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- 2021-06-21 发布
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1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系．
dr⇔相离．
(2)代数法： ――→判别式
Δ＝b2－4ac
>0⇔相交；
＝0⇔相切；
<0⇔相离.
2．圆与圆的位置关系
设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，
圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
方法
位置关系
几何法：圆心距 d 与 r1，r2 的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组
的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|1，而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的
距离 d＝|a·0＋b·0－1|
a2＋b2
＝ 1
a2＋b2<1.
所以直线与圆相交．
(2)直线 2tx－y－2－2t＝0 恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
∴点(1，－2)在圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 内．
直线 2tx－y－2－2t＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＝0 相交，
故选 C.
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用 d 与 r 的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
已知方程 x2＋ x
tan θ
－ 1
sin θ
＝0 有两个不等实根 a 和 b，那么过点 A(a，a2)，B(b，
b2)的直线与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是________．
答案 相切
解析 由题意可知过 A，B 两点的直线方程为(a＋b)x－y－ab＝0，圆心到直线 AB 的距离 d＝
|－ab|
a＋b2＋1
，而 a＋b＝－ 1
tan θ
，ab＝－ 1
sin θ
，因此 d＝
| 1
sin θ|
－ 1
tan θ 2＋1
，化简后得 d＝1，故
直线与圆相切．
题型二 圆与圆的位置关系
例 2 (1)(2016·山东)已知圆 M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线 x＋y＝0 所得线段的长度是 2 2，
则圆 M 与圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
(2)(2017·重庆调研)如果圆 C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0 与圆 O：x2＋y2＝4 总相交，那么
实数 a 的取值范围是______________________．
答案 (1)B (2)(－2 2，0)∪(0,2 2)
解析 (1)∵圆 M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴圆心坐标为 M(0，a)，半径 r1 为 a，
圆心 M 到直线 x＋y＝0 的距离 d＝|a|
2
，由几何知识得
|a|
2 2＋( 2)2＝a2，解得 a＝2.
∴M(0,2)，r1＝2.
又圆 N 的圆心坐标 N(1,1)，半径 r2＝1，
∴|MN|＝ 1－02＋1－22＝ 2，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选 B.
(2)圆 C 的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为 2.
依题意得 0< a2＋a2<2＋2，∴0<|a|<2 2.
∴a∈(－2 2，0)∪(0,2 2)．
思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d，求 r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比较 d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．
已知两圆 x2＋y2－2x－6y－1＝0 和 x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m 取何值时两圆外切；
(2)m 取何值时两圆内切；
(3)求 m＝45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为 M(1,3)，N(5,6)，半径分别为 11和 61－m.
(1)当两圆外切时，
5－12＋6－32＝ 11＋ 61－m，
解得 m＝25＋10 11.
(2)当两圆内切时，因为定圆的半径 11小于两圆圆心间距离 5，
故只有 61－m－ 11＝5，解得 m＝25－10 11.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即 4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为
2 112－|4×1＋3×3－23|
42＋32
2
＝2 7.
题型三 直线与圆的综合问题
命题点 1 求弦长问题
例 3 (2016·全国丙卷)已知直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 与圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过
A，B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，若|AB|＝2 3，则|CD|＝________.
答案 4
解析 设 AB 的中点为 M，
由题意知，圆的半径 R＝2 3，|AB|＝2 3，所以|OM|＝3，解得 m＝－ 3
3
，由 x－ 3y＋6＝0，
x2＋y2＝12
解得 A(－3， 3)，B(0，2 3)，则 AC 的直线方程为 y－ 3＝－ 3(x＋3)，
BD 的直线方程为 y－2 3＝－ 3x，令 y＝0，解得 C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.
命题点 2 直线与圆相交求参数范围
例 4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x－2)2＋(y－3)2＝1 交
于 M，N 两点．
(1)求 k 的取值范围；
(2)若OM→ ·ON→ ＝12，其中 O 为坐标原点，求|MN|.
解 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 y＝kx＋1，
因为 l 与 C 交于两点，所以|2k－3＋1|
1＋k2 <1.
解得4－ 7
3
0}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－ 3)2＝a2，a>0}，且 M∩N≠
∅，求 a 的最大值和最小值．
解 M＝{(x，y)|y＝ 2a2－x2，a>0}，即{(x，y)|x2＋y2＝2a2，y≥0}，
表示以原点 O 为圆心，半径等于 2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分)．
N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－ 3)2＝a2，a>0}，
表示以 O′(1， 3)为圆心，半径等于 a 的一个圆．
再由 M∩N≠∅，可得半圆和圆有交点，
故半圆和圆相交或相切．
当半圆和圆相外切时，由|OO′|＝2＝ 2a＋a，
求得 a＝2 2－2；
当半圆和圆相内切时，由|OO′|＝2＝ 2a－a，
求得 a＝2 2＋2，
故 a 的取值范围是[2 2－2,2 2＋2]，
a 的最大值为 2 2＋2，最小值为 2 2－2.
*13.(2016·湖南六校联考)已知直线 l：4x＋3y＋10＝0，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在
x 轴上且在直线 l 的右上方．
(1)求圆 C 的方程；
(2)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A，B 两点(A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上是否存在定点
N，使得 x 轴平分∠ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)设圆心 C(a,0)(a>－5
2)，
则|4a＋10|
5
＝2⇒a＝0 或 a＝－5(舍)．
所以圆 C 的方程为 x2＋y2＝4.
(2)当直线 AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB.
当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 x2＋y2＝4，
y＝kx－1，
得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以 x1＋x2＝ 2k2
k2＋1
，x1x2＝k2－4
k2＋1
.
若 x 轴平分∠ANB，
则 kAN＝－kBN⇒ y1
x1－t
＋ y2
x2－t
＝0
⇒kx1－1
x1－t
＋kx2－1
x2－t
＝0
⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0
⇒2k2－4
k2＋1
－2k2t＋1
k2＋1
＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点 N 为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立．
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