2009年广东省高考数学试卷（理科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】 6页

‎2009年广东省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1.已知全集U=R，集合M={x|-2≤x-1≤2}‎和N={x|x=2k-1, k=1, 2, ...}‎的关系的韦恩‎(Venn)‎图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）‎ A.‎3‎个 B.‎2‎个 C.‎1‎个 D.无穷多个 ‎2. 设z是复数，a(z)‎表示zn‎=1‎的最小正整数n，则对虚数单位i，a(I)=(‎ ‎‎)‎ A.‎8‎ B.‎6‎ C.‎4‎ D.‎‎2‎ ‎3. 若函数y=f(x)‎是函数y=ax(a>0‎，且a≠1)‎的反函数，其图象经过点‎(a, a)‎，则f(x)=(‎ ‎‎)‎ A.log‎2‎x B.log‎1‎‎2‎x C.‎1‎‎2‎x D.‎x‎2‎ ‎4. 已知等比数列‎{an}‎满足an‎>0‎，n=1‎，‎2‎，…，且a‎5‎‎⋅a‎2n-5‎=‎2‎‎2n(n≥3)‎，则当n≥1‎时，log‎2‎a‎1‎‎+log‎2‎a‎3‎+...+log‎2‎a‎2n-1‎=(‎ ‎‎)‎ A.‎(n-1‎‎)‎‎2‎ B.n‎2‎ C.‎(n+1‎‎)‎‎2‎ D.‎n‎2‎‎-1‎ ‎5. 给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，为真命题的是(        )‎ A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④‎ ‎6. 一质点受到平面上的三个力F‎1‎，F‎2‎，F‎3‎（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F‎1‎，F‎2‎成‎60‎‎∘‎角，且F‎1‎，F‎2‎的大小分别为‎2‎和‎4‎，则F‎3‎的大小为（ ）‎ A.‎6‎ B.‎2‎ C.‎2‎‎5‎ D.‎‎2‎‎7‎ ‎7. ‎2010‎年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）‎ A.‎36‎种 B.‎12‎种 C.‎18‎种 D.‎48‎种 ‎8. 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V甲和V乙（如图所示）．那么对于图中给定的t‎0‎和t‎1‎，下列判断中一定正确的是（ ）‎ A.在t‎1‎时刻，甲车在乙车前面 B.t‎1‎时刻后，甲车在乙车后面 C.在t‎0‎时刻，两车的位置相同 D.t‎0‎时刻后，乙车在甲车前面 二、填空题（共7小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎9. 随机抽取某产品m件，测得其长度分别为k(k∈R)‎，则如图所示的程序框图输出的S=‎________，s表示的样本的数字特征是________．（注：框图中的赋值符号“‎=‎”也可以写成“‎←‎”“：‎=‎”）‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎10. 若平面向量a‎→‎，b‎→‎满足‎|a‎→‎+b‎→‎|=1‎，a‎→‎‎+‎b‎→‎平行于x轴，b‎→‎‎=(2,-1)‎，则a‎→‎‎=‎________．‎ ‎11. 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为‎3‎‎2‎，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为‎12‎，则椭圆G的方程为________．‎ ‎12. 已知离散型随机变量X的分布列如表．若EX=0‎，DX=1‎，则a=‎________，b=‎________． ‎ X ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a b c ‎1‎‎12‎ ‎13. 若直线l‎1‎‎：‎x=1-2ty=2+kt.‎（t为参数）与直线l‎2‎‎：‎x=sy=1-2s.‎（s为参数）垂直，则k=‎________．‎ ‎14. 不等式‎|x+1|‎‎|x+2|‎‎≥1‎的实数解为________．