en2=1+an2=1+3n﹣1,运用分组求和法计算可得答案. 【解答】解:(Ⅰ)根据题意,数列{an}的首项为 1,即 a1=1, 又由 Sn+1=qSn+1,则 S2=qa1+1,则 a2=q, 又有 S3=qS2+1,则有 a3=q2, 若 a2,a3,a2+a3 成等差数列,即 2a3=a2+(a2+a3), 则可得 q2=2q,(q>0), 解可得 q=2, 则有 Sn+1=2Sn+1,① 进而有 Sn=2Sn﹣1+1,② ①﹣②可得 an=2an﹣1, 则数列{an}是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列, 则 an=1×2n﹣1=2n﹣1; (Ⅱ)根据题意,有 Sn+1=qSn+1,③ 同理可得 Sn=qSn﹣1+1,④ ③﹣④可得:an=qan﹣1, 又由 q>0, 则数列{an}是以 1 为首项,公比为 q 的等比数列,则 an=1×qn﹣1=qn﹣1; 若 e2=2,则 e2= =2, 解可得 a2= , 则 a2=q= ,即 q= , an=1×qn﹣1=qn﹣1=( )n﹣1, 则 en2=1+an2=1+3n﹣1, 故 e12+e22+…+en2=n+(1+3+32+…+3n﹣1)=n+ . 20.(13 分)(2016•四川)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的一个焦点与短 轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点 P( , )在椭圆 E 上. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M,直线 OM 与椭圆 E 交于 C,D,证明:︳MA︳•︳MB︳=︳MC ︳•︳MD︳ 【分析】(Ⅰ)由题意可得 a=2b,再把已知点的坐标代入椭圆方程,结合隐含条 件求得 a,b 得答案; (Ⅱ)设出直线方程,与椭圆方程联立,求出弦长及 AB 中点坐标,得到 OM 所 在直线方程,再与椭圆方程联立,求出 C,D 的坐标,把︳MA︳•︳MB︳化为 ,再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案. 【解答】(Ⅰ)解:如图, 由题意可得 ,解得 a2=4,b2=1, ∴椭圆 E 的方程为 ; (Ⅱ)证明:设 AB 所在直线方程为 y= , 联立 ,得 x2+2mx+2m2﹣2=0. ∴△=4m2﹣4(2m2﹣2)=8﹣4m2>0,即 . 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 则 , |AB|= = . ∴x0=﹣m, ,即 M( ), 则 OM 所在直线方程为 y=﹣ , 联立 ,得 或 . ∴C(﹣ , ),D( ,﹣ ). 则︳MC︳•︳MD︳= = = . 而︳MA︳•︳MB︳= (10﹣5m2)= . ∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳. 21.(14 分)(2016•四川)设函数 f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x)= ﹣ ,其中 a ∈ R,e=2.718…为自然对数的底数. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)证明:当 x>1 时,g(x)>0; (Ⅲ)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立. 【分析】(Ⅰ)求导数,分类讨论,即可讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)要证 g(x)>0(x>1),即 ﹣ >0,即证 ,也就是证 ; ( Ⅲ ) 由 f ( x ) > g ( x ), 得 , 设 t ( x ) = ,由题意知,t(x)>0 在(1,+∞)内恒成立,再构 造函数,求导数,即可确定 a 的取值范围. 【解答】(Ⅰ)解:由 f(x)=ax2﹣a﹣lnx,得 f′(x)=2ax﹣ = (x>0), 当 a≤0 时,f′(x)<0 在(0,+∞)成立,则 f(x)为(0,+∞)上的减函数; 当 a>0 时,由 f′(x)=0,得 x= = , ∴当 x ∈ (0, )时,f′(x)<0,当 x ∈ ( ,+∞)时,f′(x)>0, 则 f(x)在(0, )上为减函数,在( ,+∞)上为增函数; 综上,当 a≤0 时,f(x)为(0,+∞)上的减函数,当 a>0 时,f(x)在(0, )上为减函数,在( ,+∞)上为增函数; (Ⅱ)证明:要证 g(x)>0(x>1),即 ﹣ >0, 即证 ,也就是证 , 令 h(x)= ,则 h′(x)= , ∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,则 h(x)min=h(1)=e, 即当 x>1 时,h(x)>e,∴当 x>1 时,g(x)>0; (Ⅲ)解:由 f(x)>g(x),得 , 设 t(x)= , 由题意知,t(x)>0 在(1,+∞)内恒成立, ∵t(1)=0, ∴有 t′(x)=2ax = ≥0 在(1,+∞)内恒成立, 令φ(x)= , 则φ′(x)=2a = , 当 x≥2 时,φ′(x)>0, 令 h(x)= ,h′(x)= ,函数在[1,2)上单调递增,∴h(x)min=h (1)=﹣1. 又 2a≥1,e1﹣x>0,∴1<x<2,φ′(x)>0, 综上所述,x>1,φ′(x)>0,φ(x)在区间(1,+∞)单调递增, ∴t′(x)>t′(1)≥0,即 t(x)在区间(1,+∞)单调递增, ∴a≥ .