河北省张家口市康保衡水一中联合中学2019-2020学年高一四月份测试数学试卷 9页

数学试卷 一、 选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.数列‎2‎‎3‎‎,‎4‎‎5‎,‎6‎‎7‎,‎8‎‎9‎,⋯‎的第10项是‎(‎   ‎‎)‎ A.  ‎14‎‎15‎ B.  ‎16‎‎17‎ C. ‎18‎‎19‎ D. ‎‎20‎‎21‎ ‎2.记Sn为等差数列‎{an}‎的前n项和．若a‎4‎‎+a‎5‎=24‎，S‎6‎‎=48‎，则‎{an}‎的公差为‎(‎    ‎‎)‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎3.若数列an的前n项和Sn‎=n‎2‎-2n+3‎，则此数列的前3项依次为‎(‎    ‎‎)‎ A. ‎-1‎，1，3 B. 2，1，3 C. 6，1，3 D. 2，3，6‎ ‎4.等差数列‎{an}‎中，a‎1‎‎>0‎，S‎3‎‎=‎S‎10‎，则当Sn取最大值时，n的值为‎(‎    ‎‎)‎ A. 6 B. 7 C. 6或7 D. 不存在 ‎5.在‎△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，B=‎π‎3‎，‎△ABC的面积为‎3‎‎3‎，那么b的值为‎(    )‎ A. ‎2‎‎3‎ B. ‎3‎‎3‎ C. ‎3‎ D. 2‎ ‎6.已知等差数列‎{an}‎的前13项的和为39，则a‎6‎‎+a‎7‎+a‎8‎=(    )‎ A. 6 B. 12 C. 18 D. 9‎ ‎7.已知等差数列‎{an}‎中，Sn是‎{an}‎的前n项和，且S‎3‎‎=30‎，S‎6‎‎=100‎，则S‎9‎的值为‎(‎    ‎‎)‎ A. 260 B. 130 C. 170 D. 210‎ ‎8.在‎△ABC中，a、c分别为角A、C的对边，A=45°‎，C=60°‎，c=2‎，则a=(    )‎ A. ‎2‎‎6‎‎3‎ B. ‎3‎‎6‎‎2‎ C. ‎1‎‎2‎ D. ‎‎3‎‎2‎ ‎9.在‎△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.‎若a=3‎，b=4‎，A=‎π‎3‎，则满足此条件的三角形‎(    )‎ A. 不存在 B. 有两个 C. 有一个 D. 个数不确定 ‎10.设等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn，且a‎4‎‎+a‎8‎=0‎，则一定有‎(‎    ‎‎)‎ A. S‎4‎‎<‎S‎5‎ B. S‎4‎‎=‎S‎5‎ C. S‎6‎‎<‎S‎5‎ D. ‎S‎6‎‎=‎S‎5‎ ‎11.在‎△ABC中，已知a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎+bc，则角A为‎(‎  ‎‎)‎ A. π‎3‎ B. π‎6‎ C. ‎2π‎3‎ D. π‎3‎或‎2π‎3‎ ‎12.已知数列‎{an}‎满足an+1‎‎-an=2‎，a‎1‎‎=-5‎，则‎|a‎1‎|+|a‎2‎|+…+|a‎6‎|=(    )‎ A. 9 B. 15 C. 18 D. 30‎ 二、 填空题（本大题共6小题，共30.0分）‎ ‎13.已知数列‎{an}‎的前n项和Sn‎=-2n‎2‎+3n，则数列‎{an}‎的通项公式为______ ．‎ ‎14.已知数列‎{an}‎中a‎1‎‎=1‎，an+1‎‎=‎an‎3an+1‎，则a‎34‎‎= ‎________．‎ ‎15.数列an中，an‎=2n-49‎，当数列an的前n项和Sn取得最小值时，n=‎________‎ ‎16.已知‎△ABC的一个内角为‎120°‎，并且三边长构成公差为4的等差数列，则‎△ABC最长边的边长等于________．‎ ‎17.已知等差数列‎{an}‎，满足OP‎=a‎2‎OP‎1‎+‎a‎15‎OP‎2‎，其中P‎1‎，P，P‎2‎三点共线，则数列‎{an}‎的前16项和S‎16‎‎=‎______．‎ ‎18.