高考数学专题复习练习第3讲 等比数列及其前n项和 6页

第3讲 等比数列及其前n项和 一、选择题 ‎1.＋1与－1两数的等比中项是(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．－1‎ C．±1 D. 解析 设等比中项为x，‎ 则x2＝(＋1)(－1)＝1，即x＝±1.‎ 答案 C ‎2．设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　)．‎ A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)‎ C．Y2＝XY D．Y(Y－X)＝X(Z－X)‎ 解析　(特例法)取等比数列1,2,4，令n＝1得X＝1，Y＝3，Z＝7代入验算，选D.‎ 答案　D ‎3．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝(　　)．‎ A．2 B. C．2或 D．3‎ 解析　∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，‎ 化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2.‎ 答案　A ‎4．在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a‎2a6＝8，则S8＝ (　　)．‎ A．8 B．15(＋1)‎ C．15(－1) D．15(1－)‎ 解析　∵a‎2a6＝a＝8，∴aq6＝8，∴q＝，∴S8＝＝15(＋1)．‎ 答案　B ‎5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为(　　)．‎ A．4 B．‎5 ‎‎ ‎ C. D. 解析　∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知2＝·4t，显然t≠0，所以t＝5.‎ 答案　B ‎6．在由正数组成的等比数列{an}中，若a‎3a‎4a5＝3π，则sin(log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a7)的值为 (　　)．‎ A. B. C．1 D．－ 解析　因为a‎3a‎4a5＝3π＝a，所以a4＝3.‎ log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a7＝log3(a‎1a2…a7)＝log‎3a＝7log33＝，所以sin(log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log‎3a7)＝.‎ 答案　B 二、填空题 ‎7．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．‎ 解析　设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}故q的最小值是.‎ 答案　 ‎8．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.‎ 解析　由题意知a1＋‎4a1＋‎16a1＝21，解得a1＝1，‎ 所以数列{an}的通项公式an＝4n－1.‎ 答案　4n－1‎ ‎9．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)‎ ‎＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．‎ 解析　由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝n，‎ ‎∴Sn＝＋2＋3＋…＋n ‎＝＝1－n，‎ ‎∵n∈N*，∴≤Sn<1.‎ 答案　 ‎10．等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③Sn＝nan－d；④若d>0，则Sn一定有最大值．‎ 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．‎ 解析　对于①，注意到＝an＋1－an＝d是一个非零常数，因此数列是等比数列，①正确．对于②，S13＝＝＝13，因此②正确．对于③，注意到Sn＝na1＋d＝n[an－(n－1)d]＋d＝nan－d，因此③正确．对于④，Sn＝na1＋d，d>0时，Sn不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.‎ 答案　①②③‎ 三、解答题 ‎11．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.‎ ‎(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；‎ ‎(2)设bn＝log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．‎ 解 (1)证明　因为an＝×n－1＝，Sn＝＝，所以Sn＝.‎ ‎(2)bn＝log‎3a1＋log‎3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{bn}的通项公式为bn＝－.‎ ‎12．已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.‎ ‎(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{bn}的通项公式．‎ ‎(1)证明　∵an＋Sn＝n， ①‎ ‎∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②‎ ‎②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，‎ ‎∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.‎ ‎∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.‎ ‎∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．‎ ‎(2)解　由(1)可知cn＝·n－1＝－n，‎ ‎∴an＝cn＋1＝1－n.‎ ‎∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－ ‎＝n－1－n＝n.‎ 又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.‎ ‎13．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.‎ ‎(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{an}唯一，求a的值．‎ 解　(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．‎ 即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.‎ ‎(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋‎3a－1＝0(*)，‎ 由a＞0得Δ＝‎4a2＋‎4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．‎ 由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，‎ 代入(*)得a＝.‎ ‎14．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.‎ ‎(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列．‎ ‎(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.‎ 解　(1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，‎ ‎∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．‎ ‎∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝‎3a1＋1＝3t＋1，‎ ‎∴当t＝1时，a2＝‎4a1，数列{an}是等比数列．‎ ‎(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，‎ ‎∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)‎ ‎＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)‎ ‎＝＋.‎