高考数学专题复习练习：2-8 专项基础训练 7页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．(2017·广东茂名一模)下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是(　　)‎ A．y＝logx　　　　　　　　B．y＝2x－1‎ C．y＝x2－ D．y＝－x3‎ ‎【解析】 函数y＝logx在定义域上是减函数，y＝x2－在(－1，1)上不是单调函数，y＝－x3在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝2x－1，当x＝0∈(－1，1)时，y＝0且y＝2x－1在R上单调递增．故选B.‎ ‎【答案】 B ‎2．(2017·江西赣州一模)函数f(x)，g(x)满足：对任意x∈R，都有f(x2－2x＋3)＝g(x)，若关于x的方程g(x)＋sinx＝0只有5个根，则这5个根之和为(　　)‎ A．5 B．6‎ C．8 D．9‎ ‎【解析】 由f(x2－2x＋3)＝g(x)知g(x)的图象关于直线x＝1对称(若g(x)的图象不关于直线x＝1对称，则存在x1，x2，满足x1＋x2＝2，但g(x1)≠g(x2)，而f(x－2x1＋3)＝g(x1)，f(x－2x2＋3)＝g(x2)，且f(x－2x1＋3)＝f(x－2x2＋3)，这与g(x1)≠g(x2)矛盾)，由g(x)＋sin x＝0，知g(x)＝－sin x，因为y＝－sin x的图象也关于直线x＝1对称，g(x)＋sin x＝0有5个根，故必有一个根为1，另外4个根的和为4.所以原方程所有根之和为5.‎ ‎【答案】 A ‎3．(2017·宁夏银川长庆高中月考)a＝3x2dx，函数f(x)＝2ex＋3x－a的零点所在的区间是(　　)‎ A．(－2，－1) B．(－1，0)‎ C．(0，1) D．(1，2)‎ ‎【解析】 ∵a＝3x2dx＝x3|＝7，∴f(x)＝2ex＋3x－7.‎ ‎∵f(0)＝2e0＋3×0－7＝－5，f(1)＝2e＋3－7＝2(e－2)＞0，∴f(0)f(1)＜0，∴函数f(x)＝2ex＋3x－a的零点所在的区间是(0，1)．故选C.‎ ‎【答案】 C ‎4．(2017·辽宁五校协作体联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x＞0时，令f(x)＝2x＋x－3＝0，则2x＝－x＋3.分别作出函数y＝2x和y＝－x＋3的图象如图所示，可得这两个函数的图象有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)内有一个零点．又根据图象的对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.‎ ‎【答案】 C ‎5．(2017·福建三明一中第一次月考)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋x－4的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】 函数y＝f(x)＋x－4的零点，即函数y＝－x＋4与y＝f(x)的交点的横坐标．如图所示，函数y＝－x＋4与y＝f(x)的图象有两个交点，故函数y＝f(x)＋x－4的零点有2个．故选B.‎ ‎【答案】 B ‎6．(2017·吉林实验中学)函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．‎ ‎【解析】 求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，因为f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n＝2.‎ ‎【答案】 2‎ ‎7．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．‎ ‎【解析】 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2，3.‎ ‎∴－2，3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，‎ 由根与系数的关系知 ‎∴ ‎∴f(x)＝x2－x－6.‎ ‎∵不等式af(－2x)＞0，‎ 即－(4x2＋2x－6)＞0⇔2x2＋x－3＜0，‎ 解集为.‎ ‎【答案】 ‎8．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【解析】 画出f(x)＝的图象，如图．‎ 由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，‎ 结合图象得：0＜m＜1，即m∈(0，1)．‎ ‎【答案】 (0，1)‎ ‎9．设函数f(x)＝(x＞0)．‎ ‎(1)作出函数f(x)的图象；‎ ‎(2)当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求＋的值；‎ ‎(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)如图所示．‎ ‎(2)∵f(x)＝＝ 故f(x)在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．‎ 由0＜a＜b且f(a)＝f(b)，得0＜a＜1＜b，且－1＝1－，∴＋＝2.