高考数学专题复习练习第十四章 第二节 不等式的证明 课下练兵场 6页

第十四章 第二节 不等式的证明 命 题 报 告 ‎　 难度及题号 知识点 容易题(题号)‎ 中等题(题号)‎ 稍难题(题号)‎ 大小比较 ‎2‎ 综合法的应用 ‎1、3、4‎ ‎5、7、9‎ 分析法的应用 ‎11‎ ‎7‎ 放缩法、反证法的应用 ‎6、8、10、12‎ 一、选择题 ‎1．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为 ‎(　　)‎ A.　　　　　　　　 B．1‎ C. D．2‎ 解析：2x＋＝2(x－a)＋＋‎2a≥2 ＋‎2a＝‎2a＋4≥7，∴a≥.‎ 答案：C ‎2．已知a∈R，b∈R，且a≠b，下列结论正确的是 (　　)‎ A．a2＋3ab>2b2 B．a5＋b5>a3b2＋a2b3‎ C．a2＋b2≥2(a－b－1) D.＋>2‎ 解析：对于A、D举反例，如a＝0，b＝1时A不成立；a＝－1，b＝1时D不成立，‎ 故A、D不恒成立；‎ 对于B，利用作差法：a5＋b5－a3b2－a2b3‎ ‎＝a3(a2－b2)－b3(a2－b2)＝(a2－b2)(a3－b3)‎ ‎＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．‎ ‎(a－b)2>0，a2＋ab＋b2>0，而a＋b的符号是不确定的，故差值符号不能确定，因此 B不恒成立；‎ 对于C，a2＋b2－‎2a＋2b＋2‎ ‎＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，‎ 故a2＋b2≥2(a－b－1)，C恒成立．‎ 综合以上分析，只有C恒成立．‎ 答案：C ‎3．若a>0，b>0，则(a＋b)(＋)的最小值为 (　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：(a＋b)(＋)‎ ‎＝1＋＋＋1＝2＋(＋)‎ ‎≥2＋2 ＝4.‎ 答案：D ‎4．设a＞b＞c且＋≥恒成立，则m的取值范围为 (　　)‎ A．(－∞，－4) B．(－∞，4]‎ C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)‎ 解析：由a＞b＞c，知：a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.‎ 因此，原不等式等价于m≤＋，‎ 又＋＝＋ ‎＝2＋＋≥2＋2 ＝4，‎ 当且仅当＝时，等号成立．‎ ‎∴m≤4，即m∈(－∞，4]．‎ 答案：B ‎5．设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是 (　　)‎ A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|；‎ B．a2＋≥a＋；‎ C．|a－b|＋≥2；‎ D.－<－.‎ 解析：对于A，因为|a－b|＝|(a－c)＋(c－b)|≤|a－c|＋|b－c|，‎ 所以|a－b|≤|a－c|＋|b－c|恒成立；‎ 对于B，因为a2＋－(a＋)‎ ‎＝(a＋)2－(a＋)－2‎ ‎＝(a＋＋1)(a＋－2)，‎ 易知a＋≥2，故a2＋－(a＋)≥0，‎ 所以a2＋≥a＋恒成立；‎ 对于C，当a＞b时，有|a－b|＋≥2成立；‎ 当a≤b时，|a－b|＋≥2不成立．‎ 对于D，可以证明不等式 －<－也恒成立．‎ 答案：C ‎6．已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则 x2＋y2＋z2的最小值是 (　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．4‎ 解析：由面积关系可得 (2x＋2y＋2z)‎ ‎＝×2×3⇒x＋y＋z＝3；‎ 又2(x2＋y2)≥x2＋2xy＋y2，‎ ‎2(y2＋z2)≥y2＋2yz＋z2，‎ ‎2(z2＋x2)≥z2＋2zx＋x2，‎ 三式相加得3(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2，‎ 即x2＋y2＋z2≥(x＋y＋z)2＝×32＝3.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则‎4a－2b的取值范围是____________．‎ 解析：设u＝a＋b，v＝a－b，‎ 得a＝，b＝，‎ ‎∴‎4a－2b＝2u＋2v－u＋v ‎＝u＋3v.‎ ‎∵1≤u≤4，－1≤v≤2，‎ ‎∴－3≤3v≤6.‎ 则－2≤u＋3v≤10，‎ 即－2≤‎4a－2b≤10.‎ 答案：[－2,10]‎ ‎8．A＝1＋＋＋…＋与(n∈N*)的大小关系为________．‎ 解析：当n＝1时，A＝，‎ 当n＞1时，A＝1＋＋＋…＋ ‎＞‎ 综上可知，A≥.‎ 答案：A≥ ‎9．设a＝2－，b＝－2，c＝5－2，则a，b，c之间的大小关系是________．‎ 解析：c＝(－2)‎ ‎＝b＞b＞0，‎ 又∵a＜0，‎ ‎∴a＜b＜c.‎ 答案：a＜b＜c 三、解答题 ‎10．设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：‎4a(1－b)，4b(1－c)，‎4c(1－d)，4d(1－‎ a)这四个数不可能都大于1.‎ 证明：假设‎4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,‎4c(1－d)＞1，4d(1－a)＞1，则有 a(1－b)＞，b(1－c)＞，‎ c(1－d)＞，d(1－a)＞.‎ ‎∴＞，＞，‎ ＞，＞.‎ 又∵≤，‎ ≤，‎ ≤，≤，‎ ‎∴＞，＞，‎ ＞，＞.‎ 将上面各式相加得2＞2，矛盾．‎ ‎∴‎4a(1－b)，4b(1－c)，‎4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.‎ ‎11．△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，a、b、c分别为三内角A，B，C的对 边．求证：＋＝.‎ 证明：要证明＋＝，‎ 只需证明＋＝3，‎ 只需证明＋＝1，‎ 只需证明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)·(b＋c)，‎ 只需证明c2＋a2＝ac＋b2.‎ ‎∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴B＝60°，‎ 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，‎ 即b2＝c2＋a2－ac，‎ ‎∴c2＋a2＝ac＋b2.故原命题成立，得证．‎ ‎12．设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.‎ 证明：假设|f(1)|＜，|f(2)|＜，|f(3)|＜，则有 于是有 由①②得－4＜a＜－2；由②③得－6＜a＜－4.两式互相矛盾，所以假设不成立．‎ 所以原命题成立，‎ 即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.‎