高考数学专题复习课件：12-1 随机事件的概率 54页

§ 12.1 　随机事件的概率 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别 .2. 了解两个互斥事件的概率加法公式． (2) 对于给定的随机事件 A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件 A 发生的 ______ 会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性大小，并把这个 _____ 称为随机事件 A 的概率，记作 P ( A ) ． 频率 常数 2 ．事件的关系与运算 3. 概率的几个基本性质 (1) 概率的取值范围： _____________ ． (2) 必然事件的概率 P ( E ) ＝ ___ ． (3) 不可能事件的概率 P ( F ) ＝ ___ ． (4) 概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P ( A ∪ B ) ＝ ___________ ． (5) 对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P ( A ) ＝ _________ ． 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 1 0 P ( A ) ＋ P ( B ) 1 － P ( B ) 【 知识拓展 】 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 事件发生频率与概率是相同的． ( 　　 ) (2) 随机事件和随机试验是一回事． ( 　　 ) (3) 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． ( 　　 ) (4) 两个事件的和事件是指两个事件都得发生． ( 　　 ) (5) 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件． ( 　　 ) (6) 两互斥事件的概率和为 1.( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) √ 　 (4) × 　 (5) √ 　 (6) × 1 ．一个人打靶时连续射击两次，事件 “ 至少有一次中靶 ” 的互斥事件是 ( 　　 ) A ．至多有一次中靶　　　　 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶 D ．两次都不中靶 【 解析 】 射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶． 【 答案 】 D 2 ．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2 ，该同学的身高在 [160 ， 175]( 单位： cm) 内的概率为 0.5 ，那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为 ( 　　 ) A ． 0.2 B ． 0.3 C ． 0.7 D ． 0.8 【 解析 】 因为必然事件发生的概率是 1 ，所以该同学的身高超过 175 cm 的概率为 1 － 0.2 － 0.5 ＝ 0.3 ，故选 B. 【 答案 】 B 3 ． (2015· 湖北 ) 我国古代数学名著 《 数书九章 》 有 “ 米谷粒分 ” 题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1 534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为 ( 　　 ) A ． 134 石 B ． 169 石 C ． 338 石 D ． 1 365 石 【 答案 】 B 【 答案 】 0 5 ． ( 教材改编 ) 袋中装有 9 个白球， 2 个红球，从中任取 3 个球，则 ① 恰有 1 个红球和全是白球； ② 至少有 1 个红球和全是白球； ③ 至少有 1 个红球和至少有 2 个白球； ④ 至少有 1 个白球和至少有 1 个红球．在上述事件中，是对立事件的为 ________ ． 【 解析 】 ① 是互斥不对立的事件， ② 是对立事件， ③④ 不是互斥事件． 【 答案 】 ② 题型一　事件关系的判断 【 例 1 】 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件 A 为 “ 只订甲报纸 ” ，事件 B 为 “ 至少订一种报纸 ” ，事件 C 为 “ 至多订一种报纸 ” ，事件 D 为 “ 不订甲报纸 ” ，事件 E 为 “ 一种报纸也不订 ” ． 判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1) A 与 C ； (2) B 与 E ； (3) B 与 C ； (4) C 与 E . 【 解析 】 (1) 由于事件 C “ 至多订一种报纸 ” 中有可能 “ 只订甲报纸 ” ，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互斥事件． (2) 事件 B “ 至少订一种报纸 ” 与事件 E “ 一种报纸也不订 ” 是不可能同时发生的，故 B 与 E 是互斥事件．由于事件 B 不发生可导致事件 E 一定发生，且事件 E 不发生会导致事件 B 一定发生，故 B 与 E 还是对立事件． (3) 事件 B “ 至少订一种报纸 ” 中有这些可能： “ 只订甲报纸 ” 、 “ 只订乙报纸 ” 、 “ 订甲、乙两种报纸 ” ，事件 C “ 至多订一种报纸 ” 中有这些可能： “ 一种报纸也不订 ” 、 “ 只订甲报纸 ” 、 “ 只订乙报纸 ” ，由于这两个事件可能同时发生，故 B 与 C 不是互斥事件． (4) 由 (3) 的分析，事件 E “ 一种报纸也不订 ” 是事件 C 的一种可能，即事件 C 与事件 E 有可能同时发生，故 C 与 E 不是互斥事件． 【 方法规律 】 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系． 跟踪训练 1 判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中： ① 恰有 1 名男生和恰有 2 名男生； ② 至少有 1 名男生和至少有 1 名女生； ③ 至少有 1 名男生和全是女生． 【 解析 】 ① 是互斥事件，不是对立事件． “ 恰有 1 名男生 ” 实质选出的是 “ 1 名男生和 1 名女生 ” ，与 “ 恰有 2 名男生 ” 不可能同时发生，所以是互斥事件，不是对立事件． ② 不是互斥事件，也不是对立事件． “ 至少有 1 名男生 ” 包括 “ 1 名男生和 1 名女生 ” 与 “ 2 名都是男生 ” 两种结果， “ 至少有 1 名女生 ” 包括 “ 1 名女生和 1 名男生 ” 与 “ 2 名都是女生 ” 两种结果，它们可能同时发生． ③ 是互斥事件且是对立事件． “ 至少有 1 名男生 ” ，即 “ 选出的 2 人不全是女生 ” ，它与 “ 全是女生 ” 不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以两个事件互斥且对立． 