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- 2021-06-21 发布
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2016 年四川省高考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选
项中,只有一个是符合题目要求的.
1.(5 分)设 i 为虚数单位,则复数(1+i)2=( )
A.0 B.2 C.2i D.2+2i
2.(5 分)设集合 A={x|1≤x≤5},Z 为整数集,则集合 A∩Z 中元素的个数是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.(5 分)抛物线 y2=4x 的焦点坐标是( )
A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0)
4.(5 分)为了得到函数 y=sin(x+ )的图象,只需把函数 y=sinx 的图象上所
有的点( )
A.向左平行移动 个单位长度B.向右平行移动 个单位长度
C.向上平行移动 个单位长度 D.向下平行移动 个单位长度
5.(5 分)设 p:实数 x,y 满足 x>1 且 y>1,q:实数 x,y 满足 x+y>2,则 p
是 q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.(5 分)已知 a 为函数 f(x)=x3﹣12x 的极小值点,则 a=( )
A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2
7.(5 分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年
全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长
12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( )
(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)
A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年
8.(5 分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在
所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算
法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入
n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为( )
A.35 B.20 C.18 D.9
9.(5 分)已知正三角形 ABC 的边长为 2 ,平面 ABC 内的动点 P,M 满足| |=1,
= ,则| |2 的最大值是( )
A. B. C. D.
10.(5 分)设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)= 图象上点 P1,P2
处的切线,l1 与 l2 垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB
的面积的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.(5 分)sin750°= .
12.(5 分)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .
13.(5 分)从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字,分别记为 a,b,则 logab 为
整数的概率是 .
14.(5 分)若函数 f(x)是定义 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)
=4x,则 f(﹣ )+f(2)= .
15.(5 分)在平面直角坐标系中,当 P(x,y)不是原点时,定义 P 的“伴随点”
为 P′( , ),当 P 是原点时,定义“伴随点”为它自身,现有下列命
题:
①若点 A 的“伴随点”是点 A′,则点 A′的“伴随点”是点 A.
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.
③若两点关于 x 轴对称,则他们的“伴随点”关于 y 轴对称
④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是 .
三、解答题(共 6 小题,满分 75 分)
16.(12 分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对
居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水量
(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…[4,4.5]分成 9 组,制成了如
图所示的频率分布直方图.
(I)求直方图中的 a 值;
(II)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数.说明
理由;
(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数.
17.(12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,
BC=CD= AD.
(I)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由;
(II)证明:平面 PAB⊥平面 PBD.
18.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 + = .
(Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC;
(Ⅱ)若 b2+c2﹣a2= bc,求 tanB.
19.(12 分)已知数列{an}的首项为 1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn+1=qSn+1,
其中 q>0,n
∈
N+
(Ⅰ)若 a2,a3,a2+a3 成等差数列,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设双曲线 x2﹣ =1 的离心率为 en,且 e2=2,求 e12+e22+…+en2.
20.(13 分)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点
是正三角形的三个顶点,点 P( , )在椭圆 E 上.
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
(Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段
AB 的中点为 M,直线 OM 与椭圆 E 交于 C,D,证明:︳MA︳•︳MB︳=︳MC
︳•︳MD︳
21.(14 分)设函数 f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x)= ﹣ ,其中 a
∈
R,e=2.718…
为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明:当 x>1 时,g(x)>0;
(Ⅲ)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.
2016 年四川省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选
项中,只有一个是符合题目要求的.
1.(5 分)(2016•四川)设 i 为虚数单位,则复数(1+i)2=( )
A.0 B.2 C.2i D.2+2i
【分析】利用复数的运算法则即可得出.
【解答】解:(1+i)2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i,
故选:C.
2.(5 分)(2016•四川)设集合 A={x|1≤x≤5},Z 为整数集,则集合 A∩Z 中元
素的个数是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【分析】利用交集的运算性质即可得出.
【解答】解:∵集合 A={x|1≤x≤5},Z 为整数集,
则集合 A∩Z={1,2,3,4,5}.
∴集合 A∩Z 中元素的个数是 5.
故选:B.
3.(5 分)(2016•四川)抛物线 y2=4x 的焦点坐标是( )
A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0)
【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质,可得答案.
【解答】解:抛物线 y2=4x 的焦点坐标是(1,0),
故选:D
4.(5 分)(2016•四川)为了得到函数 y=sin(x+ )的图象,只需把函数 y=sinx
的图象上所有的点( )
A.向左平行移动 个单位长度B.向右平行移动 个单位长度
C.向上平行移动 个单位长度 D.向下平行移动 个单位长度
【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则,结合平移前后函数的解析式,可
得答案.