有两个等差数列‎{an}‎，‎{bn}‎其前n项和分别为Sn和Tn，若SnTn‎=‎‎3n-1‎n+7‎，则a‎7‎b‎7‎‎=‎_______‎ 一、 解答题（本大题共3小题，共30.0分）‎ ‎19.已知Sn是等差数列an的前n项和，若a‎4‎‎=1,S‎15‎=75‎． ‎(1)‎求数列an的通项公式； ‎(2)‎设数列Snn的前n项和为Tn，求T‎20‎． ‎ ‎ ‎ ‎20.已知递增等差数列‎{an}‎前三项的和为‎-3‎，前三项的积为‎8.‎求等差数列‎{an}‎的通项公式和前n项和． ‎ ‎ ‎ ‎21.‎Sn为数列‎{an}‎的前n项和，已知an‎>0‎，an‎2‎‎+2an=4Sn+3‎． ‎(‎Ⅰ‎)‎求‎{an}‎的通项公式； ‎(‎Ⅱ‎)‎设bn‎=‎‎1‎anan+1‎，求数列‎{bn}‎的前n项和． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查数列的通项公式，属于基础题． 通过观察分子、分母的特点写出通项公式即可求解． 【解答】 解：从分子上看，2，4，6，8，‎…‎对应的通项为2n， 从分母上看，3，5，7，9，‎…‎对应的通项为‎2n+1‎， 所以该数列的通项公式an‎=‎‎2n‎2n+1‎， 所以a‎10‎‎=‎2×10‎‎2×10+1‎=‎‎20‎‎21‎． 故选D． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查等差数列通项公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题． 利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出‎{an}‎的公差． 【解答】 解：Sn为等差数列‎{an}‎的前n项和，设公差为d， ‎∵a‎4‎+a‎5‎=24‎，S‎6‎‎=48‎， ‎∴a‎1‎‎+3d+a‎1‎+4d=24‎‎6a‎1‎+‎6×5‎‎2‎d=48‎, ‎解得a‎1‎‎=-2‎，d=4‎， ‎∴{an}‎的公差为4． 故选C． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 此题主要考查了an与Sn的关系，属于基础题‎.‎根据an‎=Sn-Sn-1‎,n≥2‎，可求出数列的通项公式，让n=1‎，2，3，可求出数列的前三项． 【解答】 解：‎∵‎数列an的前n项和Sn‎=n‎2‎-2n+3‎， 当n≥2‎时，Sn-1‎‎=(n-1‎)‎‎2‎-2(n-1)+3‎， 则an=‎Sn‎-‎Sn-1‎ ‎=(n‎2‎-2n+3)-[(n-1‎)‎‎2‎-2(n-1)+3] ‎‎=2n-3‎， 当n=1‎时，S‎1‎‎=1-2+3=2≠2-3‎， ‎∴a‎1‎=2,a‎2‎=2×2-3=1,a‎3‎=2×3-3=3‎， 所以此数列的前3项依次为 2，1，3． 故选B． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查等差数列的前n项和的最值，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题． 【解答】 ‎ 解：‎∵‎等差数列‎{an}‎中，a‎1‎‎>0‎，S‎3‎‎=‎S‎10‎， ‎∴S‎10‎-S‎3‎=a‎4‎+a‎5‎+…+a‎10‎=7a‎7‎=0‎，即a‎7‎‎=0‎， ‎∴‎等差数列‎{an}‎中前6项为正数，第7项为0，从第8项开始为负数， ‎∴‎当Sn取最大值时，n的值为6或7， 故选C． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了等差数列的性质，考查了三角形的面积公式，训练了余弦定理的应用，属中档题． 由a、b、c成等差数列，把a+c用b表示，由面积等于‎3‎‎3‎求出ac=12‎，结合余弦定理列式求b的值． 【解答】 解：在‎△ABC中，‎∵a、b、c成等差数列， ‎∴2b=a+c， 又，‎△ABC的面积为‎3‎‎3‎， ，即‎1‎‎2‎‎×‎3‎‎2‎ac=3‎‎3‎，ac=12‎． 