‎ ‎15. 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4‎，‎∠ACB=‎‎45‎‎∘‎，则圆O的面积等于________．‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎16. 已知向量a‎→‎‎=(sinθ,-2)‎与b‎→‎‎=(1,cosθ)‎互相垂直，其中θ∈(0,π‎2‎)‎．‎ ‎（1）求sinθ和cosθ的值；‎ ‎（2）若sin(θ-φ)=‎10‎‎10‎，0<φ<‎π‎2‎，求cosφ的值．‎ ‎17. 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：‎ API ‎0∼50‎ ‎51∼100‎ ‎101∼150‎ ‎151∼200‎ ‎201∼2050‎ ‎251∼300‎ ‎>300‎ 级别 I II III III IV IV V 状况 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 对某城市一年（‎365‎天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间‎[0, 50]‎，‎(50, 100]‎，‎(100, 150]‎，‎(150, 200]‎，‎(200, 250]‎，‎(250, 300]‎进行分组，得到频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中x的值；‎ ‎（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；‎ ‎（3）求该城市某一周至少有‎2‎天的空气质量为良或轻微污染的概率．‎ ‎（结果用分数表示．已知‎5‎‎7‎‎=78125‎，‎2‎‎7‎‎=128‎，‎3‎‎1825‎‎+‎2‎‎365‎+‎7‎‎1825‎+‎3‎‎1825‎+‎8‎‎9125‎=‎‎123‎‎9125‎，‎365=73×5‎）‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎18. 如图，已知正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的棱长为‎2‎，点E是正方形BCC‎1‎B‎1‎的中心，点F，G分别是棱C‎1‎D‎1‎，AA‎1‎的中点．设点E‎1‎，G‎1‎分别是点E，G在平面DCC‎1‎D‎1‎内的正投影．‎ ‎（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC‎1‎D‎1‎内的正投影为底面边界的棱锥的体积；‎ ‎（2）证明：直线FG‎1‎⊥‎平面FEE‎1‎；‎ ‎（3）求异面直线E‎1‎G‎1‎与EA所成角的正弦值．‎ ‎19. 已知曲线C:y=‎x‎2‎与直线l:x-y+2=0‎交于两点A(xA, yA)‎和B(xB, yB)‎，且xA‎<‎xB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P(s, t)‎是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．‎ ‎（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；‎ ‎（2）若曲线G:x‎2‎-2ax+y‎2‎-4y+a‎2‎+‎51‎‎25‎=0‎与D有公共点，试求a的最小值．‎ ‎20. 已知二次函数y=g(x)‎的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g(x)‎在x=-1‎处取得极小值m-1(m≠0)‎．设f(x)=‎g(x)‎x．‎ ‎（1）若曲线y=f(x)‎上的点P到点Q(0, 2)‎的距离的最小值为‎2‎，求m的值；‎ ‎（2）k(k∈R)‎如何取值时，函数y=f(x)-kx存在零点，并求出零点．‎ ‎21. 已知曲线Cn‎:x‎2‎-2nx+y‎2‎=0(n=1, 2‎,…‎)‎．从点P(-1, 0)‎向曲线Cn引斜率为kn‎(kn>0)‎的切线ln，切点为Pn‎(xn, yn)‎．‎ ‎（1）求数列‎{xn}‎与‎{yn}‎的通项公式；‎ ‎（2）证明：x‎1‎‎⋅x‎3‎⋅x‎5‎⋅…⋅x‎2n-1‎<‎1-‎xn‎1+‎xn<‎2‎sinxnyn．