【解答】解:由已知中平移前函数解析式为 y=sinx,
平移后函数解析式为:y=sin(x+ ),
可得平移量为向左平行移动 个单位长度,
故选:A
5.(5 分)(2016•四川)设 p:实数 x,y 满足 x>1 且 y>1,q:实数 x,y 满足
x+y>2,则 p 是 q 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】由 x>1 且 y>1,可得:x+y>2,反之不成立,例如取 x=3,y= .
【解答】解:由 x>1 且 y>1,可得:x+y>2,反之不成立:例如取 x=3,y= .
∴p 是 q 的充分不必要条件.
故选:A.
6.(5 分)(2016•四川)已知 a 为函数 f(x)=x3﹣12x 的极小值点,则 a=( )
A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2
【分析】可求导数得到 f′(x)=3x2﹣12,可通过判断导数符号从而得出 f(x)的
极小值点,从而得出 a 的值.
【解答】解:f′(x)=3x2﹣12;
∴x<﹣2 时,f′(x)>0,﹣2<x<2 时,f′(x)<0,x>2 时,f′(x)>0;
∴x=2 是 f(x)的极小值点;
又 a 为 f(x)的极小值点;
∴a=2.
故选 D.
7.(5 分)(2016•四川)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该
公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比
上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是
( )
(参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)
A.2018 年 B.2019 年 C.2020 年 D.2021 年
【分析】设第 n 年开始超过 200 万元,可得 130×(1+12%)n﹣2015>200,两边
取对数即可得出.
【解答】解:设第 n 年开始超过 200 万元,
则 130×(1+12%)n﹣2015>200,
化为:(n﹣2015)lg1.12>lg2﹣lg1.3,
n﹣2015> =3.8.
取 n=2019.
因此开始超过 200 万元的年份是 2019 年.
故选:B.
8.(5 分)(2016•四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳
县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是
比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个
实例,若输入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为( )
A.35 B.20 C.18 D.9
【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变
量 v 的值,模拟程序的运行过程,可得答案.
【解答】解:∵输入的 x=2,n=3,
故 v=1,i=2,满足进行循环的条件,v=4,i=1,
满足进行循环的条件,v=9,i=0,
满足进行循环的条件,v=18,i=﹣1
不满足进行循环的条件,
故输出的 v 值为:
故选:C
9.(5 分)(2016•四川)已知正三角形 ABC 的边长为 2 ,平面 ABC 内的动点 P,
M 满足| |=1, = ,则| |2 的最大值是( )
A. B. C. D.
【分析】如图所示,建立直角坐标系.B(0,0),C .A .点
P 的轨迹方程为: =1,令 x= +cosθ,y=3+sinθ,θ
∈
[0,2π).又
= ,可得 M ,代入| |2= +3sin ,
即可得出.
【解答】解:如图所示,建立直角坐标系.
B(0,0),C .
A .
∵M 满足| |=1,
∴点 P 的轨迹方程为: =1,
令 x= +cosθ,y=3+sinθ,θ
∈
[0,2π).
又 = ,则 M ,
∴| |2= + = +3sin ≤ .
∴| |2 的最大值是 .
故选:B.
10.(5 分)(2016•四川)设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)= 图象
上点 P1,P2 处的切线,l1 与 l2 垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,
B,则△PAB 的面积的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
【分析】设出点 P1,P2 的坐标,求出原分段函数的导函数,得到直线 l1 与 l2 的斜
率,由两直线垂直求得 P1,P2 的横坐标的乘积为 1,再分别写出两直线的点斜式
方程,求得 A,B 两点的纵坐标,得到|AB|,联立两直线方程求得 P 的横坐标,
然后代入三角形面积公式,利用基本不等式求得△PAB 的面积的取值范围.
【解答】解:设 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(0<x1<1<x2),
当 0<x<1 时,f′(x)= ,当 x>1 时,f′(x)= ,
∴l1 的斜率 ,l2 的斜率 ,
∵l1 与 l2 垂直,且 x2>x1>0,
∴ ,即 x1x2=1.
直线 l1: ,l2: .
取 x=0 分别得到 A(0,1﹣lnx1),B(0,﹣1+lnx2),
|AB|=|1﹣lnx1﹣(﹣1+lnx2)|=|2﹣(lnx1+lnx2)|=|2﹣lnx1x2|=2.
联立两直线方程可得交点 P 的横坐标为 x= ,
∴ |AB|•|xP|= = .