由余弦定理，得： ，即b‎2‎‎=(a+c‎)‎‎2‎-3ac， ‎∴b‎2‎=4b‎2‎-3×12‎， ‎∴b=2‎‎3‎． 故选A． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】‎ 本题主要考查了等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解决此类问题的关键，属于基础题． 先利用等差求和公式求得a‎7‎，再根据等差中项即可得解．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意可知，S‎13‎‎=‎13‎a‎1‎‎+‎a‎13‎‎2‎=13a‎7‎=39‎，‎ ‎∴a‎7‎=3‎‎，‎ ‎∴a‎6‎+a‎7‎+a‎8‎=3a‎7‎=9‎‎，‎ 故选D．‎ ‎ 7.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查等差数列前n项和的性质，属于较易题． 由等差数列前n项和的性质Sn，S‎2n‎-‎Sn，‎...‎，也成等差数列即可求解． 【解答】 解：‎∵‎由等差数列前n项和性质知， ‎S‎3‎‎,  S‎6‎-S‎3‎,  S‎9‎-‎S‎6‎ 成等差数列， ‎∴2(100-30)=30+(S‎9‎-100)‎， 解得S‎9‎‎=210‎． 故选D． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 该题考查了正弦定理的运用，考查了学生的计算能力，属基础题． 【解答】 解：由正弦定理得asinA‎=‎csinC ‎⇒a‎2‎‎2‎=‎2‎‎3‎‎2‎⇒a=‎‎2‎‎6‎‎3‎． 故选A． 9.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查利用正弦定理判断解的个数，基础题 根据正弦定理得sinB>1‎得解 ‎【解答】 解：根据正弦定理有sinB=basinA=‎4‎‎3‎×‎3‎‎2‎=‎2‎‎3‎‎3‎>1‎ 所以没有满足条件的三角形 故选A．‎ ‎ 10.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了等差数列的性质和等差数列的求和，属于基础题． 由等差数列的性质得a‎4‎‎+a‎8‎=2a‎6‎=0‎，即a‎6‎‎=0‎，即可得出结论． 【解答】 解：由等差数列的性质得a‎4‎‎+a‎8‎=2a‎6‎=0‎，即a‎6‎‎=0‎， 所以S‎6‎‎=‎S‎5‎， 故选D． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】‎ 此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．根据余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．  ‎ ‎【解答】‎ 解：由a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎+bc， 则根据余弦定理得： cosA=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc=‎-bc‎2bc=-‎‎1‎‎2‎， 因为A∈(0,π)‎，所以A=‎‎2π‎3‎． ‎ 故选C．‎ ‎ 12.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查数列的求和，以及等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 首先根据等差数列的概念得到数列‎{an}‎是公差为2的等差数列，再根据等差数列的通项公式与求和公式得到an‎=2n-7‎，Sn‎=n‎2‎-6n，判断出n≤3‎时，‎|an|=-‎an，n≥4‎时，‎|an|=‎an，则‎|a‎1‎|+|a‎2‎|+…+|a‎6‎|‎的值可得． 