题型二　随机事件的频率与概率 【 例 2 】 (2015· 北京 ) 某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中 “√” 表示购买， “ ×” 表示未购买 . (1) 估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2) 估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； (3) 如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 【 引申探究 】 1 ．在本例条件下，估计顾客购买乙或丙的概率． 2 ．在本例条件下，估计顾客至少购买两件商品的概率是多少？ 【 方法规律 】 (1) 概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值． (2) 随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率． 跟踪训练 2 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示： (1) 计算表中乒乓球优等品的频率； (2) 从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？ ( 结果保留到小数点后三位 ) 命题点 2 　对立事件的概率 【 例 4 】 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得 .1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个．设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A 、 B 、 C ，求： (1) P ( A ) ， P ( B ) ， P ( C ) ； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【 方法规律 】 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由 P ( A ) ＝ 1 － P ( A ) 求解．当题目涉及 “ 至多 ”“ 至少 ” 型问题，多考虑间接法． 跟踪训练 3 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示： 血型 A B AB O 该血型的人所占比 /% 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血， O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给 AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是 B 型血，若小明因病需要输血，问： (1) 任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2) 任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？ 【 解析 】 (1) 对任一人，其血型为 A ， B ， AB ， O 型血的事件分别记为 A ′ ， B ′ ， C ′ ， D ′ ，它们是互斥的． 由已知，有 P ( A ′) ＝ 0.28 ， P ( B ′) ＝ 0.29 ， P ( C ′) ＝ 0.08 ， P ( D ′) ＝ 0.35. 因为 B ， O 型血可以输给 B 型血的人，故 “ 可以输给 B 型血的人 ” 为事件 B ′ ＋ D ′. 根据互斥事件的加法公式，有 P ( B ′ ＋ D ′) ＝ P ( B ′) ＋ P ( D ′) ＝ 0.29 ＋ 0.35 ＝ 0.64. (2) 方法一 由于 A ， AB 型血不能输给 B 型血的人，故 “ 不能输给 B 型血的人 ” 为事件 A ′ ＋ C ′ ，且 P ( A ′ ＋ C ′) ＝ P ( A ′) ＋ P ( C ′) ＝ 0.28 ＋ 0.08 ＝ 0.36. 方法二 因为事件 “ 其血可以输给 B 型血的人 ” 与事件 “ 其血不能输给 B 型血的人 ” 是对立事件，故由对立事件的概率公式，有 P ( A ′ ＋ C ′) ＝ P ( B ′ ＋ D ′ ) ＝ 1 － P ( B ′ ＋ D ′) ＝ 1 － 0.64 ＝ 0.36. 思想与方法系列 23 用正难则反思想求互斥事件的概率 【 典例 】 ( 12 分 ) 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示： 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件 及以上 顾客数 ( 人 ) x 30 25 y 10 结算时间 ( 分钟 / 人 ) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1) 确定 x ， y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率． ( 将频率视为概率 ) 【 思维点拨 】 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用 “ 正难则反 ” 思想求解． 【 规范解答 】 (1) 由已知得 25 ＋ y ＋ 10 ＝ 55 ， x ＋ 30 ＝ 45 ， 所以 x ＝ 15 ， y ＝ 20.(2 分 ) 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 【 温馨提醒 】 (1) 要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义． (2) 正确判定事件间的关系，善于将 A 转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式． 【 易错提示 】 (1) 对统计表的信息不理解，错求 x ， y ，难以用样本平均数估计总体． (2) 不能正确地把事件 A 转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误 . ► 方法与技巧 1 ．对于给定的随机事件 A ，由于事件 A 发生的频率 f n ( A ) 随着试验次数的增加稳定于概率 P ( A ) ，因此可以用频率 f n ( A ) 来估计概率 P ( A ) ． 2 ．从集合角度理解互斥事件和对立事件 从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集． ► 失误与防范 1 ．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件， “ 互斥 ” 是 “ 对立 ” 的必要不充分条件． 2 ．需准确理解题意，特别留心 “ 至多 ……”“ 至少 ……”“ 不少于 ……” 等语句的含义 .