‎ ‎(3)由函数f(x)的图象可知，当0＜m＜1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．‎ ‎10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围．‎ ‎【解析】 方法一 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0，2]，‎ ‎①若f(x)＝0在区间[0，2]上有一解，‎ ‎∵f(0)＝1＞0，则应有f(2)＜0，‎ 又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，‎ ‎∴m＜－.‎ ‎②若f(x)＝0在区间[0，2]上有两解，则 ‎∴ ‎∴ ‎∴－≤m≤－1.‎ 由①②可知m的取值范围是(－∞，－1]．‎ 方法二 显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，‎ ‎0＜x≤2时，方程可变形为1－m＝x＋，‎ 又∵y＝x＋在(0，1]上单调递减，[1，2]上单调递增，‎ ‎∴y＝x＋在(0，2]的取值范围是[2，＋∞)，‎ ‎∴1－m≥2，∴m≤－1，‎ 故m的取值范围是(－∞，－1]．‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：15分钟)‎ ‎11．(2016·天津)已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C.∪ D.∪ ‎【解析】 要使函数f(x)在R上单调递减，只需解之得≤a≤，因为方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，所以直线y＝2－x与函数y＝|f(x)|的图象有两个交点．如图所示．‎ 易知y＝|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为－1，又≤－1≤2，故由图可知，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在x＞0时有一个交点；当直线y＝2－x与y＝x2＋(4a－3)x＋3a(x＜0)的图象相切时，设切点为(x0，y0)，则整理可得4a2－7a＋3＝0，解得a＝1(舍)或a＝.而当3a≤2，即a≤时，直线y＝2－x与y＝|f(x)|的图象在y轴左侧有一个交点，综合可得a∈∪.‎ ‎【答案】 C ‎12．(2017·福建厦门质检)定义在(－2，2)上的奇函数f(x)恰有3个零点，当x∈(0，2)时，f(x)＝xln x－a(x－1)(a＞0)，则a的取值范围是________．‎ ‎【解析】 由f(x)是定义在(－2，2)上的奇函数知f(0)＝0，问题可转化为f(x)在(0，2)上有且只有一个零点．令h(x)＝xln x，g(x)＝a(x－1)，又f(1)＝0，则问题转化为h(x)与g(x)的图象在(0，2)内没有(1，0)之外的交点．‎ 如图，a＝1时，h(x)＝xln x与g(x)＝x－1的图象相切，满足题意；‎ 当a＞0且a≠1时，要满足题意，只需要g(2)≥h(2)，∴a≥2ln 2.‎ 综上所述，a的取值范围是a≥2ln 2或a＝1.‎ ‎【答案】 a＝1或a≥2ln 2‎ ‎13．(2017·河南质检)给定方程：＋sin x－1＝0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞－1.正确命题是________．‎ ‎【解析】 依题意，在同一坐标系中画出函数y＝－1与y＝－sin x(该函数的值域是[－1，1])的大致图象，结合图象可知，它们的交点中，横坐标为负的交点有且只有一个，因此方程＋sin x－1＝0在(－∞，0)内有且只有一个实数解，故③正确，①不正确；由图象易知②④均正确．‎ ‎【答案】 ②③④‎ ‎14．(2017·贵州七校联考)已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－kx有3个零点，则实数k的取值范围是________．‎ ‎【解析】 方程f(x)－kx＝0即为方程f(x)＝kx.因为f(0)＝ln 1＝0，k·0＝0，所以x＝0是函数y＝f(x)－kx的一个零点．当x＜0时，f(x)＝－x2＋x，令－x2＋x＝kx，解 得x＝－k(x＝0舍去)，令－k＜0，解得k＞，∴k＞时，函数y＝f(x)－kx在(－∞，0)上有一个零点；当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)，f′(x)＝∈(0，1)，要使函数y＝f(x)－kx在(0，＋∞)上有一个零点，则0＜k＜1.综上知＜k＜1时满足题意，∴所求实数k的取值范围是.‎ ‎【答案】 ‎15．(2017·山西四校三模)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．‎ ‎【解析】 在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象(如图)，易知函数y＝mx－的图象恒过定点，设过点且与函数y＝ln x(x＞1)的图象相切的直线为l1，切点坐标为(x0，ln x0)(x0＞1)．因为y＝ln x的导函数为y′＝，所以图中y＝ln x(x＞1)的图象的切线l1的斜率为k＝，则＝，解得x0＝，所以k＝＝.又图中直线l2的斜率为，故当方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根时，实数m的取值范围是.‎ ‎【答案】