【解答】 解：‎∵an+1‎-an=2‎，a‎1‎‎=-5‎， ‎∴‎数列‎{an}‎是公差为2的等差数列， ‎∴an=-5+2(n-1)=2n-7‎， 数列‎{an}‎的前n项和Sn‎=n(-5+2n-7)‎‎2‎=n‎2‎-6n， 令an‎=2n-7≥0‎，解得n≥‎‎7‎‎2‎， ‎∴n≤3‎时，‎|an|=-‎an， n≥4‎时，‎|an|=‎an， 则‎|a‎1‎|+|a‎2‎|+…+|a‎6‎|‎ ‎=-a‎1‎-a‎2‎-a‎3‎+a‎4‎+a‎5‎+a‎6‎ ‎‎=S‎6‎-2S‎3‎ ‎‎=‎6‎‎2‎-6×6-2(‎3‎‎2‎-6×3)=18‎， 故选C． 13.【答案】an‎=5-4n ‎ ‎【解析】解：‎∵Sn=-2n‎2‎+3n， ‎∴a‎1‎=S‎1‎=-2+3=1‎， an‎=Sn-Sn-1‎=(-2n‎2‎+3n)-[-2(n-1‎)‎‎2‎+3(n-1)] ‎‎=5-4n． 当n=1‎时，‎5-4n=1=‎a‎1‎， ‎∴an=5-4n， 故答案为：an‎=5-4n． 利用公式an‎=‎S‎1‎‎,n=1‎Sn‎-Sn-1‎,n≥2‎，由Sn‎=-2n‎2‎+3n，能够求出数列‎{an}‎的通项公式． 本题考查数列的通项公式的求法，是基础题‎.‎解题时要认真审题，注意公式an‎=‎S‎1‎‎,n=1‎Sn‎-Sn-1‎,n≥2‎的灵活运用． 14.【答案】‎1‎‎100‎ ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 由an+1‎‎=‎an‎3an+1‎，两边取倒数可得：‎1‎an+1‎‎-‎1‎an=3‎，再利用等差数列的通项公式即可得出． 【解答】 解：‎∵an+1‎=‎an‎3an+1‎，两边取倒数可得：‎1‎an+1‎‎-‎1‎an=3‎，a‎1‎‎=1‎， ‎∴‎数列‎{‎1‎an}‎是首项为1，公差为3的等差数列， ‎∴‎1‎an=1+3(n-1)=3n-2‎， ‎∴an=‎‎1‎‎3n-2‎． 则a‎34‎‎=‎‎1‎‎100‎． 故答案为‎1‎‎100‎． 15.【答案】24 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了等差数列的通项公式和前n项和的最小值问题，属于基础题． 利用等差数列的通项公式得数列an是首项为‎-47‎，公差为2的等差数列，再利用等差数列的函数性质得结论‎.‎  【解答】 解：在数列an中，an‎=2n-49‎，  所以数列an是首项为‎-47‎，公差为2的等差数列， 由an‎=2n-49≤0‎得n≤‎‎49‎‎2‎， 所以数列an前24项均小于0，第25项开始大于0， 所以当n=24‎时，Sn取得最小值． 故答案为24． 16.【答案】14 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查等差数列的性质、余弦定理，属于中档题． 根据题意设三角形的三边长分别为x-4‎，x，x+4‎，根据余弦定理表示出cos120°‎，将设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解，即得到三角形的边长，即可得到最长的边长的值． 【解答】 解：‎∵△ABC三边长构成公差为4的等差数列， ‎∴‎设处于中间长度的一条边长为x，则最大的边长为x+4‎，最小的边长为x-4‎， ‎∵△ABC的一个内角为‎120°‎，即为最大角，则它对应的边的长度最长，即为x+4‎， 则cos120°=x‎2‎‎+(x-4‎)‎‎2‎-(x+4‎‎)‎‎2‎‎2x(x-4)‎=-‎‎1‎‎2‎， 化简得：x-16=4-x，解得x=10‎，  所以三角形的三边分别为：6，10，14，最长边为14， 故答案为14． 17.【答案】8 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查向量共线定理和等差数列的性质和求和公式的运用，考查化简运算能力，属于基础题．由平面向量基本定理可得a‎2‎‎+a‎15‎=1‎，再由等差数列的性质和求和公式，计算可得所求和． 【解答】 解：满足OP‎=a‎2‎OP‎1‎+‎a‎15‎OP‎2‎，其中P‎1‎，P，P‎2‎三点共线， 可得a‎2‎‎+a‎15‎=1‎， 由等差数列‎{an}‎，可得a‎1‎‎+a‎16‎=a‎2‎+a‎15‎=1‎， 则S‎16‎‎=‎1‎‎2‎×16(a‎1‎+a‎16‎)=8‎． 