∵函数 y=x+ 在(0,1)上为减函数,且 0<x1<1,
∴ ,则 ,
∴ .
∴△PAB 的面积的取值范围是(0,1).
故选:A.
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.(5 分)(2016•四川)sin750°= .
【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案.
【解答】解:sin750°=sin(2×360°+30°)=sin30°= ,
故答案为: .
12.(5 分)(2016•四川)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积
是 .
【分析】几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,棱锥的高为 1,代入体积公式
计算即可.
【解答】解:由三视图可知几何体为三棱锥,底面为俯视图三角形,底面积
S= = ,棱锥的高为 h=1,
∴棱锥的体积 V= Sh= = .
故答案为: .
13.(5 分)(2016•四川)从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字,分别记为 a,b,
则 logab 为整数的概率是 .
【分析】由已知条件先求出基本事件总数,再利用列举法求出 logab 为整数满足
的基本事件个数,由此能求出 logab 为整数的概率.
【解答】解:从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字,分别记为 a,b,
基本事件总数 n= =12,
logab 为整数满足的基本事件个数为(2,8),(3,9),共 2 个,
∴logab 为整数的概率 p= .
故答案为: .
14.(5 分)(2016•四川)若函数 f(x)是定义 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0
<x<1 时,f(x)=4x,则 f(﹣ )+f(2)= ﹣2 .
【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可.
【解答】解:∵函数 f(x)是定义 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f
(x)=4x,
∴f(2)=f(0)=0,
f(﹣ )=f(﹣ +2)=f(﹣ )=﹣f( )=﹣ =﹣ =﹣2,
则 f(﹣ )+f(2)=﹣2+0=﹣2,
故答案为:﹣2.
15.(5 分)(2016•四川)在平面直角坐标系中,当 P(x,y)不是原点时,定义
P 的“伴随点”为 P′( , ),当 P 是原点时,定义“伴随点”为它自身,
现有下列命题:
①若点 A 的“伴随点”是点 A′,则点 A′的“伴随点”是点 A.
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.
③若两点关于 x 轴对称,则他们的“伴随点”关于 y 轴对称
④若三点在同一条直线上,则他们的“伴随点”一定共线.
其中的真命题是 ②③ .
【分析】根据“伴随点”的定义,分别进行判断即可,对应不成立的命题,利用特
殊值法进行排除即可.
【解答】解:①设 A(0,1),则 A 的“伴随点”为 A′(1,0),
而 A′(1,0)的“伴随点”为(0,﹣1),不是 A,故①错误,
②若点在单位圆上,则 x2+y2=1,
即 P(x,y)不是原点时,定义 P 的“伴随点”为 P(y,﹣x),
满足 y2+(﹣x)2=1,即 P′也在单位圆上,故②正确,
③若两点关于 x 轴对称,设 P(x,y),对称点为 Q(x,﹣y),
则 Q(x,﹣y)的“伴随点”为 Q′(﹣ , ),
则 Q′(﹣ , )与 P′( , )关于 y 轴对称,故③正确,
④∵(﹣1,1),(0,1),(1,1)三点在直线 y=1 上,
∴(﹣1,1)的“伴随点”为( , ),即( , ),
(0,1)的“伴随点”为(1,0),(1,1 的“伴随点”为( ,﹣ ),即( ,
﹣ ),
则( , ),(1,0),( ,﹣ )三点不在同一直线上,故④错误,
故答案为:②③
三、解答题(共 6 小题,满分 75 分)
16.(12 分)(2016•四川)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的
节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年 100 位居民每人
的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…[4,4.5]分成 9
组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(I)求直方图中的 a 值;
(II)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数.说明
理由;
(Ⅲ)估计居民月均用水量的中位数.
【分析】(I)先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出 9 个矩形
的面积即频率,再根据直方图的总频率为 1 求出 a 的值;
(II)根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于 3 吨的频率,结合
样本容量为 30 万,进而得解.
(Ⅲ)根据频率分布直方图,求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的
值.
【解答】解:(I)∵1=(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5,整理
可得:2=1.4+2a,
∴解得:a=0.3.
(II)估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 3.6 万,理由如下:
由 已 知 中 的 频 率 分 布 直 方 图 可 得 月 均 用 水 量 不 低 于 3 吨 的 频 率 为
(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12,
又样本容量=30 万,
则样本中月均用水量不低于 3 吨的户数为 30×0.12=3.6 万.
(Ⅲ)根据频率分布直方图,得;
0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47<0.5,
0.47+0.5×0.52=0.73>0.5,
∴中位数应在(2,2.5]组内,设出未知数 x,
令 0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x=0.5,
解得 x=0.06;
∴中位数是 2+0.06=2.06.