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 参考答案与试题解析 ‎2009年广东省高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1.B ‎2.C ‎3.B ‎4.B ‎5.D ‎6.D ‎7.A ‎8.A 二、填空题（共7小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎9.a‎1‎‎+a‎2‎+…+‎ann,平均数 ‎10.‎(-1, 1)‎或‎(-3, 1)‎ ‎11.‎x‎2‎‎36‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎ ‎12.‎5‎‎12‎,‎‎1‎‎4‎ ‎13.‎‎-1‎ ‎14.x≤-‎‎3‎‎2‎且x≠-2‎ ‎15.‎‎8π 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎16.解：（1）∵ a‎→‎与b‎→‎互相垂直，则a‎→‎‎⋅b‎→‎=sinθ-2cosθ=0‎，‎ 即sinθ=2cosθ，代入sin‎2‎θ+cos‎2‎θ=1‎得sinθ=±‎2‎‎5‎‎5‎，cosθ=±‎‎5‎‎5‎，又θ∈(0,π‎2‎)‎，‎ ‎∴ ‎sinθ=‎2‎‎5‎‎5‎，cosθ=‎‎5‎‎5‎ ‎（2）∵ ‎0<φ<‎π‎2‎，‎0<θ<‎π‎2‎，‎ ‎∴ ‎-π‎2‎<θ-φ<‎π‎2‎，则cos(θ-φ)=‎1-sin‎2‎(θ-φ)‎=‎‎3‎‎10‎‎10‎，‎ ‎∴ cosφ=cos[θ-(θ-φ)]=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎17.解：（1）由图可知x=1-(‎3‎‎1825‎+‎2‎‎365‎+‎7‎‎1825‎+‎3‎‎1825‎+‎8‎‎9125‎)×50=1-‎123‎‎9125‎×50×50‎，解得x=‎‎119‎‎18250‎；‎ ‎（2）一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数为：‎365×‎119‎‎18250‎×50=119‎，‎365×‎2‎‎365‎×50=100‎；‎ ‎（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为‎119‎‎18250‎‎×50+‎2‎‎365‎×50=‎219‎‎365‎=‎‎3‎‎5‎，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为‎1-‎3‎‎5‎=‎‎2‎‎5‎，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为‎1-C‎7‎‎7‎(‎2‎‎5‎‎)‎‎7‎(‎3‎‎5‎‎)‎‎0‎-C‎7‎‎6‎(‎2‎‎5‎‎)‎‎6‎(‎3‎‎5‎‎)‎‎1‎=‎‎76653‎‎78125‎．‎ ‎18.解：（1）依题作点E、G在平面DCC‎1‎D‎1‎内的正投影E‎1‎、G‎1‎，‎ 则E‎1‎、G‎1‎分别为CC‎1‎、DD‎1‎的中点，‎ 连接EE‎1‎、EG‎1‎、ED、DE‎1‎，‎ 则所求为四棱锥E-DE‎1‎FG‎1‎的体积，‎ 其底面DE‎1‎FG‎1‎面积为SDE‎1‎FG‎1‎‎=SRt△E‎1‎FG‎1‎+SRt△DG‎1‎E‎1‎=‎1‎‎2‎×‎2‎×‎2‎+‎1‎‎2‎×1×2=2‎，‎ 又EE‎1‎⊥‎面DE‎1‎FG‎1‎，EE‎1‎=1‎，‎ ‎∴ VE-DE‎1‎FG‎1‎‎=‎1‎‎3‎SDE‎1‎FG‎1‎⋅EE‎1‎=‎‎2‎‎3‎．‎ ‎（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD‎1‎所在直线分别作x轴，y轴，z轴，‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 得E‎1‎‎(0, 2, 1)‎、G‎1‎‎(0, 0, 1)‎，又G(2, 0, 1)‎，F(0, 1, 2)‎，E(1, 2, 1)‎，‎ 则FG‎1‎‎→‎‎=(0,-1,-1)‎，FE‎→‎‎=(1,1,-1)‎，FE‎1‎‎→‎‎=(0,1,-1)‎，‎ ‎∴ FG‎1‎‎→‎‎⋅FE‎→‎=0+(-1)+1=0‎，FG‎1‎‎→‎‎⋅FE‎1‎‎→‎=0+(-1)+1=0‎，‎ 即FG‎1‎⊥FE，FG‎1‎⊥FE‎1‎，‎ 又FE‎1‎∩FE=F，∴ FG‎1‎⊥‎平面FEE‎1‎．