故答案为：8． 18.【答案】‎19‎‎10‎ ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了等差数列性质以及等差数列前n项和的综合运用，考查了学生的运用能力，属于中档题． 将anbn利用等差数列前n项和的公式转化成S‎2n-1‎T‎2n-1‎，再将具体数值带入计算即可． 【解答】 ‎ 解：‎∵anbn=nannbn=n(a‎1‎+a‎2n-1‎)‎‎2‎n(b‎1‎+b‎2n-1‎)‎‎2‎=‎S‎2n-1‎T‎2n-1‎， ‎∴a‎7‎b‎7‎=S‎2×7-1‎T‎2×7-1‎=S‎13‎T‎13‎=‎3×13-1‎‎13+7‎=‎‎19‎‎10‎， 故答案为‎19‎‎10‎． 19.【答案】解：‎(1)S‎15‎=‎15(a‎1‎+a‎15‎)‎‎2‎=‎‎15×2‎a‎8‎‎2‎ ‎=15a‎8‎=75,∴a‎8‎=5‎ ， ‎∴‎公差d=a‎8‎‎-‎a‎4‎‎8-4‎=‎5-1‎‎8-4‎=1‎， ‎∴an=1+(n-4)×1=n-3; ‎‎(2)‎由‎(1)‎可得a‎1‎‎=-2‎， ‎∴Sn=n(n-5)‎‎2‎,Snn=n-5‎‎2‎, ‎‎∴T‎20‎=‎20(-2+‎20-5‎‎2‎)‎‎2‎=55‎． ‎ ‎【解析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题． ‎(1)‎由已知数据易得a‎8‎，进而可得公差d，可得通项公式； ‎(2)‎由求和公式可得Sn，进而可得数列Snn的通项公式，由等差数列的求和公式可得答案． 20.【答案】解：设递增等差数列‎{an}‎的公差为d>0‎，前三项分别为a-d，a，a+d． 由题意可得：‎(a-d)+a+(a+d)=-3‎‎(a-d)a(a+d)=8‎， 解得a=-1‎d=3‎， ‎∴a‎1‎=-1-3=-4‎， ‎∴‎等差数列‎{an}‎的通项公式和前n项和‎=-4n+n(n-1)‎‎2‎×3=‎3‎‎2‎n‎2‎-‎11‎‎2‎n． ‎ ‎【解析】设递增等差数列‎{an}‎的公差为d>0‎，前三项分别为a-d，a，a+d.‎由题意可得：‎(a-d)+a+(a+d)=-3‎‎(a-d)a(a+d)=8‎，解得a，d，利用等差数列‎{an}‎的通项公式和前n项和公式即可得出． 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21.【答案】解：‎(‎Ⅰ‎)‎由an‎2‎‎+2an=4Sn+3‎， 可知an+1‎‎2‎‎+2an+1‎=4Sn+1‎+3‎， 两式相减可得an+1‎‎2‎‎-an‎2‎+2(an+1‎-an)=4‎an+1‎， 即‎2(an+1‎+an)=an+1‎‎2‎-an‎2‎=(an+1‎+an)(an+1‎-an)‎． 由于an‎>0‎，可得an+1‎‎-an=2‎．‎ 又a‎1‎‎2‎‎+2a‎1‎=4a‎1‎+3‎，‎ 解得a‎1‎‎=-1(‎舍去‎)‎或a‎1‎‎=3‎，‎ 所以数列‎{an}‎是以3为首项，2为公差的等差数列， 通项公式为an‎=2n+1‎；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎由an‎=2n+1‎可知bn‎=‎1‎anan+1‎=‎‎1‎‎(2n+1)(2n+3)‎ ‎=‎1‎‎2‎(‎1‎‎2n+1‎-‎1‎‎2n+3‎)‎． 设数列‎{bn}‎的前n项和为Tn， 则Tn‎=b‎1‎+b‎2‎+⋯+‎bn ‎=‎1‎‎2‎[(‎1‎‎3‎-‎1‎‎5‎)+(‎1‎‎5‎-‎1‎‎7‎)+⋯+(‎1‎‎2n+1‎-‎1‎‎2n+3‎)]‎ ‎=‎n‎3(2n+3)‎．‎ ‎【解析】本题考查等差数列的判断及通项公式，裂项相消法求和，属于中档题． ‎(1)‎根据递推关系可得‎2(an+1‎+an)=an+1‎‎2‎-‎an‎2‎ ‎=(an+1‎+an)(an+1‎-an)‎，得数列‎{an}‎是以3为首项，2为公差的等差数列即可求通项； ‎(2)‎得到bn‎=‎1‎‎2‎(‎1‎‎2n+1‎-‎1‎‎2n+3‎)‎，利用裂项法求和即可． ‎