17.(12 分)(2016•四川)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥CD,AD∥BC,∠
ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.
(I)在平面 PAD 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PAB,并说明理由;
(II)证明:平面 PAB⊥平面 PBD.
【分析】(I)M 为 PD 的中点,直线 CM∥平面 PAB.取 AD 的中点 E,连接 CM,
ME,CE,则 ME∥PA,证明平面 CME∥平面 PAB,即可证明直线 CM∥平面 PAB;
(II)证明:BD⊥平面 PAB,即可证明平面 PAB⊥平面 PBD.
【解答】证明:(I)M 为 PD 的中点,直线 CM∥平面 PAB.
取 AD 的中点 E,连接 CM,ME,CE,则 ME∥PA,
∵ME
⊄
平面 PAB,PA
⊂
平面 PAB,
∴ME∥平面 PAB.
∵AD∥BC,BC=AE,
∴ABCE 是平行四边形,
∴CE∥AB.
∵CE
⊄
平面 PAB,AB
⊂
平面 PAB,
∴CE∥平面 PAB.
∵ME∩CE=E,
∴平面 CME∥平面 PAB,
∵CM
⊂
平面 CME,
∴CM∥平面 PAB;
(II)∵PA⊥CD,∠PAB=90°,AB 与 CD 相交,
∴PA⊥平面 ABCD,
∵BD
⊂
平面 ABCD,
∴PA⊥BD,
由(I)及 BC=CD= AD,可得∠BAD=∠BDA=45°,
∴∠ABD=90°,∴BD⊥AB,
∵PA∩AB=A,
∴BD⊥平面 PAB,
∵BD
⊂
平面 PBD,
∴平面 PAB⊥平面 PBD.
18.(12 分)(2016•四川)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,
且 + = .
(Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC;
(Ⅱ)若 b2+c2﹣a2= bc,求 tanB.
【分析】(Ⅰ)将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理,利用正弦定
理,即可证明.
(Ⅱ)由余弦定理求出 A 的余弦函数值,利用(Ⅰ)的条件,求解 B 的正切函
数值即可.
【解答】(Ⅰ)证明:在△ABC 中,∵ + = ,
∴由正弦定理得: ,
∴ = ,
∵sin(A+B)=sinC.
∴整理可得:sinAsinB=sinC,
(Ⅱ)解:b2+c2﹣a2= bc,由余弦定理可得 cosA= .
sinA= , =
+ = =1, = ,
tanB=4.
19.(12 分)(2016•四川)已知数列{an}的首项为 1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,
Sn+1=qSn+1,其中 q>0,n
∈
N+
(Ⅰ)若 a2,a3,a2+a3 成等差数列,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设双曲线 x2﹣ =1 的离心率为 en,且 e2=2,求 e12+e22+…+en2.
【分析】(Ⅰ)根据题意,由数列的递推公式可得 a2 与 a3 的值,又由 a2,a3,a2+a3
成等差数列,可得 2a3=a2+(a2+a3),代入 a2 与 a3 的值可得 q2=2q,解可得 q 的值,
进而可得 Sn+1=2Sn+1,进而可得 Sn=2Sn﹣1+1,将两式相减可得 an=2an﹣1,即可得数
列{an}是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列,由等比数列的通项公式计算可得答
案;
(Ⅱ)根据题意 Sn+1=qSn+1,同理有 Sn=qSn﹣1+1,将两式相减可得 an=qan﹣1,分析
可得 an=qn ﹣ 1 ;又由双曲线 x2 ﹣ =1 的离心率为 en ,且 e2=2,分析可得
e2= =2,
解可得 a2 的值,由 an=qn﹣1 可得 q 的值,进而可得数列{an}的通项公式,再次由
双曲线的几何性质可得 en2=1+an2=1+3n﹣1,运用分组求和法计算可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)根据题意,数列{an}的首项为 1,即 a1=1,
又由 Sn+1=qSn+1,则 S2=qa1+1,则 a2=q,
又有 S3=qS2+1,则有 a3=q2,
若 a2,a3,a2+a3 成等差数列,即 2a3=a2+(a2+a3),
则可得 q2=2q,(q>0),
解可得 q=2,
则有 Sn+1=2Sn+1,①
进而有 Sn=2Sn﹣1+1,②
①﹣②可得 an=2an﹣1,
则数列{an}是以 1 为首项,公比为 2 的等比数列,
则 an=1×2n﹣1=2n﹣1;
(Ⅱ)根据题意,有 Sn+1=qSn+1,③
同理可得 Sn=qSn﹣1+1,④
③﹣④可得:an=qan﹣1,
又由 q>0,
则数列{an}是以 1 为首项,公比为 q 的等比数列,则 an=1×qn﹣1=qn﹣1;
若 e2=2,则 e2= =2,
解可得 a2= ,
则 a2=q= ,即 q= ,
an=1×qn﹣1=qn﹣1=( )n﹣1,
则 en2=1+an2=1+3n﹣1,
故 e12+e22+…+en2=n+(1+3+32+…+3n﹣1)=n+ .