‎ ‎（3）E‎1‎G‎1‎‎→‎‎=(0,-2,0)‎，EA‎→‎‎=(1,-2,-1)‎，‎ 则cos=‎|E‎1‎G‎1‎‎→‎||EA‎→‎|‎‎˙‎=‎‎2‎‎6‎，‎ 设异面直线E‎1‎G‎1‎与EA所成角为θ，则sinθ=‎1-‎‎2‎‎3‎=‎‎3‎‎3‎．‎ ‎19.解：（1）联立y=‎x‎2‎与y=x+2‎得xA‎=-1‎，xB‎=2‎，则AB中点Q(‎1‎‎2‎，‎5‎‎2‎)‎，设线段PQ的中点M坐标为‎(x, y)‎，则x=‎1‎‎2‎‎+s‎2‎，y=‎‎5‎‎2‎‎+t‎2‎，即s=2x-‎1‎‎2‎，t=2y-‎‎5‎‎2‎，又点P在曲线C上，‎ ‎∴ ‎2y-‎5‎‎2‎=(2x-‎‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎化简可得y=2x‎2‎-x+‎‎11‎‎8‎，‎ 又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，‎ 则‎-1<2x-‎1‎‎2‎<2‎，即‎-‎1‎‎4‎0‎时，‎(2‎2‎+2)m‎=‎‎2‎解得m=‎2‎-1‎ 当m<0‎时，‎(-2‎2‎+2)m‎=‎‎2‎解得m=-‎2‎-1‎ ‎（2）由y=f(x)-kx=(1-k)x+mx+2=0(x≠0)‎，得‎(1-k)x‎2‎+2x+m=0(*)‎ 当k=1‎时，方程‎(*)‎有一解x=-‎m‎2‎，函数y=f(x)-kx有一零点x=-‎m‎2‎；‎ 当k≠1‎时，方程‎(*)‎有二解‎⇔△=4-4m(1-k)>0‎，‎ 若m>0‎，k>1-‎‎1‎m，‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎-2±‎‎4-4m(1-k)‎‎2(1-k)‎，即x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎；‎ 若m<0‎，k<1-‎‎1‎m，‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎-2±‎‎4-4m(1-k)‎‎2(1-k)‎，即x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎；‎ 当k≠1‎时，方程‎(*)‎有一解‎⇔△=4-4m(1-k)=0‎，k=1-‎‎1‎m，‎ 函数y=f(x)-kx有一零点x=‎1‎k-1‎=-m 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 综上，当k=1‎时，函数y=f(x)-kx有一零点x=-‎m‎2‎；‎ 当k>1-‎1‎m(m>0)‎，或k<1-‎1‎m(m<0)‎时，‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎；‎ 当k=1-‎‎1‎m时，函数y=f(x)-kx有一零点x=‎1‎k-1‎=-m．‎ ‎21.解：（1）设直线ln‎:y=kn(x+1)‎，联立x‎2‎‎-2nx+y‎2‎=0‎ 得‎(1+kn‎2‎)x‎2‎+(2kn‎2‎-2n)x+kn‎2‎=0‎，‎ 则‎△=(2kn‎2‎-2n‎)‎‎2‎-4(1+kn‎2‎)kn‎2‎=0‎，‎ ‎∴ kn‎=‎n‎2n+1‎（‎-‎n‎2n+1‎舍去）‎ xn‎2‎‎=kn‎2‎‎1+‎kn‎2‎=‎n‎2‎‎(n+1‎‎)‎‎2‎‎，‎ 即xn‎=‎nn+1‎，∴ ‎yn‎=kn(xn+1)=‎n‎2n+1‎n+1‎ ‎（2）证明：∵ ‎‎1-‎xn‎1+‎xn‎=‎1-‎nn+1‎‎1+‎nn+1‎=‎1‎‎2n+1‎x‎1‎⋅x‎3‎⋅x‎5‎x‎2n-1‎=‎1‎‎2‎×‎3‎‎4‎××‎2n-1‎‎2n<‎1‎‎3‎‎×‎3‎‎5‎××‎‎2n-1‎‎2n+1‎=‎‎1‎‎2n+1‎ ‎∴ ‎x‎1‎‎⋅x‎3‎⋅x‎5‎x‎2n-1‎<‎‎1-‎xn‎1+‎xn 由于xnyn‎=‎1‎‎2n+1‎=‎‎1-‎xn‎1+‎xn，‎ 可令函数f(x)=x-‎2‎sinx，则f‎'‎‎(x)=1-‎2‎cosx，‎ 令f'(x)=0‎，得cosx=‎‎2‎‎2‎，‎ 给定区间‎(0,π‎4‎)‎，则有f'(x)<0‎，则函数f(x)‎在‎(0,π‎4‎)‎上单调递减，‎ ‎∴ f(x)