20.(13 分)(2016•四川)已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的一个焦点与短
轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点 P( , )在椭圆 E 上.
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
(Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段
AB 的中点为 M,直线 OM 与椭圆 E 交于 C,D,证明:︳MA︳•︳MB︳=︳MC
︳•︳MD︳
【分析】(Ⅰ)由题意可得 a=2b,再把已知点的坐标代入椭圆方程,结合隐含条
件求得 a,b 得答案;
(Ⅱ)设出直线方程,与椭圆方程联立,求出弦长及 AB 中点坐标,得到 OM 所
在直线方程,再与椭圆方程联立,求出 C,D 的坐标,把︳MA︳•︳MB︳化为
,再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案.
【解答】(Ⅰ)解:如图,
由题意可得 ,解得 a2=4,b2=1,
∴椭圆 E 的方程为 ;
(Ⅱ)证明:设 AB 所在直线方程为 y= ,
联立 ,得 x2+2mx+2m2﹣2=0.
∴△=4m2﹣4(2m2﹣2)=8﹣4m2>0,即 .
设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则 ,
|AB|= =
.
∴x0=﹣m, ,即 M( ),
则 OM 所在直线方程为 y=﹣ ,
联立 ,得 或 .
∴C(﹣ , ),D( ,﹣ ).
则︳MC︳•︳MD︳=
= = .
而︳MA︳•︳MB︳= (10﹣5m2)= .
∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳.
21.(14 分)(2016•四川)设函数 f(x)=ax2﹣a﹣lnx,g(x)= ﹣ ,其中 a
∈
R,e=2.718…为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明:当 x>1 时,g(x)>0;
(Ⅲ)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.
【分析】(Ⅰ)求导数,分类讨论,即可讨论 f(x)的单调性;
(Ⅱ)要证 g(x)>0(x>1),即 ﹣ >0,即证 ,也就是证 ;
( Ⅲ ) 由 f ( x ) > g ( x ), 得 , 设 t ( x )
= ,由题意知,t(x)>0 在(1,+∞)内恒成立,再构
造函数,求导数,即可确定 a 的取值范围.
【解答】(Ⅰ)解:由 f(x)=ax2﹣a﹣lnx,得 f′(x)=2ax﹣ = (x>0),
当 a≤0 时,f′(x)<0 在(0,+∞)成立,则 f(x)为(0,+∞)上的减函数;
当 a>0 时,由 f′(x)=0,得 x= = ,
∴当 x
∈
(0, )时,f′(x)<0,当 x
∈
( ,+∞)时,f′(x)>0,
则 f(x)在(0, )上为减函数,在( ,+∞)上为增函数;
综上,当 a≤0 时,f(x)为(0,+∞)上的减函数,当 a>0 时,f(x)在(0,
)上为减函数,在( ,+∞)上为增函数;
(Ⅱ)证明:要证 g(x)>0(x>1),即 ﹣ >0,
即证 ,也就是证 ,
令 h(x)= ,则 h′(x)= ,
∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,则 h(x)min=h(1)=e,
即当 x>1 时,h(x)>e,∴当 x>1 时,g(x)>0;
(Ⅲ)解:由 f(x)>g(x),得 ,
设 t(x)= ,
由题意知,t(x)>0 在(1,+∞)内恒成立,
∵t(1)=0,
∴有 t′(x)=2ax = ≥0 在(1,+∞)内恒成立,
令φ(x)= ,
则φ′(x)=2a = ,
当 x≥2 时,φ′(x)>0,
令 h(x)= ,h′(x)= ,函数在[1,2)上单调递增,∴h(x)min=h
(1)=﹣1.
又 2a≥1,e1﹣x>0,∴1<x<2,φ′(x)>0,
综上所述,x>1,φ′(x)>0,φ(x)在区间(1,+∞)单调递增,
∴t′(x)>t′(1)≥0,即 t(x)在区间(1,+∞)单调递增,
∴a≥ .
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